1. 引言
著名的Rogers-Ramanujan恒等式由英国数学家Rogers和印度数学家Ramanujan各自独立发现,Rogers-Ramanujan恒等式的证明是q级数理论发展中的焦点之一,人们曾用各种方法给出了这类恒等式的证明。两个与Rogers-Ramanujan恒等式类似的著名恒等式叫做Gollnitz-Gordon函数恒等式,关于Gollnitz-Gordon函数,有许多值得研究的模关系还未被发现。1998年和2022年,黄森山和陈淑玲在 [1] 、 [2] 中建立了21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系、9个同时涉及Rogers-Ramanujan函数和Gollnitz-Gordon函数的模关系以及一个新的Rogers-Ramanujan函数关系式。此外,2008年,在黄和陈的理论基础上,Nayandeep Deka Baruah等人在 [3] 中用拉马努金的笔记中的schroter公式和一些θ函数恒等式的新方法,重新证明了这21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系。
本文同样利用schroter公式和θ函数恒等式新方法建立并证明了两个与Gollnitz-Gordon函数相关的函数
的新模关系,这两个新模关系是对已知模关系的扩展,本文的建立有助于读者对模方程进行进一步的理论研究,有比较好的研究意义。为了方便起见,本文统一用符号
表示
。
设
,对于任意正整数n,有无穷乘积定义如下:
且
著名的Rogers-Ramanujan恒等式定义 [4] [5] :
和
是著名的Rogers-Ramanujan函数,Ramanuja在很早的时候就建立了
和
的四十个模关系但没有给出证明,这四十个恒等式称为Ramanuja的四十个恒等式,在这四十个恒等式中,最简单且最漂亮的一个恒等式是
(1.1)
1921年,英国数学家Darling在 [4] 中第一次证明了这个恒等式。在同期的伦敦数学学会学报上,Rogers在 [5] 中证明了四十个恒等式中的十个,十个恒等式中其中一个就是(1.1)式。1933年,Watson在 [6] 中证明了四十个恒等式中的8个,其中有2个已被Rogers之前证明过;1977年,Bressoud在他的博士论文 [7] 中证明了40个恒等式中的15个;1989年,Biagioli在 [8] 中证明了剩余9个恒等式中的7个。最近,Berndt发现了所有40个恒等式的证明。
Gollnitz-Gordon函数恒等式定义 [6] [7] :
和
是著名的Gollnitz-Gordon函数,应用纯理论证明方法,陈淑玲和黄森山还得到了一些推广的恒等式。
的研究还有很多很多,前人应用各种方法证明了不少著名的恒等式,还得到了很多新的恒等式,本文则利用schroter公式和θ函数恒等式方法建立并证明了两个与
相关的新模关系。
本文一共分为引言、预备知识、主要结果以及参考文献四个部分。
在第一部分引言中,简单地介绍了关于Rogers-Ramanujan函数、Gollnitz-Gordon函数模关系的研究背景、目的及意义。在第二部分预备知识中,给出了证明本文主要结果所需要用到的相关schroter公式以及Ramanujan θ函数恒等式,这些理论结果及其证明都可以在参考文献 [8] 中找到。第三部分给出了本文的主要研究结果:Goillnitz Gordon函数相关函数的新模关系及证明。在此部分中针对定理一的证明,首先给出了一个schroter公式,通过给变量赋予新值令
,
得到表达式,对其中q进行替换后相互运算建立了一个
与
之间的θ函数恒等式,然后通过层层转换计算最后将其转换为了Gollnitz-Gordon函数相关函数的新模关系,定理二的建立及证明过程同理。这两个新模关系是对已知模关系的扩展,该发现有助于之后读者在数论学习中对模关系进行研究及学习。最后本文第四部分即给出了本文在写作过程中所用到的参考文献。
2. 预备知识
2.1. 一些Schroter公式和Ramanujan Theta函数恒等式
下面给出的公式是schroter公式,给出的引理是早期被天才数学家Ramanujan在他的笔记本中记录下的一些θ函数恒等式,这些恒等式在后来被各个数学家进行了证明。1991年,数学家Bruce C. Berndt将Ramanujan的笔记以及各部分内容的证明过程归纳整理成册。其中一册即是本文参考文献 [8] ,里面包含了下面给出的定义和引理及其各自的证明过程。
定义2.1:
定义2.2:
引理2.1 [8] :
当
为偶数时,则
引理2.2 [8]
引理2.3 [2]
引理2.4 [3]
引理2.5 [3]
证明:由 [1] 中Lemma 2.6和定义2.2得:
再代入引理2.4,结论即证。
引理2.6 [8]
引理2.7 [8]
2.2. 关于Theta恒等式的一些推论及证明
推论2.1
证明:结合引理2.4与引理2.5知:
用
替换式上式中的q得:
推论2.1即得证。
推论2.2:
证明:用
替代引理2.2中的q,即得证。
推论2.3:
证明:在引理2.7中代入
,
,
,即证。
推论2.4:
证明:在引理2.7中代入
,
,
,即证。
3. Gollnitz Gordon函数相关函数的新模方程及其证明过程
定理一:
证明:在引理2.1中,设
,
,得:
(3.1)
在上式中,用
替换q,得:
(3.2)
用(3.1)~(3.2)式得:
用q替换上式中的
,得:
(3.3)
利用引理2.6对(3.3)式左边进行转化得:
(3.4)
通过对比(3.3)式和(3.4)式得:
上式两边同时除以2q,并用q替换其中的q2,得到:
(3.5)
在(3.5)式中利用定义2.1、推论2.3以及推论2.1,得到:
带入引理2.3和引理2.4,得到:
定理一即得证。
定理二:
证明:在引理2.1中,设
,
,得:
(3.6)
在上式中,用
替换q,得:
(3.7)
用(3.6)~(3.7)式得:
又由推论2.4得
所以
(3.8)
在(3.8)中左边使用引理2.6得:
所以
推出
由推论2.1知:
所以
结论得证。
定理一和定理二的内容及其证明即为本文主要内容。
4. 结论
本文利用了Schroter的数学公式和Ramanujan提出的一些简单的函数恒等式来进行推导转化,建立了两个与S(−q)相关的新模关系,这两个新模关系是对已知模关系的扩展,对数论中模方程的研究学习有很好的研究意义。可以进一步思考,还能不能用这个方法对变量赋予另外的值去建立更多的模方程。