1. 引言
当偏微分方程中的系数、或解、或法向流在界面处不连续时,就会产生界面问题。界面问题在自然界以及科学与工程中都有应用。在材料科学中,文献 [1] 提出了一种聚合物基体复合材料的耦合扩散行为模型,在由不同成分构成的复合材料的接触面上产生界面问题。在生物技术中被脂膜所包围的流体所形成的生物膜模型在界面处的相互作用 [2] 。文献 [3] 研究了两相流体动力学界面模型的斯托克斯问题,在界面处具有不连续的密度和粘度系数以及压力溶液。文献 [4] 考虑二维静止热传导椭圆界面问题,其传导系数在光滑的内部界面上是不连续的。文献 [5] 提出一个基于区域分解理论的非完美界面问题的保极值迭代方法,从而使得界面条件自然地嵌入到子域的边界条件中。针对非完美界面问题,文献 [6] 提出了一种保持离散极值原理(DMP)和守恒性的有限体积格式。此外,界面问题也被应用于合金凝固、晶体生长以及在生物系统中 [7] 等。
考虑具有溶解质输运的线性两相流问题(见图1)。设
是一个包含两相不可混溶,不可压缩的流动系统(液–液或液–气)的有界区域,具有光滑边界
。
是一个开子区域且有边界
,故有
。每个子域中分别包含一个相,这些相通过界面
分隔开。两相中都含有一种溶解的物质,这种物质由于对流和分子扩散而被输运,并不粘附在界面上。在本文中,假设所考虑的溶解质输运的两相流模型是理想模型,在每个相中都会发生对流传质和扩散传质。假设不会发生相变,反应;界面处没有传质阻力;也不会因为传质而引起界面湍动等。
在相界面处,考虑定常界面情形。同时对于界面处考虑非完美界面条件 [5] [6] [8] 和Henry界面条件。如果给定的数据,界面
和外边界
光滑,则问题的解在各个区域也非常光滑,但由于界面处的跳跃会使得解的全局正则性降低。在文献 [9] 中,只给出了Henry界面问题弱解的适定性。而在本文中我们着重讨论在上述两种界面条件下的线性两相流模型弱解的性质,我们的主要结论是在给定的Sobolev空间中,利用De Giorgi迭代法来估计线性问题的弱解,得到弱解在界面附近的局部性质,在此基础之上可进一步得到线性模型的弱解及其梯度的Hölder连续性。
设溶解质的浓度为
,标量
,这个问题可以用浓度为
的对流–扩散方程来建模。
为界面
上的单位外法向量,由
指向
。对于
,
为流体速度场,
为扩散系数矩阵,
为标量传输系数。
非完美界面条件是指解在界面上的跳跃与界面两侧连续的法向流成正比。可得非完美界面问题的数学模型公式如下:
(1.1)
其中
,
,
满足非完美界面条件。
Henry界面条件要求界面在瞬间平衡的情况下,界面两侧的溶质浓度呈恒定比。同时施加另一个界面条件,即要求法向流在界面处是连续的。故有Henry界面问题的数学模型公式如下:
(1.2)
其中
是分片常数,即在
中
,一般有
。
。
满足Henry界面条件。
2. 非完美界面模型
在本节中,讨论非完美界面问题(1.1)。
2.1. 函数分析框架
对于
,一般Sobolev空间记为
。特别的,
。首先引进一些合适的空间:
令
,
,且
由文献 [10] 的定理3.13 (p. 175)可得
其中
表示嵌入。
迹算子:
是有界的。令
,并且
。
下面给出问题(1.1)中的系数的有关假设。
假设2.1.1区域
和
是有界区域,
,界面
,
为
上的
维Hausdroff测度。
假设2.1.2
1) 假设
在
上是一个充分光滑的速度场,并且满足:
i)
,
;
ii) 由于流体是不可压缩的,故有在
中
;
iii) 在界面
上速度场满足:
。
2) 扩散系数矩阵
和标量传输系数
如下假设:
i) 扩散系数矩阵
在
上是可测的,一致有界的和一致椭圆的,并且
是对称的,即存在常数
使得
并且对于任意
,在
中几乎处处成立
ii) 传输系数
在
上是可测的,并且存在常数
使得
传输系数矩阵
,则M是半正定矩阵,并且对于任意
,有
在上述假设的基础之上,给出问题 的弱形式。给定
。对于
,积分可得:
记
所以(1.1)的变分问题为:设
。寻找弱下解(弱上解)
使得
(2.1)
如果
既是弱下解,又是弱上解,则称
是弱解。
由文献 [10] (p. 184定理3.16)可知,若要证明线性问题(2.1)弱解的存在唯一性,只需表明
在
上是连续的和强制的。事实上,根据假设2.1.2和迹算子的有界性可得
是连续的。对于
的强制性:任意
,有
其中
故有
由于
所以
其中
是常数。
2.2. 预备知识
以下定义和定理参考文献 [11] 和 [12] :对于任意
,令抛物距离为
假设D是
中的有界区域,对于任意
,令
,其中
,
是D关于抛物距离的直径。
定义2.2.1 (Morrey空间)对于
,令
表示由
中满足
的所有函数u所组成的赋范线性空间。特别地,若
是有界区域,对于任意
,记
,
,
,定义
是由
中满足
的所有函数u所组成的赋范线性空间。
定义2.2.2 (Campanato空间)对于
,以
表示由
中满足
的所有函数u所组成的赋范线性空间,其上的范数定义为
且
表示u在
上的积分平均值,即
定义2.2.3 (Hölder空间)对于
,以
表示满足
的所有函数u所组成的线性空间,其上的范数定义为
显然有
令
表示由
中满足
所有函数u所组成的赋范线性空间,其上的范数定义为
定义2.2.4 称D是(A)型区域,如果存在常数A,使得对于任意
,都有
定理2.2.1 设D是(A)型区域,
,则当
时,
其中
,
表示
与
同时成立。
在以后的小节中,记
2.3. 弱解的极值原理
引理2.3.1 (文献( [13] , p. 95)引理5.6)非负序列
满足递推关系式
,其中
,
,则如果
,必有
。
推论2.3.1令
是定义在
上的非增非负函数,并且存在
使得对于任意
,有
,则当
,有
。
定理2.3.1 (极值原理)令问题 的系数满足假设2.1.2。如果
是问题的弱下解,且对于某个常数
,
,则
其中C仅依赖于
,
,且
。
证明 令
,for
,取测试函数
,则
,且
。由于
是弱下解,有
即,
由假设2.1.2可得
类似强制性的证明可得
其中
。
记
,故有
取
充分小,可得
上式两边对t从0到T积分
因此
对于
,
则
令
,故有
由推论2.3.1可得,对于
,有
,即,
所以在
中,
,因此
□
推论2.3.2令问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。如果
是问题的弱解,且对于某个常数
,
则
其中C仅依赖于
,且
。
2.4. 弱解的局部性质
定义2.4.1 称定义于
上的函数
属于De Giorgi类,如果
,
,且对于
,
,
满足
,并且
,有下式成立:
(2.2)
其中
,
,常数
,
只与
有关,
,
,
依赖于
,记De Giorgi类为
。如果
,且满足(2.2)+,则记
;如果
,且满足(2.2)-,则记
。显然
。
定理2.4.1 设问题(1.1)的系数满足假设2.1.2。如果
是问题的弱下解,且对于某个常数
,
,则
;如果
是问题的弱上解,则
。其中
依赖于
,并且
。
证明 如果
是问题的弱下解,令
是
上的截断函数,
,并且
。记
。取测试函数为
,则
其中
则
由于
(2.3)
则
取
充分小,对于任意
,积分可得
(2.4)
对于 ,在
上关于t取上确界,有
成立。
如果
是问题的弱上解,同理可证
。
□
注2.4.1 如果
,则由 可得
(2.5)
定理2.4.2 (局部极值原理)令
,
,常数
,则对于任意
,有
如果
,则有
其中C仅依赖于
的参数,
,并且
。
证明 下面只证明第一种情况。令
;
,其中
待定。令
,且取
是
上的截断函数,并且满足
应用公式(2.5)+,有
令
。首先取
,则有
令
,则有
又因为
,则
故有
所以
令
,则
因此
令
,则
由引理2.3.1可得,如果
(2.6)
其中
,即
(2.7)
则
,所以在
中,我们有
。现在取k满足
,则条件(2.7)成立,即(2.6)满足。总结以上关于k的选取,最终取k为
所以结论得证。
□
有了局部极值原理之后,我们总假设弱解在界面附近是有界的。在此前提之下,将会得到弱解的一些局部性质。为了适应方程的需要,下面对De Giorgi类的定义稍加修改。
定义2.4.2我们称定义于
上的函数
属于De Giorgi类,如果
,
,
,并且存在
,使得对于任意k满足:
(2.8)
有
满足 ,记
,同样可定义
。
引理2.4.1 (De Giorgi lemma) (文献 [13] )设
,记
,则对于
,有
其中
只依赖于n。
定理2.4.3令
,
,
,
,则存在
,使得对于
,如果
(2.9)
(2.10)
则
其中
仅依赖于
的参数,并且
。
证明令
;
。记
,取与定理2.4.2中相同的截断函数
。在 +中分别取
代替
,则
令
,则
又因为
所以
由条件 可得,
,且
,则有
令
,且
,则
注意
,由引理2.3.1可得,存在
使得当
,有
。所以在
中,
。因此结论得证。
□
定理2.4.4令
,
,如果
,
,
,对于
,
,
满足
(2.11)
其中
,
,则存在
,使得或者
(2.12)
或者
(2.13)
成立,其中
,s仅依赖于
,并且
。
在证明定理2.4.4之前,先给出以下两个辅助引理。
引理2.4.2令
,
,如果
,
,
,
,对于
,
,
满足
(2.14)
其中
,
,则对于任意正整数
,或者
(2.15)
或者
(2.16)
成立,其中
,
,C依赖于
。
证明对于
,记
,
,所以
。取
,则
。对于
,由引理2.4.1可以得到
(2.17)
应用条件(2.14)可知,
,则
,因此对 应用Hölder不等式,可以得到
(2.18)
对 两边关于
积分,进而可得
(2.19)
令
,
,并且在 两边对i求和,有
取
是
上的截断函数,使得在
上有
。由于
,类似定理2.4.1的证明,取
,
,则有
其中
。如果 不成立,则
,进而可得
,所以
(2.20)
对(2.20)关于l从
到
求和,可以得到
因此
□
引理2.4.3 令
,
,如果
,
,
,对于
,
,
满足
(2.21)
其中
,
,则存在
使得或者
(2.22)
或者
(2.23)
成立,其中
仅依赖于
,并且
。
证明 令
是
上的截断函数,使得
上有
,其中
未知,对于
,在
上类似定理2.4.1的证明,记
,故有
其中
。对于任意整数
,我们有
如果(2.22)不成立,并且应用条件(2.21),故可以得到
其中
。显然对于
,可得
首先取
使得
,则
由于
是关于
的严格递增函数,令
是其逆函数。当
,有
,则
。取
,故有
(2.24)
又因为
,取
使得
。对于如此确定的常数a,不妨设
是整数N,记
。
我们将会通过数学归纳法证明以下结论:存在
使得
(2.25)
其中
仅依赖于
。
Step (1) 当
,已知
取
充分大,可以得到
应用引理2.4.2,对于任意
,有
(2.26)
其中
,C只依赖于
。在 中取
分别代替
,并且将不等式 代入 的右侧,则有
(2.27)
首先取
足够大使得 的右端方括号中的第二项不大于
,然后取
使得方括号中的第一项不大于
,对于选定的
,我们有
Step (2) 在
上应用 +,然后重复以上步骤,可证明(2.25)对
成立。
因此有结论成立。
□
定理2.4.4的证明:
根据定理2.4.4的条件,引理2.4.3成立,令
是由引理2.4.3确定的常数。对于待定的
,令(2.12)不成立,则(2.15),(2.22)也不成立,而(2.10)成立。所以由引理2.4.3可得,
因此(2.14)成立。所以可由引理2.4.2得到以下不等式,
取s充分大使得
,故(2.9)成立。则由定理2.4.3可得以下结论,
□
对于
,我们有相似的性质。
定理2.4.5令
,
,如果
,
,
,对于
,
,
满足
(2.28)
其中
,
,则存在
使得或者
(2.29)
或者
(2.30)
成立。
2.5. 弱解的局部Hölder连续性
下面考虑
在界面上
和界面与初值层
的相交处的Hölder连续性。
引理2.5.1 (文献 [14] , p. 140引理4.1)令
是定义于
上的非减非负函数,如果它满足
其中
,
,
是常数,则存在
,
使得
其中
仅依赖于
。
定理2.5.1令
,
,
,
,则对于
,有
其中
,
仅依赖于
的参数,
,并且
,
,
。
证明 记
对于
,
,可以看出以下两种情况中必有一种成立
(2.31)
(2.32)
Step (1) 如果(2.31)成立,则由定理2.4.4可得,存在
使得当
时,
(2.33)
或者
(2.34)
成立,其中
,并且由 可得当
时,有
。
Step (2) 如果(2.32)成立,则由定理2.4.5可得,存在
使得当
时,
(2.35)
或者
(2.36)
成立,并且由(2.36)可得当
时,有
。
已知
,则当
时,
,即(2.33), 成立,故
,所以
。因此,当
,我们有
其中
仅依赖于
。由引理2.5.1可得,
其中
。所以结论成立。
□
定理2.5.2 令
,Q与界面