1. 引言
本文,我们关注以下可压缩磁流体力学(MHD)方程组的大解的时间导数的衰减率:
(1.1)
其中,未知函数
,
,
以及
分别表示密度、速度、磁场和压强。压强
是一个光滑函数满足
。
是粘性系数满足
和
。
是磁扩散系数满足
。
在(1.1)中磁场
时,可压缩MHD方程组转变为可压缩Navier-Stokes (N-S)方程组。最近,He,Huang和Wang [1] 证明了可压缩N-S方程组大解的全局稳定性。同时,如果初值
,其中,
,他们建立了解的衰减率:
(1.2)
随后,在 [1] 工作的基础上,Gao,Wei和Yao [2] 建立了以下的衰减率,
,
(1.3)
对三维可压缩MHD方程组,如果
充分小,Chen和Tan [3] 证明了光滑解的全局存在性。进一步,如果
,他们还得到了解的空间导数的衰减率:
(1.4)
Li和Yu [4] 证明了
的情况。此外,Zhang和Zhao [5] 估计了解的时间导数的衰减率,
(1.5)
随后,Gao,Chen和Yao [6] 改进了Chen和Tan [3],Li和Yu [4] 的工作,建立了解的高阶空间导数和混合时空导数的衰减率:
(1.6)
其中
。如果初值
,受Guo和Wang [7] 的启发,Tan和Wang [8] 得到了解的空间导数的衰减率,
(1.7)
对于完全可压缩MHD方程组,Pu和Guo [9],Gao,Tao和Yao [10] 分别证明了(1.4)和(1.6)。对可压缩Hall-MHD方程组,如果
充分小,Gao和Yao [11] 证明了解的全局存在性。进一步,如果
,他们建立了如下的衰减率:
(1.8)
其中,
。此外,他们还在
框架下得到了与可压缩MHD方程组相似的结论。
对于三维可压缩MHD方程组的大解,Chen,Huang和Xu [12] 研究了解在整个空间中的全局时间稳定性。如果初值
,他们证明了解的衰减率,
(1.9)
在 [12] 的基础上,Gao,Wei和Yao [13] 证明了磁场
的空间和时间导数的衰减率,
(1.10)
在 [14] 中,Wang,Chen和Wang得到了大解的时间和空间导数的衰减率:
(1.11)
然后,在没有给出大解时间导数衰减率的情况下,他们在 [15] 中进一步得到大解较高空间导数的衰减率:
(1.12)
因此,本文致力于得到比(1.11)更好的大解的时间导数衰减率。在陈述本文定理之前,强调一些后面将用到的符号和定理。
定义:常数C是与时间t无关的正常数,在不同的位置可能代表不同的数值。
和
分别表示带有范数
的Sobolev空间以及带有范数
的Lebesgue空间。为了简单起见,我们定义
。
本文的主要目的是得到大解的时间导数的衰减率,这取决于解和它们的空间导数。因此,首先引入如下定理。
定理1.1 ( [12]):设
,
是(1.1)的一个光滑解满足
,
。初值
满足
和相容性条件:
如果
,那么
,有:
(1.13)
(1.14)
(1.15)
其中,
和
是依赖于
和
但与时间t无关的正的常数。
定理1.2 ( [15]):在定理1.1的假设下,(1.1)的大解
有如下的衰减率:
(1.16)
其中,T表示足够大的时间。
最后,本文主要结论如下:
定理1.3:在定理1.1的假设下,(1.1)的大解
的时间导数有如下的衰减率:
(1.17)
其中,时间T如定理1.2的定义。
注:由于质量方程是双曲方程,
的衰减估计受到
衰减率的影响。同时
也受
的限制。
注:与 [14] 相比,我们得到
的衰减率是
,这优于
。此外,我们得到了密度
的混合时空导数的衰减率。
本文内容如下:第2节重新表述了方程组(1.1)并引入一些将会用到的引理。第3节证明了主要结果定理1.3。
2. 准备工作
在本节中,我们将重新表述方程组(1.1)。首先我们引入以下等式。
定义
,(1.1)可表述为:
(2.1)
其中,非线性项
的定义如下:
(2.2)
事实上,将(1.1)1中的
替换为
,得到:
(2.3)
借助
,整理得:
(2.4)
对(2.1)2,应用
和(1.1)1,容易得到:
(2.5)
(2.5)两边同时乘
(即
),我们有
(2.6)
将
代入(2.6),把线性项放在左边非线性项放在右边,
(2.7)
(2.1)3可以从(1.1)3直接推导出。
接下来,给出关于n的一些重要的非线性函数。为了方便起见,定义
(2.8)
引理2.1:(2.8)定义的函数满足如下不等式:
(2.9)
证明:由定理1.1知
,这意味着
。因此,可以推出
(2.10)
因为
是定义在1的某邻域上的光滑函数,故
(2.11)
(2.12)
对于
和
的导数,通过计算有:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
最后引入一些将在后面用到的Sobolev不等式。
引理2.2:( [16] [17])
,如果
,那么
(2.16)
3. 定理1.3的证明
证明:借助(2.1),(2.2),Holder不等式,(2.16)和(1.16),我们有:
(3.1)
(2.1)1取一阶空间导数,类似于(3.1),得到:
(3.2)
通过(2.2),Holder不等式,引理2.1,(2.16)和(1.16),容易推出:
(3.3)
因此,利用(2.1),(3.3)和(1.16)可以得到:
(3.4)
最后,再次使用(2.1),(2.2),Holder不等式,(2.16)和(1.16),我们有:
(3.5)
致谢
作者衷心感谢陈菲老师的指导和建议。
基金项目
国家自然科学基金(项目编号:12101345);山东省自然科学基金(项目编号:ZR2021QA017)。
NOTES
*通讯作者。