带有强阻尼的粘弹性方程的随机吸引子

Random Attractors of Viscoelastic Equation with Strong Damping

摘要: 关于有界域上的粘弹性问题已经被很多人研究，但目前还未见无界域上的相关研究，所以本文将考虑无界域上具有加性噪声的粘弹性方程解的渐近行为。为了克服在无界域上由Sobolev嵌入的非紧性所造成的困难，我们利用截断函数和算子分解的方法，得到了解的渐近紧性，最后，获得了与方程相关的动力系统随机吸引子的存在唯一性。

Abstract: The viscoelastic problem in bounded domain has been studied by many authors, but there is no relevant study in unbounded domain. Therefore, in this paper, the asymptotic behavior of the so-lution of viscoelastic equation with additive noise in unbounded domain is considered. To overcome the difficulty caused by the noncompactness of Sobolev embeddedness on unbounded domains, a cut-off function and a decomposition trick are used to establish the asymptotic compactness of the solutions. Finally, we obtain the existence and uniqueness of random attractors for dynamical systems associated with the equation.

1. 介绍

本文研究如下定义在 ${ℝ}^n$ 上具有加性噪声的粘弹性方程的长时间动力学行为，

$u_{tt}-\Delta u_{tt}-\Delta u-\Delta u_t+f\left(x,u\right)=h\left(x\right)\frac{\text{d}W}{\text{d}t}$,(1.1)

初值条件为

$u\left(x,\tau \right)=u_0\left(x\right)$, $u_t\left(x,\tau \right)=u_1\left(x\right)$, (1.2)

其中 $x\in {ℝ}^n$， $t>\tau$， $\tau \in ℝ$， $h\in L^2\left({ℝ}^n\right)$， $W\left(t\right)$ 是定义在概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 上的双边实值Wiener过程。

随着科学技术的不断发展，各式各样的非线性问题引起了大家日益密切的关注，这类问题源自于应用数学，物理学等各种应用学科中的非线性偏微分方程。固体力学有很多不同的研究分类，粘弹性理论就是其中之一，如高聚合材料混凝土，某种生物组织以及在高速运动下发生变形的金属材料，不仅有弹性特质，而且还拥有粘性特征，这种兼备两者不同特点的材料称为粘弹性体。

早在1970年，Dafermos在文献 [1] 中，讨论了确定的一维粘弹性问题，建立了一些存在性结果，然后证明了光滑单调递减松弛函数在t趋于无穷时解趋于零。但是，没有具体的衰变速率。在文献 [2] 中。Dafermos在关于记忆核的凸性条件下，也得到了类似的结果。在这之后，许多作者对粘弹性问题做了大量的研究，建立了许多存在性和长期行为的结果。例如：在文献 [3] 中，Cavalcanti和Oqundo研究了如下方程

$u_{tt}-k_0\Delta u+{\displaystyle {\int }_0^{t}d}iv\left[a\left(x\right)g\left(t-s\right)\nabla u\left(s\right)\right]\text{d}s+f\left(u\right)+b\left(x\right)h\left(u_t\right)=0$,(1.3)

其中， $a,b$ 是非增函数， $f,h$ 是幂函数。在松弛函数g和 $g^{\prime }\left(t\right)\le -\xi \left(t\right)G\left(g\left(t\right)\right)$ 的条件下，得到了非线性局部摩擦阻尼作用的部分粘弹性非线性波动方程的指数衰减率和多项式衰减率。类似结果见文献 [4] [5] [6] 等。

秦玉明等在文献 [7] 中研究了具有非自治扰动和历史记忆的非自治粘弹性方程

${\left|u_t\right|}^{\rho }{u}_{tt}-\Delta u-\Delta u_{tt}+{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }g}\left(s\right)\Delta u\left(t-s\right)\text{d}s+u_t=\epsilon \sigma \left(x,t\right)$, $x\in \Omega ,t>\tau$,(1.4)

其中，g是记忆核函数， $\sigma =\sigma \left(x,t\right)$ 是非自治项，称为一个特征，并证明了方程(1.4)的拉回吸引子的存在性和上半连续性。

在文献 [8] 中，彭小明等用阻尼函数 $g\left(u_t\right)$ 代替弱阻尼 $u_t$，研究了如下方程

${\left|u_t\right|}^{\rho }{u}_{tt}-\Delta u_{tt}-\alpha \Delta u+{\displaystyle {\int }_{-\infty }^t\mu }\left(t-s\right)\Delta u\left(s\right)\text{d}s+f\left(u\right)+g\left(u_t\right)=h\left(x\right)$, (1.5)

其中，g是阻尼函数，f是源项，h是外力项，并得到了全局吸引子的存在性。

在文献 [9] 中，张等研究了带衰退的粘弹性方程的长时间行为

$u_{tt}-\Delta u_{tt}-\gamma \Delta u+{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{k}^{\prime }}\left(s\right)\Delta u\left(t-s\right)\text{d}s+f\left(u\right)=g\left(x\right)$, (1.6)

其中，g是外力项，f是非线性函数，k是记忆核。上式主要特点是不含有强阻尼项 $-\Delta u_t$，通过证明粘弹性方程解生成的半群的渐近紧性，得到了全局吸引子的存在性以及上半连续性。

Belhannache在文献 [10] 中，考虑了带有非线性摩擦阻尼和松弛函数满足 $g^{\prime }\left(t\right)\le -\xi \left(t\right)G\left(g\left(t\right)\right)$ 条件的粘弹性方程，利用乘法和凸函数的一些性质，由Galaerkin方法建立了解的存在性，并证明了一般衰减结果。在文献 [11] 中，作者假设 $g^{\prime }\left(t\right)\le -\xi \left(t\right)H\left(g\left(t\right)\right)$，考虑了带有弱内部阻尼，时变延迟项和非线性加权项的粘弹性方程，证明了一个吸引性结果。在文献 [12] 中，作者证明了粘弹性非退化的Kirchhoff方程初边值问题解的全局存在性和衰退性。

就我们所知，还未见具有噪声扰动的粘弹性方程的研究结果。因此，我们将在本文研究无界域上的粘弹性方程随机吸引子的存在性。关于随机吸引子的概念可以在文献 [11] [12] [13] [14] 中查到。对于此方程在无界域上的研究，最主要的困难是Sobolev嵌入的非紧性，它与解的渐近紧性密切相关。我们参考文献 [15] 中的方法，利用截断函数和一些分解技巧克服了在 ${ℝ}^n$ 上Sobolev嵌入的非紧性造成的困难，证明了粘弹性方程(1.1)随机吸引子的存在性。

本文结构如下，关于随机动力系统的一些基本概念和结果在下一部分阐述。在第三部分，定义了 ${ℝ}^n$ 上粘弹性方程(1.1)的一个连续随机动力系统。在第四部分，我们对于大的空间和时间变量下的解进行一致估计，最后在第五部分证明了方程(1.1)随机吸引子的存在性。

我们定义 $\Vert \cdot \Vert$ 和 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是 $L^2\left(R^n\right)$ 上的范数和内积，且 ${\Vert \cdot \Vert }_p$ 表示 $L^p\left(R^n\right)$ 上的范数。

2. 准备工作

在这一部分，我们给出一些与随机吸引子相关的基本概念，见文献 [13] [14] [15] [16] [17]。

设 $\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_X\right)$ 是具有Borelσ-代数 $\mathcal{B}\left(X\right)$ 的一个可分的Hilbert空间，并且 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 是一个概率空间。

定义2.1 [15] 称 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P,{\left({\theta }_t\right)}_{t\in R}\right)$ 是一个度量动力系统，如果 $\theta :R\times \Omega \to \Omega$ 是 $\left(\mathcal{B}\left(R\right)\times \mathcal{F},\mathcal{F}\right)$ -可测的， ${\theta }_0$ 是 $\Omega$ 上的恒等映射，且对于所有的 $s,t\in R$，有 ${\theta }_{s+t}={\theta }_t\circ {\theta }_s$ 和对于所有的 $t\in R$，有 ${\theta }_{t}P=P$。

定义2.2 [15] 设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P,{\left({\theta }_t\right)}_{t\in R}\right)$ 是一个度量动力系统，映射

$\Phi :R^{+}\times \Omega \times X\to X$, $\left(t,\omega ,x\right)\mapsto \Phi \left(t,\omega ,x\right)$,

如果它是 $\left(\mathcal{B}\left(R^{+}\right)\times \mathcal{F}\times \mathcal{B}\left(X\right),\mathcal{B}\left(X\right)\right)$ -可测的，则称 $\Phi$ 是X上的一个连续随机动力系统(RDS)，并且对于 $P-a.e.\omega \in \Omega$，满足以下三个条件：

(i) $\Phi \left(0,\omega ,\cdot \right)$ 是定义X在上的恒等映射；

(ii) 对于所有的 $t,s\in R^{+}$， $\Phi \left(t+s,\omega ,\cdot \right)=\Phi \left(t,{\theta }_s\omega ,\cdot \right)\circ \Phi \left(s,\omega ,\cdot \right)$ ；

(iii) 对于所有的 $t\in R^{+}$， $\Phi \left(t,\omega ,\cdot \right):X\to X$ 是连续的。

定义2.3 [16] 称X上的一个有界子集 ${\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是关于 ${\left({\theta }_t\right)}_{t\in R}$ 缓增的，如果对于所有的 $\beta >0$，

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-\beta t}d\left(B\left({\theta }_{-t}\omega \right)\right)=0$, $P-a.e.\omega \in \Omega$,

其中 $d\left(B\right)=\underset{x\in B}{\sup }{\Vert x\Vert }_X$。

定义2.4设 $\mathcal{D}$ 是X的随机子集的集合，并且 ${\left\{K\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，称 ${\left\{K\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是 $\Phi$ 在 $\mathcal{D}$ 上的一个拉回吸收集，如果对于每一个 $B\in \mathcal{D}$，存在 $t_B\left(\omega \right)>0$，使得对所有的 $t\ge t_B(\; \omega \; )$

$\Phi \left(t,{\theta }_{-t}\omega ,B\left({\theta }_{-t}\omega \right)\right)\subseteq K\left(\omega \right)$, $P-a.e.\omega \in \Omega$.

定义2.5 [16] 设 $\mathcal{D}$ 是X的随机子集的集合， $\mathcal{D}$ 被称为内闭集合，如果对于所有的 $\omega \in \Omega$，有 $D=D{\left(\omega \right)}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$ 和 $\tilde{D}=\left\{\tilde{D}\left(\omega \right)\subseteq X:\omega \in \Omega \right\}$， $\tilde{D}\left(\omega \right)\subseteq D\left(\omega \right)$，意味着 $\tilde{D}\in \mathcal{D}$。

定义2.6 [15] 设 $\mathcal{D}$ 是X的随机子集的集合，如果 $P-a.e.\omega \in \Omega$，当 $t_n\to \infty$ 时， ${\left\{\Phi \left(t_n,{\theta }_{-t_n}\omega ,x_n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在X上有一个收敛子列，并且 $x_n\in B\left({\theta }_{-t_n}\omega \right)$ 有 ${\left\{\left(B\left(\omega \right)\right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，则称 $\Phi$ 在X上是 $\mathcal{D}$ -拉回渐近紧的。

定义2.7 [13] 设 $\mathcal{D}$ 是X的随机子集的集合，并且 ${\left\{\left(A\left(\omega \right)\right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，则称 ${\left\{\left(A\left(\omega \right)\right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是 $\Phi$ 上的一个 $\mathcal{D}$ -随机吸引子(或者 $\mathcal{D}$ -拉回吸引子)，如果对于 $P-a.e.\omega \in \Omega$，满足下列条件：

(i) 对所有的 $x\in X$， $\mathcal{A}\left(\omega \right)$ 是紧的，并且 $\omega \mapsto d\left(x,\mathcal{A}\left(\omega \right)\right)$ 是可测的；

(ii) ${\left\{\mathcal{A}\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是不变的，即

$\Phi \left(t,\omega ,\mathcal{A}\left(\omega \right)\right)=\mathcal{A}\left({\theta }_t\omega \right)$, $\forall t\ge 0$ ;

(iii) ${\left\{\mathcal{A}\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 吸引 $\mathcal{D}$ 中的每一个集合，也就是说对于每一个 ${\left\{\left(B\left(\omega \right)\right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$。

其中 $d\left(Y,Z\right)=\underset{y\in Y}{\sup }\underset{z\in Z}{\inf }{\Vert y-z\Vert }_X$ 是对于所有的 $Y\in X$ 和 $Z\in X$ 所给定的Hausdorff半距离。

定理2.8 [15] 设 $\mathcal{D}$ 是X上的随机子集的一个内闭集合，并且 $\Phi$ 是X上的一个连续的随机动力系统。若 ${\left\{K\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是 $\Phi$ 在 $\mathcal{D}$ 上的一个闭吸收集，并且 $\Phi$ 在X上是 $\mathcal{D}$ -拉回渐近紧的，那么 $\Phi$ 有唯一的 $\mathcal{D}$ -随机吸引子 ${\left\{\mathcal{A}\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$，且

$\mathcal{A}\left(\omega \right)={\displaystyle \underset{\tau \ge 0}{\cap }\overline{{\displaystyle \underset{t\ge \tau }{\cup }\Phi }\left(t,{\theta }_{-t}\omega ,K\left({\theta }_{-t}\omega \right)\right)}}$.

3. 粘弹性方程

在这一部分，我们定义 $H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$ 上与粘弹性方程相关的连续随机动力系统。设 $z=u_t+\delta u$，这里 $\delta$ 是一个小的正常数，则问题(1.1)~(1.2)转化为，

$u_t+\delta u=z$, (3.1)

$z_t-\delta z+{\delta }^{2}u-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\Delta u-\left(1-\delta \right)\Delta z-\Delta z_t+f\left(x,u\right)=h\left(x\right)\frac{\text{d}W}{\text{d}t}$, (3.2)

初值条件为

$u\left(x,\tau \right)=u_0\left(x\right)$, $z\left(x,\tau \right)=z_0\left(x\right)$. (3.3)

其中， $z_0\left(x\right)=u_1\left(x\right)+\delta u_0\left(x\right)$， $x\in {ℝ}^n$， $t>\tau$，以及 $\tau \in ℝ$， $\delta >0$， $h\in L^2\left({ℝ}^n\right)$，对所有的 $\omega \in \Omega$， $\omega \left(t\right)=W\left(t\right)$， $\omega \left(0\right)=0$，定义一族保测位移算子

${\theta }_t\omega (\cdot )=\omega \left(\cdot +t\right)-\omega \left(t\right)$,

那么 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P,{\left({\theta }_t\right)}_{t\in R}\right)$ 是一个度量动力系统。定义 $F\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}f}\left(x,s\right)\text{d}s$， $x\in R^n$， $u\in R$。假设非线

性项f满足如下条件：

$\left|f\left(x,u\right)\right|\le a_1{\left|u\right|}^r+{\phi }_1\left(x\right)$, ${\phi }_1\in L^2\left(R^n\right)$, (3.4)

$f\left(x,u\right)u\ge a_{2}F\left(x,u\right)+{\phi }_2\left(x\right)$, ${\phi }_2\in L^1\left(R^n\right)$, (3.5)

$F\left(x,u\right)\ge a_3{\left|u\right|}^{r+1}-{\phi }_3\left(x\right)$, ${\phi }_3\in L^1\left(R^n\right)$, (3.6)

$\left|f_u\left(x,u\right)\right|\le a_4{\left|u\right|}^{r-1}+{\phi }_4\left(x\right)$, ${\phi }_4\in H^1\left(R^n\right)$, (3.7)

其中当 $n=1,2$ 时， $1\le r<\infty$ ；当 $n=3$ 时， $1\le r<5$。 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $a_4$ 是正常数。

下面，我们将粘弹性系统(3.1)~(3.3)转换为一个具有随即参数的确定系统。设 $h_1={\left(I-\Delta \right)}^{-1}h$ 和 $v\left(t,\tau ,\omega \right)=z\left(t,\tau ,\omega \right)-h_1\omega \left(t\right)$，那么(3.1)~(3.3)变为

$u_t+\delta u=v+h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)$, (3.8)

$\begin{array}{l}{v}_t-\Delta v_t-\delta v-\left(1-\delta \right)\Delta v+{\delta }^{2}u-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\Delta u\\ -\delta h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)-\left(1-\delta \right)\Delta h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)+f\left(x,u\right)=0\end{array}$, (3.9)

$u\left(x,\tau \right)=u_0\left(x\right)$， $v\left(x,\tau \right)=v_0\left(x\right)$, (3.10)

其中 $v_0\left(x\right)=z_0\left(x\right)-h_1\left(x\right)\omega \left(\tau \right)$。如果 $h\in L^2\left(R^n\right)$，那么 $h_1\in H^2\left(R^n\right)$。

利用与文献 [18] [19] 类似的方法，我们可以证明对 $P-a.e.\omega \in \Omega ,\tau \in R$ 和 $\left(u_0,v_0\right)\in H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$，

问题(3.8)~(3.10)有唯一解

$\left(u\left(\cdot ,\tau ,\omega \right),v\left(\cdot ,\tau ,\omega \right)\right)\in C\left(\left[\tau ,\infty \right),H^1\left(R^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)\right)$， $\left(u\left(\tau ,\tau ,\omega \right),v\left(\tau ,\tau ,\omega \right)\right)=\left(u_0,v_0\right)$，并且解关于初值 $\left(u_0,v_0\right)$ 在 $H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$ 上连续。

由此，对每个 $\left(t,\omega ,\left(u_0,z_0\right)\right)\in R^{+}\times \Omega \times H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$，定义映射 $\Phi :R^{+}\times \Omega \times H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)\to H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$，

$\Phi \left(t,\omega ,\left(u_0,z_0\right)\right)=\left(u\left(t,\tau ,\omega \right),z\left(t,\tau ,\omega \right)\right)=\left(u\left(t,\tau ,\omega \right),v\left(t,\tau ,\omega \right)+h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\right)$,

那么 $\Phi$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P,{\left({\theta }_t\right)}_{t\in R}\right)$ 上的一个连续随机动力系统，且对所有的 $\omega \in \Omega$ 和 $t\ge \tau$， $\Phi$ 满足，

$\Phi \left(t,{\theta }_{-t}\omega ,\left(u_0,z_0\right)\right)=\left(u\left(t,\tau ,{\theta }_{-t}\omega \right),z\left(t,\tau ,{\theta }_{-t}\omega \right)\right)=\left(u\left(\tau ,-t,\omega \right),z\left(\tau ,-t,\omega \right)\right)$.

设 $\delta >0$ 足够小，使得 $1-\delta >0$， $1-\delta +{\delta }^2>0$，令

$k=\frac{1}{2}\min \left\{\delta ,1-\delta ,\delta a_2\right\}$, (3.11)

4. 一致估计

在这一部分，我们将在 $H^1\left(R^n\right)\times H^1\left(R^n\right)$ 上对问题(3.8)~(3.10)的解进行估计。

引理4.1假设 $h\in L^2\left(R^n\right)$，条件(3.4)~(3.7)成立， $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$， $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)$，从而对每个 $\tau \le T$ 和 $P-a.e.\omega \in \Omega$，存在 $T=T\left(B,\omega \right)<0$，使得(3.8)~(3.10)的解 $\left(u\left(t,\tau ,\omega \right),v\left(t,\tau ,\omega \right)\right)$，满足对每个 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

${\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^2+{\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^2\le {\text{e}}^{-kt}{c}_1\left(\omega \right)$, (4.1)

并且

${\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{k\xi }\left({\Vert u\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^2+{\Vert v\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^2\right)\text{d}\xi }\le c_1\left(\omega \right)$, (4.2)

其中 $c_1\left(\omega \right)$ 是一个正的随机函数，且当 $s\to -\infty$，对任意的 $\beta >0$，

${\text{e}}^{\beta s}{c}_1\left({\theta }_s\omega \right)\to 0$. (4.3)

证明用v与(3.9)在 $L^2\left(R^n\right)$ 上作内积可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert v\Vert }^2+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla v\Vert }^2-\delta {\Vert v\Vert }^2+\left(1-\delta \right){\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2\left(u,v\right)-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\left(\Delta u,v\right)\\ -\delta \omega \left(t\right)\left(h_1\left(x\right),v\right)-\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\Delta h_1\left(x\right),v\right)+\left(f\left(x,u\right),v\right)=0\end{array}$, (4.4)

由(3.8)我们有

$\left(u,v\right)=\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+\delta {\Vert u\Vert }^2-\omega \left(t\right)\left(u,h_1\left(x\right)\right)$, (4.5)

$-\left(\Delta u,v\right)=\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }^2+\delta {\Vert \nabla u\Vert }^2-\omega \left(t\right)\left(\nabla u,\nabla h_1\left(x\right)\right)$, (4.6)

$\left(f\left(x,u\right),v\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x+\delta \left(f\left(x,u\right),u\right)-\omega \left(t\right)\left(f\left(x,u\right),h_1\left(x\right)\right)$, (4.7)

将(4.5)~(4.7)代入(4.4)得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\right)\\ -2\delta {\Vert v\Vert }^2+2\left(1-\delta \right){\Vert \nabla v\Vert }^2+2{\delta }^3{\left|\left|u\right|\right|}^2+2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta {\Vert \nabla u\Vert }^2+2\delta \left(f\left(x,u\right),u\right)\\ =2{\delta }^2\omega \left(t\right)\left(u,h_1\left(x\right)\right)+2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\omega \left(t\right)\left(\nabla u,\nabla h_1\left(x\right)\right)+2\delta \omega \left(t\right)\left(h_1\left(x\right),v\right)\\ =-2\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\nabla h_1\left(x\right),\nabla v\right)+2\omega \left(t\right)\left(f\left(x,u\right),h_1\left(x\right)\right)\end{array}$. (4.8)

下面对(4.8)中等式右边的各项进行估计。由Hölder不等式和Young不等式得到

$2{\delta }^2\omega \left(t\right)\left(u,h_1\left(x\right)\right)\le {\delta }^3{\Vert u\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\left(x\right)\Vert }^2$, (4.9)

$2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\omega \left(t\right)\left(\nabla u,\nabla h_1\left(x\right)\right)\le \delta \left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\left(x\right)\Vert }^2$, (4.10)

$-2\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\nabla h_1\left(x\right),\nabla v\right)\le \left(1-\delta \right){\Vert \nabla v\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\left(x\right)\Vert }^2$ (4.11)

$2\delta \omega \left(t\right)\left(h_1\left(x\right),v\right)\le -3\delta {\Vert v\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\left(x\right)\Vert }^2$, (4.12)

由(3.5)可得

$\left(f\left(x,u\right),u\right)\ge a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^n}{\phi }_2\left(x\right)\text{d}x}$, (4.13)

运用Hölder不等式和Young不等式，我们由(3.4)和(3.6)

$\begin{array}{c}2\omega \left(t\right)\left(f\left(x,u\right),h_1\left(x\right)\right)\le 2\left|\omega \left(t\right)\right|\left(\left(a_1{\left|u\right|}^r+{\phi }_1\left(x\right)\right)\left|h_1\left(x\right)\right|\right)\\ \le 2\left|\omega \left(t\right)\right|\Vert {\phi }_1\Vert \Vert h_1\Vert +a\left|\omega \left(t\right)\right|{\Vert h_1\Vert }_{r+1}{\left({\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|u\right|}^{r+1}}\text{d}x\right)}^{\frac{r}{r+1}}\\ \le 2\left|\omega \left(t\right)\right|\Vert {\phi }_1\Vert \Vert h_1\Vert +a\left|\omega \left(t\right)\right|{\Vert h_1\Vert }_{r+1}{\left({\displaystyle {\int }_{R^n}\left(F\left(x,u\right)+{\phi }_3\right)}\right)}^{\frac{r}{r+1}}\\ \le 2\left|\omega \left(t\right)\right|\Vert {\phi }_1\Vert \Vert h_1\Vert +\delta a{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x+\delta a{\displaystyle {\int }_{R^n}{\phi }_3\left(x\right)\text{d}x}+a{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}{\Vert h_1\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{r+1}\end{array}$. (4.14)

因为 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3\in L^2\left(R^n\right)$ 和 $h_1\in H^2\left(R^n\right)$，将(4.9)~(4.14)代入到(4.8)中，我们得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\right)\\ +\delta {\Vert v\Vert }^2+\left(1-\delta \right){\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^3{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta {\Vert \nabla u\Vert }^2+\delta a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\\ \le c\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\end{array}$. (4.15)

结合(3.6)和(3.11)

$\delta a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\ge 2k{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x+\left(2k-\delta a_2\right){\displaystyle {\int }_{R^n}{\phi }_3}\text{d}x$, (4.16)

利用(3.11)和(4.16),(4.15)可以化为

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\right)\\ +k\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2+a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\right)\text{d}x\right)\\ +k\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\Vert }^2\right)\\ \le c\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\end{array}$. (4.17)

在方程(4.18)两边乘以 ${\text{e}}^{k\xi }$，然后关于 $\xi$ 在 $\left(\tau ,t\right)$ 上积分，我们得到

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{kt}\left({\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\text{d}x}\right)\\ +k{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{k\xi }}\left({\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\right)\text{d}\xi \\ \le {\text{e}}^{k\tau }\left({\Vert v_0\Vert }^2+{\Vert \nabla v_0\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u_0\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u_0\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u_0\right)\text{d}x\right)\\ +c{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{k\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\end{array}$. (4.18)

运用(3.4)和(3.5)，我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u_0\right)\text{d}x\le a{\displaystyle {\int }_{R^n}\left(\left|f\left(x,u_0\right)u_0\right|+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|\right)\text{d}x}\\ \le a{\displaystyle {\int }_{R^n}\left({\left|u_0\right|}^{r+1}+{\left|u_0\right|}^2+{\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|\right)\text{d}x}\\ \le a\left(1+{\Vert u_0\Vert }^2+{\Vert u_0\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{r+1}\right)\end{array}$. (4.19)

由(3.6)我们有

$2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\text{d}x\ge 2{\displaystyle {\int }_{R^n}\left(a_3{\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^{r+1}-{\phi }_3\left(x\right)\right)\text{d}x}\ge -2{\displaystyle {\int }_{R^n}{\phi }_3\left(x\right)\text{d}x}$. (4.20)

因为 $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_t\omega \right)$，将(4.19)和(4.20)应用到(4.18)中我们得到

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{kt}\left({\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\right)\\ +k{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{k\xi }\left({\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\right)\text{d}\xi }\\ \le c\left(1+{\text{e}}^{k\tau }{\left(d\left(B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)\right)\right)}^{r+1}+{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{k\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\right)\end{array}$.(4.21)

设 $r\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{k\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }$。因为 $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，存在 $T=T\left(B,\omega \right)<0$，使得对所有的 $\tau \le T$， $c{\text{e}}^{k\tau }{\left(d\left(B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)\right)\right)}^{r+1}\le r\left(\omega \right)$。在这种情况下，(4.21)的右端可以被 $c\left(1+r\left(\omega \right)\right)$ 控制。设 $c_1\left(\omega \right)=c\left(1+r\left(\omega \right)\right)$。如果我们可以证明 $c_1\left(\omega \right)$ 是缓增的，那么这个证明就可以完成。于是

$\begin{array}{c}{\text{e}}^{k\tau }{c}_1\left({\theta }_{\tau }\omega \right)\le c{\text{e}}^{k\tau }+c{\text{e}}^{k\tau }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{k\xi }\left({\left|\left({\theta }_{\tau }\omega \right)\left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\left({\theta }_{\tau }\omega \right)\left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\\ \le c{\text{e}}^{k\tau }+c{\text{e}}^{k\tau }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{k\xi }\left({\left|\omega \left(\tau \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\tau \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }+c{\text{e}}^{k\tau }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{k\xi }}\left({\left|\omega \left(\tau +\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\tau +\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi \\ \le c{\text{e}}^{k\tau }+\frac{c}{k}{\text{e}}^{k\tau }\left({\left|\omega \left(\tau \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\tau \right)\right|}^{r+1}\right)+c{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{k\tau }\left({\left|\omega \left(s\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(s\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}s}\end{array}$. (4.22)

根据(4.22)， $c_1\left(\omega \right)$ 满足(4.3)，也就意味着(4.22)满足引理4.1。

下面引理中给出了 $v_t$ 在 $H^1\left(R^n\right)$ 上的有界性。

引理4.2 假 $h\in L^2\left(R^n\right)$ 设，条件(3.4)~(3.7)成立， $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$， $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)$，那么对所有的 $\tau \le T$ 和 $P-a.e.\omega \in \Omega$，存在 $T=T\left(B,\omega \right)<0$，使得(3.8)~(3.10)的 $\left(u\left(t,\tau ,\omega \right),v\left(t,\tau ,\omega \right)\right)$，满足对所有的 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

${\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}+{\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}+{\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^2\le c{\text{e}}^{-kt}{c}_2\left(\omega \right)+c\left(1+{\text{e}}^{-kt}+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2\right)$. (4.23)

$c_2\left(\omega \right)={\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{\frac{k}{r}s}\left({\left|\omega \left(s\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(s\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}s}\right)}^r$.

证明我们从(4.17)和(4.19)中得到，存在 $T=T\left(B,\omega \right)<0$，使得对所有 $\tau \le T$ 的和 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

$\begin{array}{l}{\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{R^n}F}\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\text{d}x\\ \le {\text{e}}^{-\frac{k}{r}t}+c{\text{e}}^{-\frac{k}{r}t}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{\frac{k}{r}\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\end{array}$. (4.24)

根据(4.20)，对所有的 $\tau \le T$ 和 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

$\begin{array}{l}{\Vert v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\\ \le c+{\text{e}}^{-\frac{k}{r}t}+c{\text{e}}^{-\frac{k}{r}t}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{\frac{k}{r}\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\end{array}$. (4.25)

用 $v_t$ 与(3.9)在 $L^2\left(R^n\right)$ 上做内积，我们得到

$\begin{array}{c}{\Vert v_t\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2=\delta \left(v,v_t\right)-\left(1-\delta \right)\left(\nabla v,\nabla v_t\right)-{\delta }^2\left(u,v_t\right)-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\left(\nabla u,\nabla v_t\right)\\ +\delta \omega \left(t\right)\left(h_1\left(x\right),v_t\right)-\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\nabla h_1\left(x\right),\nabla v_t\right)-\left(f\left(x,u\right),v_t\right)\end{array}$. (4.26)

对于(4.26)右边的项，我们可以得到如下估计：

$-\left(-\delta v+{\delta }^{2}u+\delta \omega \left(t\right)h_1\left(x\right),v_t\right)\le \frac{1}{2}{\Vert v_t\Vert }^2+c\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2\right)$, (4.27)

$\begin{array}{l}-\left(\left(1-\delta \right)\nabla v+\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\nabla u+\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\nabla h_1\left(x\right),\nabla v_t\right)\\ \le \frac{1}{2}{\Vert \nabla v_t\Vert }^2+c\left({\Vert \nabla v\Vert }^2+\left|{\left|\nabla u\right|}^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2\right|{\left|\nabla h_1\right|}^2\right)\end{array}$. (4.28)

由(3.4)，我们有

$\begin{array}{c}\left|\left(f\left(x,u\right),v_t\right)\right|\le c_1{\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|u\right|}^r\left|v_t\right|\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{R^n}\left|{\phi }_1\right|}\left|v_t\right|\text{d}x\\ \le c_1{\Vert u\Vert }_{r+1}^r{\Vert v_t\Vert }_{r+1}+\Vert {\phi }_1\Vert \Vert v_t\Vert \\ \le c_1{\Vert u\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^r{\Vert v_t\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}+\Vert {\phi }_1\left(x\right)\Vert \Vert v_t\Vert \\ \le \frac{1}{4}{\Vert v_t\Vert }^2+\frac{1}{4}{\Vert \nabla v_t\Vert }^2+c\left(1+{\Vert u\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}\right)\end{array}$. (4.29)

根据(4.27)~(4.29)， ${\phi }_1\in L^2\left(R^n\right)$，以及 $h_1\in L^2\left(R^n\right)$，(4.26)可以变为如下形式

${\Vert v_t\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2\le c\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\Vert v\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}+{\Vert u\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}+{\Vert u_t\Vert }_{H^1\left(R^n\right)}^{2r}\right)$, (4.30)

由(4.25)，我们可以从(4.30)中得到，对于所有的 $\tau \le T$， $t\in \left[\tau ,0\right]$，

${\Vert v_t\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2\le c\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2\right)+c{\text{e}}^{-kt}+c{\text{e}}^{-kt}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{\frac{k}{r}\xi }\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi }\right)}^r$, (4.31)

根据(4.25)和(4.31)，引理4.2得证。

下面我们估计粘弹性方程在大的空间和时间变量下，解的一致尾部估计。给定 $k\ge 1$，定义集合 $Q_k=\left\{x\in R^n:\left|x\right|<k\right\}$， $R^n\backslash Q_k$ 是 $R^n$ 上 $Q_k$ 的组成部分，我们得到以下估计。

引理4.3 假设 $h\in L^2\left(R^n\right)$，条件(3.4)~(3.7)成立， $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$， $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)$，那么对所有的 $ϵ>0$ 和 $P-a.e.\omega \in \Omega$，存在 $T=T\left(B,\omega \right)<0$， $k_0=k_0\left(\omega ,ϵ\right)>0$ 使得对所有的 $\tau \le T$， $k\ge k_0$，(3.8)~(3.10)的解 $\left(u\left(t,\tau ,\omega \right),v\left(t,\tau ,\omega \right)\right)$，满足对每个的 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

${\displaystyle {\int }_{R^n\setminus Q_k}\left({\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2\right)\text{d}x}\le ϵ{\text{e}}^{-2kt}$. (4.32)

证明设 $\rho \left(s\right)$ 是一个光滑函数，使得对所有的 $s\in \left(R^n\right)$， $0\le \rho \left(s\right)\le 1$ 并且

$\rho \left(s\right)=\{\begin{array}{l}0,当\left|s\right|<1时,\\ 1,当\left|s\right|>1时.\end{array}$ (4.33)

存在一个正常数c，对所有的 $s\in R$， $\left|{\rho }^{\prime }\left(s\right)\right|\le c$， $\left|{\rho }^{″}\left(s\right)\right|\le c$，用 $\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)v$ 与(3.9)在 $L^2\left(R^n\right)$ 上作内积

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\right|}^2+{\left|\nabla v\right|}^2\right)\text{d}x-2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(\delta {\left|v\right|}^2-\left(1-\delta \right){\left|\nabla v\right|}^2\right)\text{d}x\\ +2{\delta }^2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)vu\text{d}x-2\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)v\Delta u\text{d}x+2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right)v\text{d}x\\ =2\delta {\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\omega \left(t\right)h_1\left(x\right)v\text{d}x}-2{\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v_t\cdot x\right)v\text{d}x}\\ +2\left(\delta -1\right){\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v\cdot x\right)v\text{d}x}+2\left(1-\delta \right){\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\omega \left(t\right)v\cdot \Delta h_1\left(x\right)\text{d}x\end{array}$.(4.34)

根据(3.8)，得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\right|}^2+{\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\right|}^2+2F\left(x,u\right)\right)\text{d}x\\ +2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-\delta {\left|v\right|}^2+\left(1-\delta \right){\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^3{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta {\left|\nabla u\right|}^2+\delta f\left(x,u\right)u\right)\text{d}x\\ =2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)({\delta }^2{h}_1\left(x\right)\omega \left(t\right)u+\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\nabla u\nabla h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)+\delta \omega \left(t\right)h_1\left(x\right)v\\ -\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\nabla v\nabla h_1\left(x\right)\omega \left(t\right))\text{d}x+2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right)h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\text{d}x}\\ -2{\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v_t\cdot x\right)v\text{d}x}+2\left(\delta -1\right){\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v\cdot x\right)v\text{d}x}\\ -2\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla u\cdot x\right)v\text{d}x}-2\left(1-\delta \right){\displaystyle {\int }_{R^n}{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\omega \left(t\right)\left(\nabla h_1\left(x\right)\cdot x\right)v\text{d}x}\end{array}$.(4.35)

由(3.4)~(3.6)，我们有

${\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right)u\text{d}x\ge a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)F\left(x,u\right)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\phi }_2\left(x\right)\text{d}x}$. (4.36)

根据(3.4)和(3.6)，我们有

$\begin{array}{c}2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right)h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\left|h_1\left(x\right)\right|}^2{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2}\text{d}x\\ +\delta a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)F\left(x,u\right)\text{d}x+\delta a_2{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\phi }_3\left(x\right)\text{d}x}\\ +c{\displaystyle {\int }_{R^n}\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\left|h_1\left(x\right)\right|}^{r+1}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}}\text{d}x\end{array}$. (4.37)

由(4.33)，我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\rho }^{\prime }}\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v_t\cdot x\right)v\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{k\le \left|x\right|\le \sqrt{2}k}\left|{\rho }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right|\frac{2\left|x\right|}{k^2}\left|v\right|\left|\nabla v_t\right|\text{d}x}\\ \le \frac{c}{k}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left({\left|v\right|}^2+{\left|\nabla v_t\right|}^2\right)\text{d}x}\le \frac{c}{k}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2\right)\end{array}$. (4.38)

类似于(4.38)也可以得到

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\rho }^{\prime }}\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla h_1\left(x\right)\cdot x\right)\omega \left(t\right)v\text{d}x\le \frac{c}{k}\left({\Vert v\Vert }^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2\right)$, (4.39)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\rho }^{\prime }}\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla u\cdot x\right)v\text{d}x\le \frac{c}{k}\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert \nabla u\Vert }^2\right)$, (4.40)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\rho }^{\prime }}\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2}{k^2}\left(\nabla v\cdot x\right)v\text{d}x\le \frac{c}{k}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2\right)$. (4.41)

将(4.36)~(4.41)应用到(4.35)中，得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\right|}^2+{\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\right|}^2+2F\left(x,u\right)\right)\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-\delta {\left|v\right|}^2+\left(1-\delta \right){\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^3{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta {\left|\nabla u\right|}^2+\delta a_{2}F\left(x,u\right)\right)\text{d}x\\ \le \frac{c}{k}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2\right)+\frac{c}{k}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2\\ +c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|h_1\left(x\right)\right|}^2+{\left|\nabla h_1\left(x\right)\right|}^2\right)\text{d}x\\ +c{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|+\left|{\phi }_3\left(x\right)\right|+{\left|h_1\left(x\right)\right|}^{r+1}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}x\end{array}$. (4.42)

由于 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3\in L^1\left({ℝ}^n\right)$， $h_1\in H^2\left({ℝ}^n\right)$，并且对于 $\left|x\right|\le k$， $\rho \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)=0$。那么存在一个 $k_1=k_1\left(ϵ\right)\ge 1$，使得对所有 $k\ge k_1$，

$\begin{array}{l}\frac{c}{k}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|h_1\left(x\right)\right|}^2+{\left|\nabla h_1\left(x\right)\right|}^2\right)\text{d}x\\ +c{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|+\left|{\phi }_3\left(x\right)\right|+{\left|h_1\left(x\right)\right|}^{r+1}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}x\\ =\frac{c}{k}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|h_1\left(x\right)\right|}^2+{\left|\nabla h_1\left(x\right)\right|}^2\right)\text{d}x\\ +c{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|+\left|{\phi }_3\left(x\right)\right|+{\left|h_1\left(x\right)\right|}^{r+1}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}x\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{c}{k}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\left({\left|h_1\left(x\right)\right|}^2+{\left|\nabla h_1\left(x\right)\right|}^2\right)\text{d}x}\\ +c{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\left({\left|{\phi }_1\left(x\right)\right|}^2+\left|{\phi }_2\left(x\right)\right|+\left|{\phi }_3\left(x\right)\right|+{\left|h_1\left(x\right)\right|}^{r+1}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}x}\\ \le cϵ\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\end{array}$. (4.43)

根据(3.11)和(4.43)，对所有的 $k\ge k_1$，(4.42)可以变为

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\right|}^2+{\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\right|}^2+2F\left(x,u\right)\right)\text{d}x\\ +2k{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-{\left|v\right|}^2-{\left|\nabla v\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\right|}^2+2F\left(x,u\right)\right)\text{d}x\\ \le \frac{c}{k}\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\Vert }^2\right)+cϵ\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^{r+1}\right)\end{array}$. (4.44)

下面将t换为 $\xi$，上式两边同乘以 ${\text{e}}^{2k\xi }$，然后关于 $\xi$ 在 $\left(\tau ,t\right),t\le 0$ 求积分，我们发现对于所有的 $k\le k_1$，

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{2kt}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+2F\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\right)\text{d}x\\ \le {\text{e}}^{2k\tau }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v_0\right|}^2+{\left|\nabla v_0\right|}^2+{\delta }^2{\left|u_0\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u_0\right|}^2+2F\left(x,u_0\right)\right)\text{d}x\\ +\frac{c}{k}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\text{e}}^{2k\xi }}\left({\Vert v\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla u\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla v_t\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\right)\text{d}\xi \\ +cϵ{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{2k\xi }}\left({\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^{r+1}\right)\text{d}\xi +cϵ\end{array}$.(4.45)

与(4.21)的估计类似，并且假设 $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)$，存在 $T=T\left(B,\omega ,ϵ\right)<0$ 使得对所有的 $\tau \le T$，

${\text{e}}^{2k\tau }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|u_0\right|}^2+{\left|\nabla v_0\right|}^2+{\delta }^2{\left|u_0\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u_0\right|}^2+2F\left(x,u_0\right)\right)\text{d}x\le ϵ$. (4.46)

另一方面，由引理4.1和4.2，存在 $k_2\left(ϵ\right)\ge k_1\left(ϵ\right)$， $T_1\le T$ 使得对所有的 $k\ge k_2$， $\tau \le T_1$，(4.45)右边项可以被 $c\in r_1\left(\omega \right)$ 控制，其中 $r_1\left(\omega \right)$ 是一个正的随机变量，从这以及(4.46)，并根据(4.45)我们得到对于所有的 $k\ge k_2$， $\tau \le T_1$， $t\in \left[\tau ,0\right]$，

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{2kt}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)({\left|v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2\\ +\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+2F\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right))\text{d}x\le cϵr\left(\omega \right)\end{array}$, (4.47)

其中 $r\left(\omega \right)$ 是一个正的随机变量，利用(3.6)我们有

$-2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)F\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\text{d}x\le 2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\phi }_3\left(x\right)\text{d}x\le 2{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\phi }_3\left(x\right)\text{d}x\le 2{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge k}\left|{\phi }_3\left(x\right)\right|\text{d}x}$.(4.48)

因为 ${\phi }_3\in L^1\left({ℝ}^n\right)$，由(4.48)我们发现存在 $k_3=k_3\left(ϵ\right)\ge k_2$，使得对所有的 $k\ge k_3$，

$-2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)F\left(x,u\left(t,\tau ,\omega \right)\right)\text{d}x\le ϵ$. (4.49)

然后我们可以从(4.47)和(4.49)中得到，对于所有的 $\tau \le T$， $k\ge k_3$ 以及 $t\in \left[\tau ,0\right]$，

$\begin{array}{l}{\text{e}}^{2kt}{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge \sqrt{2}k}\left({\left|v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2\right)\text{d}x}\\ \le {\text{e}}^{2kt}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\rho }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left({\left|v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+{\delta }^2{\left|u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\left|\nabla u\left(t,\tau ,\omega \right)\right|}^2\right)\text{d}x\\ \le ϵ+cϵr\left(\omega \right)\end{array}$. (4.50)

引理4.3得证。

现在我们检验在有界域上(3.8)~(3.10)解的行为。我们定义 $\psi \left(s\right)=1-\rho \left(s\right)$，这里的 $\rho \left(s\right)$ 是在(4.33)中所定义的。设 $k\ge 1$，定义

$\tilde{u}\left(x,t,\tau ,\omega \right)=\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)u\left(x,t,\tau ,\omega \right)$. (4.51)

$\tilde{v}\left(x,t,\tau ,\omega \right)=\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)v\left(x,t,\tau ,\omega \right)$, (4.52)

$\Delta \tilde{v}=\left(\Delta \psi \right)v+2\nabla \psi \cdot \nabla v+\psi \Delta v$, (4.53)

$\Delta {\tilde{v}}_t=\left(\Delta \psi \right)v_t+2\nabla \psi \cdot \nabla v_t+\psi \Delta v_t$. (4.54)

利用(4.53)~(4.54)，我们有

$\psi \Delta v=\Delta \tilde{v}-v\Delta \psi -2\nabla \psi \cdot \nabla v$, (4.55)

$\psi \Delta v_t=\Delta {\tilde{v}}_t-v_t\Delta \psi -2\nabla \psi \cdot \nabla v_t$. (4.56)

因为 $\tilde{u}\left(x,t,\tau ,\omega \right),\tilde{v}\left(x,t,\tau ,\omega \right)\in H_0^1\left(Q_{2k}\right)$，用(3.8)~(3.9)乘以 $\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)$，得

${\tilde{u}}_t+\delta \tilde{u}-\tilde{v}=\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)$, (4.57)

$\begin{array}{l}{\tilde{v}}_t-\Delta {\tilde{v}}_t-\delta \tilde{v}-\left(1-\delta \right)\Delta \tilde{v}+{\delta }^2\tilde{u}-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\Delta \tilde{u}-\delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\\ -\left(1-\delta \right)\Delta h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right)\\ =-\left(v_t\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla v_t\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right)-\left(1-\delta \right)\left(v\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\nabla v\right)\\ -\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\left(u\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla u\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right)\end{array}$. (4.58)

考虑特征值问题

$-\Delta \tilde{u}=\lambda \tilde{u}$, $x\in Q_{2k}$, ${\tilde{u}|}_{\partial Q_{2k}}=0$. (4.59)

因此，问题有一族特征值 ${\left\{{\lambda }_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 对应的特征函数 ${\left\{e_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 的集合，使得 ${\left\{e_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 是 $L^2\left(Q_{2k}\right)$ 上的一个标准正交基，并且，当 $j\to \infty$ 时，

${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdot \cdot \cdot \le {\lambda }_j\to \infty$.

给定n，设 $X_n=span\left\{e_1,\cdots ,e_n\right\}$， $P_n:L^2\left(Q_{2k}\right)\to X_n$ 是投影算子。

引理4.4 假设 $h\in L^2\left(R^n\right)$，条件(3.4)~(3.7)成立， $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，那么对于每个 $ϵ>0$ 和 $P-a.e.\omega \in \Omega$，存在 $K=K\left(\omega ,ϵ\right),T=T(B,\omega ,ϵ)<0$ 和 $N=N\left(\omega ,ϵ\right)$，使得对于所有的 $k\ge K,\tau \le T,n\ge N$，

${\Vert \left(I-P_n\right)\tilde{u}\left(\cdot ,0,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H_0^1\left(Q_{2k}\right)}+{\Vert \left(I-P_n\right)\tilde{v}\left(\cdot ,0,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H_0^1\left(Q_{2k}\right)}\le ϵ$. (4.60)

证明.设 ${\tilde{u}}_{n,1}=P_n\tilde{u}$， ${\tilde{u}}_{n,2}=\tilde{u}-{\tilde{u}}_{n,1}$， ${\tilde{v}}_{n,1}=P_n\tilde{v}$，并且 ${\tilde{v}}_{n,2}=\tilde{v}-{\tilde{v}}_{n,1}$，将 $\left(I-P_n\right)$ 应用到(4.57)中得到：

${\tilde{v}}_{n,2}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\tilde{u}}_{n,2}+\delta {\tilde{u}}_{n,2}-\left(I-P_n\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\omega \left(t\right)\right)$. (4.61)

将 $\left(I-P_n\right)$ 应用到(4.58)，接着用 ${\tilde{v}}_{n,2}$ 在 $L^2\left(Q_{2k}\right)$ 上作内积，我们得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2-\delta {\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta \right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2\left({\tilde{u}}_{n,2},{\tilde{v}}_{n,2}\right)-\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\left(\Delta {\tilde{u}}_{n,2},{\tilde{v}}_{n,2}\right)\\ -\delta \omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)-\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\Delta h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)+\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\\ =-\left(v_t\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla v_t\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)-\left(1-\delta \right)\left(v\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla v\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\\ -\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\left(u\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)+2\nabla u\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\end{array}$.(4.62)

由(4.61)我们有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\right)-2\delta {\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2\\ +2\left(1-\delta \right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+2{\delta }^3{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta {\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\\ =2\delta \omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)+\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-2v_t-2\left(1-\delta \right)v-2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)u,{\tilde{v}}_{n,2}\right)\\ +\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-4\nabla v_t-4\left(1-\delta \right)\nabla v-4\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\nabla u,{\tilde{v}}_{n,2}\right)+2{\delta }^2\omega \left(t\right)\left({\tilde{u}}_{n,2},\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\right)\\ -2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\omega \left(t\right)\left({\tilde{u}}_{n,2},\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\right)+2\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\Delta h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\\ -2\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\end{array}$. (4.63)

由于 ${\psi }^{\prime }\left(s\right)=0,s\notin \left(1,2\right)$，那么我们得

$\left|\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right|=\left|{\psi }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right|\frac{2\left|x\right|}{k^2}\le \left|{\psi }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right|\frac{2\sqrt{2}k}{k^2}\le \frac{c}{k}$, (4.64)

并且

$\left|\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\right|=\left|{\psi }^{″}\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{4{\left|x\right|}^2}{k^4}{\psi }^{\prime }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\frac{2\left|x\right|}{k^2}\right|$. (4.65)

借助(4.64)~(4.65)，可将(4.63)右边的项进行如下估计：

$2{\delta }^2\omega \left(t\right)\left({\tilde{u}}_{n,2},\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\right)\le \frac{1}{2}\delta \left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2$, (4.66)

$\begin{array}{l}-2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\omega \left(t\right)\left({\tilde{u}}_{n,2},\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\right)\\ =-2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\omega \left(t\right)\left({\tilde{u}}_{n,2},\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right)\right)+2\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\nabla h_1\left(x\right)+\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\Delta h_1\left(x\right)\\ \le {\delta }^3{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\frac{1}{2}\delta \left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\frac{c}{k^4}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2+\frac{c}{k^2}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \Delta h_1\Vert }^2\end{array}$,(4.67)

$2\left(1-\delta \right)\omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\Delta h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\le \frac{1}{3}\left(1-\delta \right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2$, (4.68)

$2\delta \omega \left(t\right)\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)h_1\left(x\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\le \frac{1}{3}\left(1-\delta \right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2$, (4.69)

$\left(\Delta \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-2v_t+2\delta v+2\left(1-\delta +{\delta }^2\right)u\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\le -\frac{1}{2}\delta {\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+\frac{c}{k^4}\left({\Vert v_t\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^2\right)$ (4.70)

那么由(3.4)和插值不等式，对(4.63)右边的两项进行如下估计：

$\left(\nabla \psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)\left(-4\nabla v_t+4\delta \nabla v-4\left(1-\delta +{\delta }^2\right)\delta u\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\le -\frac{1}{2}\delta {\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+\frac{c}{k^4}\left({\Vert \nabla v_t\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\Vert \nabla u\Vert }^2\right)$, (4.71)

$\begin{array}{c}2\left(\psi \left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right)f\left(x,u\right),{\tilde{v}}_{n,2}\right)\le 2c_1{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\psi }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\left|u\right|}^r\left|{\tilde{v}}_{n,2}\right|\text{d}x+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\psi }\left(\frac{{\left|x\right|}^2}{k^2}\right){\phi }_1\left(x\right)\left|{\tilde{v}}_{n,2}\right|\text{d}x\\ \le c{\Vert u\Vert }_{r+1}^1{\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }_{r+1}+2\Vert {\phi }_1\Vert \Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert \le c{\Vert u\Vert }_{r+1}^1{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^{\theta }{\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^{1-\theta }+2\Vert {\phi }_1\Vert \Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert \\ \le c{\Vert u\Vert }_{H^1}^r\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert +2\Vert {\phi }_1\Vert \Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert \le \frac{1}{3}\left(1-\delta \right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+c{\Vert u\Vert }_{H^1}^{2r}+c{\Vert {\phi }_1\Vert }^2\end{array}$. (4.72)

根据(3.11)和(4.66)~(4.72)，(4.63)可以变为如下形式

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\right)\\ +2k\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\right)\\ \le \frac{c}{k^4}\left({\Vert v_t\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^2\right)+\frac{c}{k^2}\left({\Vert \nabla v_t\Vert }^2+{\Vert \nabla v\Vert }^2+{\Vert \nabla u\Vert }^2\right)+\frac{c}{k^4}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2\\ +\frac{c}{k^2}{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \nabla h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert h_1\Vert }^2+c{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2{\Vert \Delta h_1\Vert }^2+c{\Vert u\Vert }_{H^1}^{2r}+c{\Vert {\phi }_1\Vert }^2\end{array}$. (4.73)

因为 ${\phi }_1$ 以及 $h_1\in L^2\left({ℝ}^n\right)$，那么有 $N_1=N_1\left(ϵ\right)$，并且 $k_1=k_1\left(ϵ\right)$，使得对所有的 $n\ge N_1$， $k\ge k_1$，从(4.73)

中我们得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\right)\\ +2k\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{u}}_{n,2}\Vert }^2\right)\\ \le cϵ\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\Vert v\Vert }_{H^1}^2+{\Vert u\Vert }_{H^1}^2+\left|\right|u|{|}_{H^1}^{2r}+{\Vert v_t\Vert }_{H^1}^2+{\Vert u_t\Vert }_{H^1}^2\right)\\ \le cϵ\left(1+{\left|\omega \left(t\right)\right|}^2+{\Vert u\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert u_t\Vert }_{H^1}^2+{\Vert v\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert v_t\Vert }_{H^1}^2\right)\end{array}$. (4.74)

下面用 $\xi$ 换t，两边同时乘以 ${\text{e}}^{2k\xi }$，然后关于 $\xi$ 在 $\left(\tau ,0\right)$ 上积分，我们从(4.74)中得到，对于所有的 $n\ge N_1$，以及 $k\ge k_1$，

$\begin{array}{l}{\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\\ \le {\text{e}}^{2k\tau }\left({\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\left(\tau ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(\tau ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\left(\tau ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(\tau ,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\right)\\ +cϵ{\displaystyle {\int }_{\tau }^0{\text{e}}^{2k\xi }}\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2+{\Vert u\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert u_t\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^2+{\Vert v\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert v_t\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^2\right)\\ \le c{\text{e}}^{2k\tau }\left(1+{\Vert v_0\Vert }_{H^1}^2+{\Vert u_0\Vert }_{H^1}^2+{\Vert u_0\Vert }_{H^1}^{r+1}\right)+cϵ{\displaystyle {\int }_{\tau }^0{\text{e}}^{2k\xi }}\left(1+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2\right)\text{d}\xi \\ +cϵ{\displaystyle {\int }_{\tau }^0{\text{e}}^{2k\xi }}({\Vert u\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert u_t\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^2+{\Vert v\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^{2r}+{\Vert v_t\left(\xi ,\tau ,\omega \right)\Vert }_{H^1}^2\end{array}$. (4.75)

因为 $\left(u_0,v_0\right)\in B\left({\theta }_{\tau }\omega \right)$，当 $\tau \to -\infty$ 时(4.75)右边的第一项趋于零。那么有 $T=T\left(B,\omega ,ϵ\right)<0$ 使得对所有的 $\tau \le T$，第一项以 $ϵ$ 为界，由引理4.2，我们从(4.75)中发现，对所有 $n\ge N_1$， $k\ge k_1$ 以及 $\tau \le T$，

$\begin{array}{l}{\Vert {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+{\delta }^2{\Vert {\tilde{u}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2+\left(1-\delta +{\delta }^2\right){\Vert \nabla {\tilde{v}}_{n,2}\left(0,\tau ,\omega \right)\Vert }^2\\ \le cϵ+cϵ{\displaystyle {\int }_{\tau }^0{\text{e}}^{2k\xi }}\left({\text{e}}^{-k\xi }{r}_2\left(\omega \right)+1+{\text{e}}^{-k\xi }+{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2\right)\text{d}\xi \\ \le cϵ\left(1+r_2\left(\omega \right)\right)+cϵ{\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{\text{e}}^{2k\xi }}{\left|\omega \left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi \end{array}$. (4.76)

引理4.4得证。

5. 随机吸引子

在这一部分，我们主要证明 ${ℝ}^n$ 上的粘弹性问题(3.1)~(3.3) $\mathcal{D}$ -拉回随机吸引子的存在性。给定 $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，由引理4.1，对于 $P-a.e.\omega \in \Omega$，存在 $T=T\left(B,\omega \right)>0$，使得对所有的 $t\le T$，

${\Vert \Phi \left(t,{\theta }_{-t}\omega ,\left(u_0,z_0\right)\right)\Vert }_{H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)}^2={\Vert u\left(\tau ,-t,\omega \right)\Vert }_{H^1\left({ℝ}^n\right)}^2+{\Vert z\left(\tau ,-t,\omega \right)\Vert }_{H^1\left({ℝ}^n\right)}^2\le c_1\left(\omega \right)$. (5.1)

其中 $c_1\left(\omega \right)$ 是(4.1)中给出的随机函数。定义集合

$E\left(\omega \right)=\left\{\left(u,z\right)\in H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right):{\Vert u\Vert }_{H^1\left({ℝ}^n\right)}^2+{\Vert z\Vert }_{H^1\left({ℝ}^n\right)}^2\le c_1\left(\omega \right)\right\}$.(5.2)

那么由(5.1)可知 $E={\left\{E\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$ 是 $\Phi$ 在 $\mathcal{D}$ 上的闭的随机吸收集。我们现在证明 $\Phi$ 在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上的拉回渐近紧性。

引理5.1 假设 $h\in L^2\left(R^n\right)$ 以及(3.4)~(3.7)成立。那么随机动力系统 $\Phi$ 在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上是-拉回渐近紧的，即，对 $P-a.e.\omega \in \Omega$，如果 $t_m\to \infty$， $\left(u_{0,m},z_{0,m}\right)\in B\left({\theta }_{-tm}\omega \right)$ 有 $B={\left\{B\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }\in \mathcal{D}$，序列 $\left\{\Phi \left(t_m,{\theta }_{-tm}\omega ,\left(u_{0,m},z_{0,m}\right)\right)\right\}$ 在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上有一个收敛子列。

证明因为 $t_m\to \infty$，由引理4.1，对于 $P-a.e.\omega \in \Omega$，有 $M_1=M_1\left(B,\omega \right)>0$，使得对所有的 $m\ge M_1$，

${\Vert u\left(0,-t_m,\omega \right)\Vert }_H^1{\left({ℝ}^n\right)}^2+{\Vert v\left(0,-t_m,\omega \right)\Vert }_H^1{\left({ℝ}^n\right)}^2\le r_1\left(\omega \right)$. (5.3)

给定 $ϵ>0$，由引理4.3，有 $M_2=M_2\left(B,\omega ,ϵ\right)>0$ 并且 $k_0=k_0\left(\omega ,ϵ\right)>0$，使得对于所有的 $m\ge M_2$

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n\backslash Q_{k_0}}\left({\left|u\left(0,-t_m,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla u\left(0,-t_m,\omega \right)\right|}^2+{\left|v\left(0,-t_m,\omega \right)\right|}^2+{\left|\nabla v\left(0,-t_m,\omega \right)\right|}^2\right)\text{d}x}\le ϵ$.(5.4)

设 $k_1\left(\omega ,ϵ\right)\ge k_0$， $M_3\left(B,\omega ,ϵ\right)\ge \max \left\{M_1,M_2\right\}$ 并且 $N\left(\omega ,ϵ\right)>0$，使得对所有的 $n\ge M_3$，

${\Vert \left(I-P_N\right)\tilde{u}\left(0,-t_m,\omega \right)\Vert }_{H_0^1\left(Q_{2k_1}\right)}+{\Vert \left(I-P_N\right)\tilde{v}\left(0,-t_m,\omega \right)\Vert }_{H_0^1\left(Q_{2k_1}\right)}\le ϵ$. (5.5)

从(5.3)中得到 $\left\{P_N\left(u\left(0,-t_m,\omega \right),v\left(0,-t_m,\omega \right)\right)\right\}$ 在有限维空间 $P_N\left(H^1\left(Q_{2k_1}\right)\times H^1\left(Q_{2k_1}\right)\right)$ 上有界，因此在 $P_N\left(H^1\left(Q_{2k_1}\right)\times H^1\left(Q_{2k_1}\right)\right)$ 上是相对紧的。根据(5.5)，这表明 $\left\{\left(u\left(0,-t_m,\omega \right),v\left(0,-t_m,\omega \right)\right)\right\}$ 在 $H^1\left(Q_{2k_1}\right)\times H^1\left(Q_{2k_1}\right)$ 上是相对紧，因此 $\left(u\left(0,t_m,\omega \right),v\left(0,t_m,\omega \right)\right)=\left(u\left(0,t_m,\omega \right),v\left(0,t_m,\omega \right)\right)$ 对于 $\left|x\right|\le k_1$， $\left\{\left(u\left(0,-t_m,\omega \right),v\left(0,-t_m,\omega \right)\right)\right\}$ 在 $H^1\left(Q_{2k_1}\right)\times H^1\left(Q_{2k_1}\right)$ 上是相对紧的。

由(5.4)可知 $\left\{\left(u\left(0,-t_m,\omega \right),v\left(0,-t_m,\omega \right)\right)\right\}$ 在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上是相对紧的。

现在，我们给出本文的主要结果：

定理5.2假设 $h\in L^2\left(R^n\right)$ 且(3.4)~(3.7)成立。那么随机动力系统 $\Phi$ 在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上存在唯一的-拉回随机吸引子 ${\left\{\mathcal{A}\left(\omega \right)\right\}}_{\omega \in \Omega }$。

证明由(5.2)可知 $\Phi$ 存在一个闭拉回吸收集，并且根据引理5.1，它在 $H^1\left({ℝ}^n\right)\times H^1\left({ℝ}^n\right)$ 上是-拉回渐近紧的。因此由定理2.8得 $\Phi$ 存在唯一的-拉回随机吸引子。

本文较其他有界域上的粘弹性方程的研究相比较，初次讨论了在无界域上带有加性噪声的粘弹性方程的长时间动力学行为，利用截断函数和算子分解的方法，得到了解的渐近紧性，最后，获得了粘弹性方程随机吸引子的存在唯一性，为以后更进一步研究无界域上的粘弹性方程吸引子的存在性提供了方法。

NOTES

^*通讯作者。