1. 引言
经典的Chebyshev总和不等式 [1] 是指:设
是两列从小到大的数组,即
,
,则
(1.1)
当且仅当
或
时等号成立。其对应的连续情形如下:假设
是非减函数,那么
(1.2)
当且仅当
或
中至少一个为常数函数时等号成立。
在文献 [2] [3] 中,(1.1),(1.2)式是作为其中一个不等式的特殊情况。令人惊奇的是,近来的一篇文章 [4] 证明了Chebyshev不等式等价于经典的Jensen不等式。事实上,在某种特殊情况下两个不等式是“对偶的(dual)” [5]。Chebyshev不等式有许多推广 [6] [7] [8] [9] [10],我们也可参考 [11] 以获得有关Chebyshev不等式发展的详细报告。
本文将继续对Chebyshev不等式从权函数的角度进行推广,同时也给出对应于所得定理的应用。
2. 推广
定理1 设
,
是两列从小到大的数组,即
,
,
,则
(2.1)
当且仅当
或
时等号成立。
证明:设
。则
(2.2)
所以
。这就证明了(2.1)左边不等式,类似可证(2.1)右边不等式。
注a) 在(2.1)取
,就得到Chebyshev总和不等式(1.1),且证明(2.1)式的递推方法也就给了(1.1)式的一种证明思路。
b) 由(2.2)可推知
(2.1)的左边不等式可推广为:
定理2 设
是m列从小到大的正项数组,即
,
,
,
,
,
,则
(2.3)
证明:由于
是m列从小到大的正项数组,从已知
,
,
,
,
,
可得
反复运用(2.1)中的左边不等式,得
特别地,令
,可得如下不等式:设
,
,
,则
3. 应用
例1 设
,且
,
,则
当且仅当
或
时等号成立。
证明:在不等式(2.1)中令
,得
再令
,可得
即
。
当且仅当
或
,即
或
时等号成立。
例2 设
,且满足
,那么
等号当且仅当
时成立。
证明:在(2.1)式中令
,则成立
即
。
反复运用上式中的最左边的不等式,即可得证。
例3 设
,则
证明:不妨设
,则
,
,运用不等式(2.1),得
根据柯西不等式,得
所以,
。
例4 设
,则
证明:不妨设
,则
,在不等式(2.1)中取
,可得
化简即得
4. 积分形式
这里将对不等式作进一步的推广,获得了Chebyshev总和不等式的三个优美的积分形式。
定理3 假设函数
和
在
上是同时可积递增的(或是同时可积递减的),且
,那么
(4.1)
当且仅当
或
中至少一个为常数函数时等号成立。
证明:若函数
和
在
上是同时可积递增的,记
,依据加权的Chebyshev不等式可得到下式,
在上式中令
,即得欲证不等式。
若函数
和
在
上是同时可积递减的,则函数
和
在
上就是同时可积递增的,依据上面已证明的结论,我们有下式成立,
即
定理4 设函数
、
在
上分别是可积递增的、可积递减的,且
,那么
(4.2)
当且仅当
或
中至少一个为常数函数时等号成立。
证明:由条件可知,函数
、
在
上是同时可积递增的,应用定理3,立即得证。
不等式(2.3)的积分形式:
定理5 设函数
在
上是同时可积递增的,且
,那么
(4.3)
证明:连续运用定理3中的不等式(4.1),(4.3)式立即可得。
下面在定理3、4、5中,其积分形式的被积函数选取为特殊函数时,将获得一些新的积分不等式。
1) 在定理1中取
,可得
设函数
和
在
上是同时可积递增的(或是同时可积递减的),那么
(4.4)
当且仅当
或
中至少一个为常数函数时等号成立。
在(4.4)中令
,可得
化简可得优美的积分不等式
(4.5)
在(4.5)中再取
,得对数不等式
即
。
在定理5中令
,可得(4.4)的推广形式:
假设函数
在
上都是同时可积递增的,那么
2) 在定理3中令
,
,由(4.1)可得
稍加计算化简,所以对可积递增函数
,我们得到
3) 在定理3中取
,
,可得
稍加计算化简,则对可积正值递增函数
,我们得到
4) 因为
,
,所以在定理3中选择函数
,或
,可得三角型积分不等式:
a) 设函数
和
在
上是同时可积递增的,那么
b) 设函数
和
在
上是同时可积递增的,那么
5) 在定理5中,取
,可得
设函数
在
上是同时可积递增的,那么
6) 在定理5中,取
,且计算有
,因此
设函数
在
上是同时可积递增的,那么
基金项目
国家自然科学基金资助项目(10801140);江西省自然科学基金资助项目(2010GZC0115)。