1. 引言
手足口病是一种主要由肠道病毒引起的传染病,又名发疹性水疱性口腔炎,该病的潜伏期多为2~10天,多发生于5岁以下儿童。患病早期表现特征为手、足、口腔等部位出现疱疹,患儿低烧、厌食等,多数患儿在一周左右痊愈,少数患儿随着病情加重引起心肌炎、肺水肿、无菌性脑膜炎等并发症,严重甚至会致死。手足口病四季均可发病,春夏季尤为多见,手足口病严重降低了患儿的日常生活质量,对儿童的生命安全造成了一定威胁,但目前没有较好的应对措施,故广受社会的关注。
手足口病已经有疫苗可以注射,主要是肠道类71号疫苗,有很强的安全性与保护性,主要针对的人群是6个月到4岁的儿童,6岁以上不建议进行注射。目前中国陆续有地区将手足口病疫苗的接种范围进行扩大,但是由于疫苗同时具有不确定性因素,疫苗的接种率较低,适当的媒体报道可以降低手足口病的发生率。为预防该疾病,应注意几个方面:① 手足口病可以通过儿童的毛巾、玩具、床上用品等传播,注重儿童个人的卫生对预防该疾病是很重要的,家长们应当常换洗儿童的被褥、手绢等,保证儿童在干净、整洁的环境下成长;② 该疾病的病毒也可以通过空气传播,家长应当认真照看儿童,减少他们接触患有手足口病的患者,从而防治病毒的入侵;③ 5、6岁以下的儿童基本不懂得如何照顾自己,不知道什么该吃、什么不该吃,所以家长应当保证儿童的饮食安全,切勿让儿童接触不干净的食品,而导致疾病的发生 [1]。
对于手足口病传染病,国内外已经有一些关于手足口病模型的研究,但是仅有少量关于受媒体报道影响的手足口病模型的研究。文献 [2] 研究了一类具有潜伏期且带有出生死亡的SEIR手足口病模型,得到了手足口病的基本再生数并对模型进行了动力学分析:平衡点的存在性和稳定性。文献 [3] 研究了一类具有媒体报道和接种的传染病模型,得到了决定传染病流行与否的阈值:基本再生数,讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性,利用特征方程得到了平衡点的局部稳定性。基于以上的一些原因,本文讨论一类具有媒体报道和潜伏期的手足口病模型。
2. 建立模型
在本文中,总人口由四类人构成:t时刻的易感者类
,t时刻的潜伏者类
,t时刻的已感染者类
,t时刻的恢复者类
,
表示t时刻的所有人,则有
,考虑的模型如下:
(1)
模型(1)的初始值条件为
,
,
,
,
其中:
为易感染人群的常数输入率,
为有效接触率,
表示在媒体报道下的接触率,k为一个常数,用于表示E、I的传染率不同,d为人群的自然死亡率,
为感染者的恢复率,
为人群的因病死亡率,
为儿童从潜伏者到传染者的转化率。
由于系统(1)中的第一、二、三个方程与R无关,因此,系统(1)的动力学性质等价于系统:
(2)
因为微分方程组(2)的等号右端关于因变量是连续并且可微的,所以由微分方程组解的存在唯一性定理,经过初始值点
的解是存在且唯一的,进一步由定理5.2.1 [4] 可知,经过初始值点
的解是非负的。利用系统(1)有
,由比较定理,即有
,其中
,所以
是最终有界的,从而
都是有界函数,且系统(2)在区域
中是正不变的,其中
。
3. 基本再生数R0的计算
系统(2)始终存在一个无病平衡点
。
利用文献 [5] 中再生矩阵的方法可以计算系统(2)的基本再生数
,即可得
其中
为矩阵M的谱半径,所以求得基本再生数为
(3)
4. 地方病平衡点的存在性
定理1:如果基本再生数大于1,微分方程组(2)有且仅有一个地方病平衡点
。
证明:令系统(1)的右端项为零有
(4)
由(4)的第三式得
, (5)
将(5)式代入(4)的第二式有
,即可得
, (6)
将(5)、(6)式代入(4)的第一式得
,
令
,
,
因为
,从而
,
,
且
,故由零点存在定理可知(4)式有且仅有一个正解,即地方病平衡点
是唯一存在的。
5. 平衡点的稳定性分析
定理2:当基本再生数小于1时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当基本再生数大于1时,无病平衡点是不稳定的。
证明:系统(2)在无病平衡点
处的线性化系统的系数矩阵为
可得系数矩阵A的特征值为-d及下面一元二次方程的根
(8)
其中
,
,
若
,即
,故
,
则
,
则
,
,
由Hurwitz判据 [6] 可知(8)式的根均具有负实部,从而当基本再生数
时,无病平衡点
是局部渐近稳定的;当基本再生数
时,有
,则(8)式有正实部的根,无病平衡点
是不稳定的。
接下来利用Laypunov函数证明当基本再生数
时,无病平衡点
是全局渐近稳定的。
定理3:如果基本再生数
时,系统(2)的无病平衡点是全局渐近稳定的,最终手足口病病毒将从人群中消失。
证明:当基本再生数
时,构造如下的Laypunov函数
,
,
V沿着系统(2)的解求全导数有
整理得
。
由基本再生数
,则有
,根据LaSalle不变集原理 [7],系统(2)的无病平衡点是全局渐近稳定的。
接下来用Hurwitz判据讨论地方病平衡点的局部稳定性。
定理4:当
时,地方病平衡点是局部渐近稳定的。
证明:在地方病平衡点
处有
(9)
系统(2)在地方病平衡点
处的Jacobian矩阵为:
矩阵B的特征方程如下:
,
即
(10)
由(9)式中的第二式可得
,即
(11)
由(11)式可知
因
从而
,
因为
(12)
从而有
故
,
由于
故
,从而由Hurwitz判据可知,方程(10)的特征根均具有负实部,从而地方病平衡点
是局部渐近稳定的。
6. 总结
本文考虑传染率受媒体报道影响的手足口病模型,说明了模型的解的适定性和有界性。得到手足口病模型的基本再生数,证明地方病平衡点的存在性和唯一性。其次,通过利用Hurwitz判据、Laypunov函数讨论了无病平衡点的稳定性,证明当基本再生数小于1时,无病平衡点是全局稳定的,即手足口病患者将在人群中消失;当基本再生数大于1时,无病平衡点是不稳定的,手足口病将无法控制。同时利用Hurwitz判据证明了地方病平衡点是局部渐近稳定的。
基金项目
河南科技大学SRTP基金项目(项目编号:2021127);河南科技大学青年学术带头人科研项目(项目编号:13490002)。