系数含有时滞的种群模型的动力学分析

Dynamic Analysis of Population Models with Time-Delay Coefficients

摘要: 考虑系数含有成熟离散时滞的种群模型。通过分析相应特征方程的根在复平面上的分布，研究了模型平衡点的稳定性与Hopf分支。最后利用Matlab软件包对相应的理论结果进行了数值验证。

Abstract: A population model with mature discrete time delays is considered. The stability of the equilibrium point and the Hopf branch of the model are studied by analyzing the distribution of the roots of the corresponding characteristic equation on the complex plane. Finally, the corresponding theoretical results are verified by Matlab software package.

1. 引言

种群生态学是以种群为研究对象的一门实验性的，定量的，理论性的学科，它已然成为生态学的主流 [1]。因其发展成熟并且具有复杂的动力学行为而受数学研究者的青睐。在数学理论与方法的基础上，种群生态学成为最活跃的，最具挑战性的一个领域。澳大利亚昆虫学家Nicholson [2] 根据绿头苍蝇种群变化的数据得到以下模型

$N^{\prime }\left(t\right)=bN\left(t-\tau \right){\text{e}}^{-\frac{N\left(t-\tau \right)}{N_0}}-\delta N\left(t\right),$ (1)

基于上式，Gurney等人 [3] 提出了一个形式简单的时滞微分方程来解释绵羊绿头苍蝇种群的振荡行为

$N^{\prime }\left(t\right)=f\left(N\left(t-\tau \right)\right)-\gamma N\left(t\right).$ (2)

2013年，Shu等人 [4] 在(2)基础上考虑了种群在成熟过程中的死亡率，由此得到了系数含有时滞的微分方程

$N^{\prime }\left(t\right)={\text{e}}^{-\delta \tau }f\left(N\left(t-\tau \right)\right)-\gamma N\left(t\right).$ (3)

各参数意义参看文献 [4]，他们证明了该模型的Hopf分支只有有限的偶数个，还描述了Hopf分支是如何配对的，最后表明了具有特定振荡频率的周期解只能存在于有界延迟区间内。

Beretta [5] 在2016年讨论了以下时滞模型

$N^{\prime }\left(t\right)=b{\text{e}}^{-aN\left(t-\tau \right)}N\left(t-\tau \right){\text{e}}^{-d_1\tau }-dN\left(t\right).$ (4)

其参数意义见文献 [5]。他不仅研究了离散时滞模型的平凡平衡点和正平衡点的局部稳定性，还对具有连续分布时滞的模型进行了同样的分析。

在模型(4)的基础上，本文将考虑系数含有成熟离散时滞的种群模型

$\stackrel{\dot{}}{u}\left(t\right)={\text{e}}^{-\lambda \tau }\left(1-u\left(t-\tau \right)\right)u\left(t-\tau \right)-\gamma u^2\left(t\right).$ (5)

对系统(5)在平凡平衡点 $u_0=0$ 正平衡点 $u_{+}=\frac{1}{1+\gamma {\text{e}}^{\lambda \tau }}$ 线性化，讨论其特征方程的根在复平面上的分布，进而分析模型平衡点的稳定性与Hopf分支。

2. 系统平衡点的稳定性

对系统(5)在某平衡点 $\bar{u}$ 处线性化，可得

$\stackrel{\dot{}}{u}\left(t\right)={\text{e}}^{-\lambda \tau }\left(1-2\bar{u}\left(t\right)\right)u\left(t-\tau \right)-2\gamma \bar{u}\left(t\right)u\left(t\right),$ (6)

其特征方程为

$\stackrel{\dot{}}{u}\left(t\right)={\text{e}}^{-\lambda \tau }\left(1-2\bar{u}\left(t\right)\right){\text{e}}^{-\gamma \tau }-2\gamma \bar{u}\left(t\right).$

为了方便，我们令

$G\left(\lambda ,\tau \right)=\lambda -{\text{e}}^{-\gamma \tau }\left(1-2\bar{u}\left(t\right)\right){\text{e}}^{-\lambda \tau }+2\gamma \bar{u}\left(t\right)=0.$ (7)

下面考虑系统(5)在平凡平衡点 $u_0=0$ 的稳定性。将 $u_0$ 带入特征方程(7)得

$G_0\left(\gamma ,\tau \right)=\lambda -{\text{e}}^{-\left(\gamma +\lambda \right)\tau }=0.$ (8)

(i) 当 $\tau =0$ 时， $G_0\left(\lambda ,0\right)=\lambda -1=0$，即 $\lambda =1>0$。此时，系统(5)在平衡点 $u_0$ 处是不稳定的。

(ii) 当 $\tau >0$ 时，假设方程(8)有一对纯虚根 $\lambda =\pm \text{i}\omega \left(\omega >0\right)$。现令 $\lambda =\text{i}\omega \left(\omega >0\right)$，于是

$G_0\left(\text{i}\omega ,\tau \right)=\text{i}\omega -{\text{e}}^{-\left(\gamma +\text{i}\omega \right)\tau }=0,$

化简得

$G_0\left(\text{i}\omega ,\tau \right)=\text{i}\omega -{\text{e}}^{-\gamma \tau }\cos \omega \tau +{\text{ie}}^{-\gamma \tau }\sin \omega \tau =0.$ (9)

分离方程(9)的实部和虚部

$\{\begin{array}{l}-\omega ={\text{e}}^{-\gamma \tau }\sin \omega \tau ,\\ 0={\text{e}}^{-\gamma \tau }\cos \omega \tau .\end{array}$ (10)

则 $\omega$ 满足以下方程

${\omega }^2={\text{e}}^{-2\gamma \tau },$

从而得到

$\omega ={\text{e}}^{-\gamma \tau }>0.$ (11)

由方程(10)可得相应于 $\omega$ 的 $\tau$ 的值为

${\tau }_j=\frac{1}{\omega }\left[\arcsin \left(\frac{-\omega }{{\text{e}}^{-\gamma \tau }}\right)+2j\pi \right],j\in N_0=\left\{0,1,2,\cdots \right\}.$ (12)

由文献 [6] [7] [8] 知，下面判断 $\frac{\text{d}\mathrm{Re}\left(\lambda \left(\tau \right)\right)}{\text{d}\tau }$ 的符号。由(8)可得

$\left(\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }\tau +\lambda +\gamma \right){\text{e}}^{-\left(\gamma +\lambda \right)\tau }+\frac{\text{d}\lambda }{\text{d}\tau }=0,$ (13)

于是在 $\tau ={\tau }_0$ 处，

${{\left[\frac{\text{d}\left(\mathrm{Re}\lambda \left(\tau \right)\right)}{\text{d}\tau }\right]}^{-1}|}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{\gamma \pi }{2\omega \left({\gamma }^2+{\omega }^2\right)}+\frac{\omega {\text{e}}^{\frac{\gamma \pi }{2\omega }}}{\left({\omega }^2{\text{e}}^{-2\gamma \tau }+{\gamma }^2{\text{e}}^{-2\gamma \tau }\right){\sin }^2\omega \tau }>0.$ (14)

综合上述分析，系统(5)在平凡平衡点 $u_0$ 处是不稳定的。

接下来，我们将讨论系统(5)在正平衡点 $u_{+}$ 处的稳定性。现将 $u_{+}=\frac{1}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}$ 代入方程(7)，可得

$G_{+}\left(\lambda ,\tau \right)=\lambda -{\text{e}}^{-\gamma \tau }\left(1-\frac{2}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}\right){\text{e}}^{-\lambda \tau }+\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}=0.$

(i) 当 $\tau =0$ 时， $G_{+}\left(\lambda ,0\right)=\lambda +1=0$，即 $\lambda =-1<0$。此时，系统(5)在正平衡点 $u_{+}$ 处是稳定的。

(ii) 当 $\tau >0$ 时， $G_{+}\left(\lambda ,\tau \right)$ 整理得

$G_{+}\left(\lambda ,\tau \right)=\lambda -A\left(\tau \right){\text{e}}^{-\lambda \tau }+B\left(\tau \right)=0.$ (15)

其中

$A\left(\tau \right)=\frac{\gamma -{\text{e}}^{-\gamma \tau }}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }},B\left(\tau \right)=\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}.$

假设 $G_{+}\left(\lambda ,\tau \right)$ 有一对纯虚根 $\lambda =\pm \text{i}\omega \left(\tau \right)\left(\omega \left(\tau \right)>0\right)$。现将 $\lambda =\text{i}\omega \left(\tau \right)\left(\omega \left(\tau \right)>0\right)$ 代入特征方程(15)得

$G_{+}\left(\text{i}\omega \left(\tau \right),\tau \right)=\text{i}\omega \left(\tau \right)-A\left(\tau \right){\text{e}}^{-\text{i}\omega \left(\tau \right)\tau }+B\left(\tau \right)=0.$ (16)

分离方程(16)的实部和虚部

$\{\begin{array}{l}\omega =-A\left(\tau \right)\sin \omega \left(\tau \right)\tau ,\\ B\left(\tau \right)=A\left(\tau \right)\cos \omega \left(\tau \right)\tau .\end{array}$

于是，当满足条件(L) $0<\gamma <\frac{1}{3},\tau <-\frac{1}{\gamma }\ln \left(3\gamma \right)={\tau }_{\omega }$ 时，

$\omega \left(\tau \right)=\frac{1}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}\sqrt{\left(3\gamma -{\text{e}}^{-\gamma \tau }\right)\left(-\gamma -{\text{e}}^{-\gamma \tau }\right)}>0.$ (17)

我们注意到，函数 $\omega \left(\tau \right)$ 是连续的且在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 上是正的。于是就有

$\omega \left(0\right)=\frac{1}{1+\gamma }\sqrt{\left(3\gamma -1\right)\left(-\gamma -1\right)}>0,$

并且 $\omega \left({\tau }_{\omega }\right)=0$。又

${\omega }^{\prime }\left(\tau \right)=\frac{\gamma \left(3{\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-1\right){\text{e}}^{-2\gamma \tau }}{\sqrt{{\text{e}}^{-2\gamma \tau }\left(1-3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)\left(\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }+1\right)}\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}<0,$

那么对于 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$，

${\omega }^{\prime }\left(0\right)=\frac{\gamma \left(3{\gamma }^2-1\right)}{\sqrt{\left(1-3\gamma \right)\left(\gamma +1\right)}\left(1+\gamma \right)}<0,$

以及

${\lim }_{\tau \to {\tau }_{\omega }}{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)=-\infty .$ (18)

且有

${\omega }^{″}\left(\tau \right)=\frac{{\text{e}}^{-2\gamma \tau }\left(-9{\gamma }^6{\text{e}}^{4\gamma \tau }+6{\gamma }^5{\text{e}}^{3\gamma \tau }+6{\gamma }^4{\text{e}}^{2\gamma \tau }+2{\gamma }^3{\text{e}}^{\gamma \tau }-{\gamma }^2\right)}{\left(3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-1\right){\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}^3\sqrt{\frac{\left(1-3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right){\text{e}}^{-2\gamma \tau }}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}}}.$

引理1对于某个 $k\in N_0$，如果 $S_k\left(\tilde{\tau }\right)=0$，则在 $\tau =\tilde{\tau }$ 时，方程(15)存在一对简单的共轭虚根 $\tilde{\lambda }=\pm \text{i}\omega \left(\tilde{\tau }\right)$，其中

$S_k\left(\tau \right)=\tau -\frac{\left(2k+1\right)\pi }{\omega \left(\tau \right)}+\frac{1}{\omega \left(\tau \right)}\arctan \frac{\omega \left(\tau \right)\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}{2\gamma },$ (19)

定义在 $\left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 上， $\omega$ 由(17)给出。并且有横截条件 [9] [10] [11]

$\text{sign}\left({\frac{\text{d}\mathrm{Re}\left(\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\lambda =\tilde{\lambda }}\right)=\text{sign}\left({\frac{\text{d}{S}_k\left(\tau \right)}{\text{d}\tau }|}_{\tau =\tilde{\tau }}\right).$ (20)

证明 由方程(16)可知

$\left(\text{i}\omega \left(\tau \right)+\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}\right){\text{e}}^{\text{i}\omega \tau }=\frac{\gamma -{\text{e}}^{-\gamma \tau }}{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}<0,$

于是

$\arg \left[\left(\text{i}\omega +\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}\right){\text{e}}^{\text{i}\omega \tau }\right]=\left(2k+1\right)\pi .$

又

$\arg \left[\left(\text{i}\omega +\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}\right){\text{e}}^{\text{i}\omega \tau }\right]=\arctan \left(\frac{\omega \left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}{2\gamma }\right)+\omega \left(\tau \right)\tau ,$ (21)

因此就得到方程(19)。

由 $S_k$ 定义知，对于任意的 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$，有 $S_0\left(\tau \right)>S_k\left(\tau \right)\left(k\in N\right)$，并且

$S_0\left(0\right)=\frac{1}{\omega \left(0\right)}\left[\arctan \frac{\omega \left(0\right)\left(1+\gamma \right)}{1+\gamma }-\pi \right]<0.$ (22)

又因为

${\lim }_{\tau \to {\tau }_{\omega }}{S}_0\left(\tau \right)=-\infty .$ (23)

因此，如果 $S_0\left(\tau \right)$ 在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 没有零解，则 $u_{+}$ 对于所有的 $\tau \in \left[0,{\tau }_{\omega }\right)$ 是局部渐近稳定的；如果 $S_0\left(\tau \right)$ 在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 的某一区间内有零解，则由文献 [5] 知

定理2如果 $d,\gamma$ 满足

${\left(\frac{\ln d}{\gamma +{\gamma }^{2}d}\right)}^2\left(\frac{1}{d}-3\gamma \right)\left(\gamma +\frac{1}{d}\right)>{\pi }^2,$ (24)

其中 $d={\text{e}}^{\gamma \tau }$，则 $S_0$ 在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 某区间内是正的。

证明 $S_0$ 在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 某区间内是正的充分条件是 $\tau \omega \left(\tau \right)>\pi$，它等价于

${\left(\frac{\ln d}{\gamma +{\gamma }^{2}d}\right)}^2\left(\frac{1}{d}-3\gamma \right)\left(\gamma +\frac{1}{d}\right)>{\pi }^2,$

则 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 得到在 $d\in \left(1,\frac{1}{3\gamma }\right)$，此时 $S_0$ 是正的。

定理3如果 $d,\gamma$ 满足方程(24)，那么必然存在 ${\tau }_1,{\tau }_2\in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)\left({\tau }_1<{\tau }_2\right)$ 使得 $u_{+}$ 在 $\tau \in \left[0,{\tau }_1\right)\cup \left({\tau }_2,{\tau }_{\omega }\right)$ 局部渐近稳定，在 $\tau \in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$ 不稳定，并且在 $\left[0,{\tau }_{\omega }\right)$ 发生两次Hopf分支。

证明 由(22) (23)和定理2知， $S_0\left(\tau \right)$ 至少有两个零解 ${\tau }_1,{\tau }_2$。由(19)得到

${S^{\prime }}_0\left(\tau \right)=1+\frac{{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)}{{\omega }^2\left(\tau \right)}\left[\pi -\arctan \left(\frac{\omega \left(\tau \right)}{d\left(\tau \right)}\right)+\frac{d\left(\tau \right)\omega \left(\tau \right)}{{\omega }^2\left(\tau \right)+d^2\left(\tau \right)}\right]-\frac{d^{\prime }\left(\tau \right)}{{\omega }^2\left(\tau \right)+d^2\left(\tau \right)},$

其中 $d\left(\tau \right)=\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}$，并且

${S^{″}}_0\left(\tau \right)=\frac{A_1\left(\tau \right)}{{\omega }^3\left(\tau \right)}+\frac{A_2\left(\tau \right)}{d\left(\tau \right){\omega }^2\left(\tau \right)\left({\omega }^2\left(\tau \right)+d^2\left(\tau \right)\right)}+A_3\left(\tau \right),$

其中 $A_1\left(\tau \right)={\omega }^{″}\left(\tau \right)\omega \left(\tau \right)-2{{\omega }^{\prime }}^2\left(\tau \right)$，

$A_2\left(\tau \right)=-\frac{2\left(\frac{{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)}{d\left(\tau \right)}-\frac{\omega \left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}\right){\omega }^{\prime }\left(\tau \right)}{{\omega }^2\left(\tau \right)\left(\frac{{\omega }^2\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}+1\right)}+\frac{\frac{{\omega }^{″}\left(\tau \right)}{d\left(\tau \right)}-\frac{2{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}+\frac{2\omega \left(\tau \right){d^{\prime }}^2\left(\tau \right)}{d^3\left(\tau \right)}-\frac{\omega \left(\tau \right)d^{″}\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}}{\omega \left(\tau \right)\left(\frac{{\omega }^2\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}+1\right)},$

$A_3\left(\tau \right)=-\frac{\left(\frac{{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)}{d\left(\tau \right)}-\frac{\omega \left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}\right)\left(\frac{2{\omega }^{\prime }\left(\tau \right){\omega }^{\prime }\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}-\frac{2{\omega }^2\left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)}{d^3\left(\tau \right)}\right)}{\omega \left(\tau \right){\left(\frac{{\omega }^2\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}+1\right)}^2}=-\frac{2{\left({\omega }^{\prime }\left(\tau \right)d\left(\tau \right)-\omega \left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)\right)}^2\omega \left(\tau \right)}{d^5\left(\tau \right)\omega \left(\tau \right){\left(\frac{{\omega }^2\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)}+1\right)}^2}<0.$

将(17)分别代入 $A_1\left(\tau \right),A_2\left(\tau \right)$ 得到

$A_1\left(\tau \right)=\frac{{\gamma }^2{\text{e}}^{-2\gamma \tau }\left(9{\text{e}}^{4\gamma \tau }{\gamma }^4+6{\text{e}}^{3\gamma \tau }{\gamma }^3-6{\text{e}}^{2\gamma \tau }{\gamma }^2+2\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}{3\left(\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-\frac{1}{3}\right){\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}^3}<0,$

$A_2\left(\tau \right)=\frac{12{\text{e}}^{\gamma \tau }{\gamma }^7-4{\text{e}}^{-2\gamma \tau }{\gamma }^4\left({\text{e}}^{2\gamma \tau }{\gamma }^2-\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-1\right)}{\left(3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-1\right){\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}^5}<0.$

于是可得 ${S^{″}}_0\left(\tau \right)<0$，由此表明零解 ${\tau }_1,{\tau }_2$ 是唯一存在的，并且 ${S^{\prime }}_0\left({\tau }_1\right)>0$， ${S^{\prime }}_0\left({\tau }_2\right)<0$。由文献 [5] [9] [10] [11] 知在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 存在两个Hopf分支：稳定性通过 ${\tau }_1$ 由稳定变为不稳定，通过 ${\tau }_2$ 由不稳定变为稳定。

我们根据上述类似的方法，基于不同于方程(19)的函数，参照(21)，在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 内定义下面函数

$\phi \left(\tau \right)=\omega \left(\tau \right)\tau +\arctan \left(\frac{\omega \left(\tau \right)\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right)}{2\gamma }\right).$ (25)

通过方程(19)的零解寻找稳定性切换等价于找到以下方程的解

$\phi \left(\tau \right)=\left(2k+1\right)\pi .$ (26)

由(17)知 $\omega \left(\tau \right)>0$，并结合(19)，有

$\omega \left(\tau \right)S_k\left(\tau \right)=\phi \left(\tau \right)-\left(2k+1\right)\pi .$ (27)

那么之前所有基于 $S_k$的结果都可以用 $\phi$ 来等价证明。由(20)知

$\text{sign}\left({\frac{\text{d}\mathrm{Re}\left(\lambda \right)}{\text{d}\tau }|}_{\lambda ={\lambda }_{\ast }}\right)=\text{sign}\left({\frac{\text{d}\phi \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }|}_{\tau ={\tau }_{\ast }}\right).$ (28)

显然在 $\tau \in \left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 上 $\phi$ 是连续且正的，其中 $\phi \left(0\right)=\arctan \frac{\sqrt{\left(1-3\gamma \right)\left(1+\gamma \right)}}{2\gamma }>0$ 且 $\phi \left({\tau }_{\omega }\right)=0$。

于是有

${\phi }^{\prime }\left(\tau \right)={\omega }^{\prime }\left(\tau \right)\tau +\omega \left(\tau \right)+\frac{d\left(\tau \right){\omega }^{\prime }\left(\tau \right)-d^{\prime }\left(\tau \right)\omega \left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)+{\omega }^2\left(\tau \right)},$ (29)

其中 $d\left(\tau \right)=\frac{2\gamma }{1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }}$，计算可得

$\underset{\tau \to {\tau }_{\omega }}{\lim }{\phi }^{\prime }\left(\tau \right)=-\infty ,$

${\phi }^{\prime }\left(0\right)=\omega \left(0\right)+\frac{d\left(0\right){\omega }^{\prime }\left(0\right)-d^{\prime }\left(0\right)\omega \left(0\right)}{d^2\left(0\right)+{\omega }^2\left(0\right)}=\frac{{\gamma }^2-4\gamma +1}{\sqrt{-3{\gamma }^2-2\gamma +1}\left(\gamma -1\right)}.$ (30)

并有

$\begin{array}{c}{\phi }^{″}\left(\tau \right)=2{\omega }^{\prime }\left(\tau \right)+{\omega }^{″}\left(\tau \right)\tau +\frac{{\omega }^{″}\left(\tau \right)d\left(\tau \right)-\omega (\tau )-\omega \left(\tau \right)d^{″}\left(\tau \right)}{d^2\left(\tau \right)+{\omega }^2\left(\tau \right)}\\ -\frac{2\left({\omega }^{\prime }\left(\tau \right)d\left(\tau \right)-\omega \left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)\right)\left(d\left(\tau \right)d^{\prime }\left(\tau \right)+\omega \left(\tau \right){\omega }^{\prime }\left(\tau \right)\right)}{{\left(d^2\left(\tau \right)+{\omega }^2\left(\tau \right)\right)}^2}.\end{array}$ (31)

定理4当满足条件(L)时， ${\phi }^{″}\left(\tau \right)<0$。

证明 将(31)整理得

${\phi }^{″}\left(\tau \right)=\frac{f\left(\tau \right)}{\sqrt{-3\left(\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-\frac{1}{3}\right)\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right){\text{e}}^{-2\gamma \tau }}{\left({\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-1\right)}^2\left(3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-1\right)},$

其中

$\begin{array}{c}f\left(\tau \right)=-4{\gamma }^4\left(\gamma \tau -8\right){\text{e}}^{\gamma \tau }-15{\gamma }^5\left(\gamma \tau +\frac{22}{15}{\text{e}}^{2\gamma \tau }\right)-\gamma {\text{e}}^{-2\gamma \tau }(9{\gamma }^7{\text{e}}^{6\gamma \tau }\tau -24{\gamma }^6{\text{e}}^{5\gamma \tau }\tau \\ -12{\gamma }^6{\text{e}}^{6\gamma \tau }+32{\gamma }^5{\text{e}}^{5\gamma \tau }-{\gamma }^3{\text{e}}^{2\gamma \tau }\tau -4{\gamma }^2{\text{e}}^{\gamma \tau }\tau +\gamma \tau +8\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\tau -2)\text{.}\end{array}$

又

$f^{\prime }\left(\tau \right)={\gamma }^5{t}^{-2}\left(-36t^6+72t^5-30t^4-4t^3-4t+2\right)\tau +{\gamma }^4{t}^{-2}\left(39t^6-72t^5-59t^4+28t^3+t^2+12t+5\right),$

其中 $t=\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }$，令 $T_1=-36t^6+72t^5-30t^4-4t^3-4t+2$， $T_2=39t^6-72t^5-59t^4+28t^3+t^2+12t+5$，参看图1(a)，

图1(b)。故在 $t\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$ 上， $f^{\prime }\left(\tau \right)>0$。从而 $f\left(\tau \right)$ 是单调递增的，且 $f\left(\tau \right)\ge f\left(0\right)=\gamma \left(12{\gamma }^6-32{\gamma }^5-22{\gamma }^4+32{\gamma }^3-8\gamma +2\right)>0$，参看图2。又 $3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-1<0$，故 ${\phi }^{″}\left(\tau \right)<0$。

(a) (b)

Figure 1. Function graph of $T_i\left(i=1,2\right)$ and t

图1. $T_i\left(i=1,2\right)$ 与t的函数图像

Figure 2. Function graph of $f\left(0\right)$ and $\gamma$

图2. $f\left(0\right)$ 与 $\gamma$ 的函数图像

Figure 3. Function graph of $h^{\prime }\left(\tau \right)$ and $\gamma$

图3. $h^{\prime }\left(\tau \right)$ 与 $\gamma$ 的函数图像

由(30)可得以下两种情况

(H1) $2-\sqrt{3}<\gamma <\frac{1}{3}$，使得 ${\phi }^{\prime }\left(0\right)<0$。

(H2) $0<\gamma <2-\sqrt{3}$，使得 ${\phi }^{\prime }\left(0\right)>0$。

定理5条件(H1)成立下，对于 $\tau \in \left[0,{\tau }_{\omega }\right)$，系统(5)在正平衡点 $u_{+}$ 是局部渐近稳定的。

证明 将 $\omega \left(\tau \right)$， ${\omega }^{\prime }\left(\tau \right)$， $d\left(\tau \right)$ 代入(29)得

${\phi }^{\prime }\left(\tau \right)=\frac{{\text{e}}^{-2\gamma \tau }\left(3{\gamma }^4\tau {\text{e}}^{3\gamma \tau }-{\gamma }^3{\text{e}}^{3\gamma \tau }-3{\gamma }^3\tau {\text{e}}^{2\gamma \tau }+3{\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-{\gamma }^2\tau {\text{e}}^{\gamma \tau }+3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }+\gamma \tau -1\right)}{\sqrt{-3\left(\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }-\frac{1}{3}\right)\left(1+\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }\right){\text{e}}^{-2\gamma \tau }}\left({\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-1\right)},$ (32)

令 $h\left(\tau \right)=3{\gamma }^4\tau {\text{e}}^{3\gamma \tau }-{\gamma }^3{\text{e}}^{3\gamma \tau }-3{\gamma }^3\tau {\text{e}}^{2\gamma \tau }+3{\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-{\gamma }^2\tau {\text{e}}^{\gamma \tau }+3\gamma {\text{e}}^{\gamma \tau }+\gamma \tau -1$，对h关于 $\tau$ 求导，整理得

$h^{\prime }\left(\tau \right)=\left(9{\gamma }^5{\text{e}}^{3\gamma \tau }\tau -6{\gamma }^4{\text{e}}^{2\gamma \tau }-{\gamma }^3{\text{e}}^{\gamma \tau }\right)\tau +3{\gamma }^3{\text{e}}^{2\gamma \tau }+2{\gamma }^2{\text{e}}^{\gamma \tau }+\tau \ge \gamma \left(1+\frac{2}{3}\ln \left(3\gamma \right)\right),$ (33)

计算发现当 $\gamma >0.08$， $\gamma \left(1+\frac{2}{3}\ln \left(3\gamma \right)\right)>0$，参看图3，即 $h^{\prime }\left(\gamma ,\tau \right)>0$，从而 $h\left(\gamma ,\tau \right)$ 在 $\left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 递增，故 $h\left(\gamma ,\tau \right)>h\left(\gamma ,0\right)$。由于 $h\left(\gamma ,0\right)=-{\gamma }^3+3{\gamma }^2+3\gamma -1$，计算发现当 $\gamma \in \left(2-\sqrt{3},\frac{1}{3}\right)$， $h\left(\gamma ,\tau \right)>0$。又因为 ${\gamma }^2{\text{e}}^{2\gamma \tau }-1<0$，从而 ${\phi }^{\prime }\left(\tau \right)<0$。

由此可得，当 $\gamma \in \left(2-\sqrt{3},\frac{1}{3}\right)$ 时， $\phi \left(\tau \right)$ 在 $\left[0,{\tau }_{\omega }\right)$ 递减，即 $\phi \left(\tau \right)\le \phi \left(0\right)<\frac{\pi }{2}$。因此找不到一个 $k\in N_0$，使得 $\phi \left(\tau \right)$ 有解，也就不会产生稳定性切换，从而 $u_{+}$ 是局部渐近稳定的。

定理6条件(H2)成立下，根据定理4，令 $\bar{k}\in Z$ 是使得 $\phi \left(\tau \right)>\left(2k+1\right)\pi$ 成立的最大整数。

(i) 如果 $\bar{k}<0$，那么 $u_{+}$ 在 $\tau \in \left[0,{\tau }_{\omega }\right)$ 上是局部渐近稳定的。

(ii) 如果 $\bar{k}\ge 0$，那么存在两列 $\tau$ 值： ${\left\{{\tau }_1,k\right\}}_{k=0,1,\cdots ,\bar{k}}$ 和 ${\left\{{\tau }_2,k\right\}}_{k=0,1,\cdots ,\bar{k}}$ 分别在 $\left(0,{\tau }_{\omega }\right)$ 上递增和递减并且趋近于 ${\tau }_{\ast }$，即

${\tau }_{1,0}<{\tau }_{1,1}<\cdots <{\tau }_{1,\bar{k}}<{\tau }_{\ast }<{\tau }_{2,\bar{k}}<\cdots <{\tau }_{2,1}<{\tau }_{2,0},$

使得

$\text{sign}\left({\frac{\text{d}\phi \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }|}_{\tau ={\tau }_{1,k}}\right)>0,\text{sign}\left({\frac{\text{d}\phi \left(\tau \right)}{\text{d}\tau }|}_{\tau ={\tau }_{2,k}}\right)<0,k=0,1,\cdots ,\bar{k},$

于是，(i) 当 $\tau \in \left[0,{\tau }_{1,0}\right)\cup \left({\tau }_{2,0},{\tau }_{\omega }\right)$ 时， $u_{+}$ 是局部渐近稳定的；(ii) 当 $\tau \in \left({\tau }_{1,0},{\tau }_{2,0}\right)$ 时， $u_{+}$ 是不稳定的；(iii) 在 ${\tau }_{1,0},{\tau }_{2,0}$ 处出现Hopf分支。

3. 数值模拟

这一节借助Matlab软件包验证以上所获得的理论结果。

例1 参数 $\gamma =0.07$ 满足条件(L)，取d = 3满足 ${\left(\frac{\ln d}{\gamma +{\gamma }^{2}d}\right)}^2\left(\frac{1}{d}-3\gamma \right)\left(\gamma +\frac{1}{d}\right)=67.8556\cdots >9.8698\cdots ={\pi }^2$。由定理3知， $S_0$ 存在两个零点 ${\tau }_1,{\tau }_2$ 使得在这两个零点处产生Hopf分支(见图4)。

Figure 4. The graph of $\tau$ as a function of $S_0$ when γ = 0.07

图4. γ = 0.07时， $\tau$ 随 $S_0$ 的变化图

例2 参数 $\gamma =0.27$ 满足条件(H1)，有 ${\tau }_{\omega }=0.7804$，由定理5知， $u_{+}$ 是局部渐近稳定的(见图5)。

Figure 5. The graph of $\tau$ as a function of $\frac{\phi }{\pi }$ when γ = 0.27

图5. γ = 0.27时， $\tau$ 随 $\frac{\phi }{\pi }$ 的变化图

例3 参数 $\gamma =0.08$ 满足条件(H2)，有 ${\tau }_{\omega }=17.839$，此时 $\bar{k}=0$，并且 ${\tau }_{1,0}=2.8232$， ${\tau }_{2,0}=13.4960$。由定理6知， $u_{+}$ 在 $\tau \in \left[0,{\tau }_{1,0}\right)\cup \left({\tau }_{2,0},{\tau }_{\omega }\right)$ 是稳定的； $u_{+}$ 在 $\tau \in \left({\tau }_{1,0},{\tau }_{2,0}\right)$ 是不稳定的，并且在 ${\tau }_{k,0}\left(k=1,2\right)$ 出现Hopf分支(见图6)。

Figure 6. The graph of $\tau$ as a function of $\frac{\phi }{\pi }$ when γ = 0.08

图6. γ = 0.08时， $\tau$ 随 $\frac{\phi }{\pi }$ 的变化图

例4 参数 $\gamma =0.02$ 满足条件(H2)，有 ${\tau }_{\omega }=140$，此时 $\bar{k}=2$，并且 ${\tau }_{1,0}=1.7425$， ${\tau }_{2,0}=135.0865$， ${\tau }_{1,1}=10.1915$， ${\tau }_{2,1}=106.3369$， ${\tau }_{1,2}=25.1663$， ${\tau }_{2,2}=70.8744$。由定理6知， $u_{+}$ 在 $\tau \in \left[0,{\tau }_{1,0}\right)\cup \left({\tau }_{2,0},{\tau }_{\omega }\right)$ 是稳定的； $u_{+}$ 在 $\tau \in \left({\tau }_{1,0},{\tau }_{2,0}\right)$ 是不稳定的，并且在 ${\tau }_{k,0}\left(k=1,2\right)$ 出现Hopf分支(见图7)。

Figure 7. The graph of $\tau$ as a function of $\frac{\phi }{\pi }$ when γ = 0.02

图7. γ = 0.02时， $\tau$ 随 $\frac{\phi }{\pi }$ 的变化图

基金项目

甘肃省优秀研究生“创新之星”项目(2021CXZX-595)；国家自然基金项目(615630224)。

NOTES

^*第一作者。