1. 引言
现如今,社会各领域对最佳离散信号需求量大幅增加。理想序列作为具有良好自相关特性的离散信号,在近几年受到了广泛的关注,差集偶和几乎差集偶对理想序列的研究设计,也成为了该领域的一个重要突破方向。但由于差集偶和几乎差集偶的现有数量无法满足实际工程需求,学者们则主要通过特征多项式法 [1] [2]、基于乘子定理与乘子猜想理论推导法 [3] 以及分圆类组合法 [4] [5] 对二者进行了构造。本文在Gauss经典分圆相关内容的基础上,利用基本分圆数算出各组合中的差函数列表,结合计算机编程求出q的取值并验证,最终得到了
-DSP、
-ADSP。
2. 基本概念和主要定理
分圆是一个具有多年研究历史的基础数学问题,《算术研究》 [6] 这本书首次提出了Gauss经典分圆的内容,随后学者们为构造差集又提出了Whiteman广义分圆类 [7] 和Ding-2阶广义分圆 [8] 等。下面只给出经典分圆的相关定义。
定义1 (分圆类) [9] 设
为素数幂,
是以
为本原元的q阶有限域,
,令
,
,
则称
为
上的e阶分圆类。
注:本文在书写过程中将8阶经典分圆类简记为
。
定义2 (分圆数)设
为素数幂,方程
,
,
解的个数记为
,即
,称
为e阶分圆数。
分圆数的相关性质如下 [9] :
1)
,其中
,
,
2)
,
3)
4)
5)
6) 令
,当f为偶数时,
7) 令
,当f为奇数时,
本文主要通过8阶分圆类对差集偶和几乎差集偶进行构造。当
为奇素数,且
,
,
时,结合分圆数的运算性质得到8阶分圆类下的15个基本分圆数。随着2模p是否为四次剩余和f奇偶性的不同情况,8阶分圆类下的15个基本分圆数则以变量
的不同形式表达。
表1是当f为偶数时的8阶分圆数值,表2是2为模p的四次剩余和非四次剩余时基本分圆数的表示情况,其余情况见Lehmer [10] 文章中作详细叙述。
Table 1. When f is an even number, the 8th order cyclotomic number ( l , m ) 8
表1. 当f为偶数,8阶分圆数
Table 2. When f is an even number, the 8th order basic cyclotomic number
表2. 当f为偶数,8阶基本分圆数
定义3 (差函数)设
是N阶Abel群,D是群G的K阶子集,称
为G中的差函数,其中
。
定义4 (差集偶)设
分别是有限域
的两个子集,且
,
,
中共有e个公共元素,若对
中任意一个非零元a,方程
,
恰有
个解,则称
为
上的一个
差集偶,简记
-DSP。
显然,当
-DSP存在时,
各参数之间有如下等式
令
,
,则有:
构成
-DSP;
构成
-DSP;
构成
-DSP。
定义5 (几乎差集偶)设
分别是
的两个子集,且
,
,
中共有e个公共元素,若对
中任意一个非零元a,方程
,
恰有
个解,对其他
个非零元有
个解,则称
为
上的一个
几乎差集偶,简记
-ADSP。
显然,当
-ADSP存在时,
各参数之间有如下等式
令
,
,则有:
构成
-ADSP;
构成
-ADSP;
构成
-ADSP。
3. 利用8阶分圆类构造新的差集偶与几乎差集偶
就目前研究情况来看,已有学者利用分圆类方法构造了部分差集偶和几乎差集偶。孙彩锋 [4]、许成谦 [11]、李建周 [12] 等人利用2阶分圆类构造出了性能较好的差集偶,如
、
等;段晓贝 [13]、杨小红 [14]、申颖 [15] 等人利用4阶和6阶分圆类得到了多种不同参数形式的差集偶和几乎差集偶,如
、
、
等;贾国彦 [16]、张立超 [17] 等人利用8阶分圆类构造了几类效能较高的差集偶,如
、
等。利用分圆类法构造差集偶与几乎差集偶普遍以2阶、4阶、6阶为主,基于8阶分圆类构造研究成果相对较少,鉴于此本文将展开对8阶分圆类构造差集偶的研究。
定理1设
为奇素数,且
,其中
,
,
是
上的8阶分圆类。令
,
,则
构成了一个
-DSP。
证明:奇素数
,对
中任意非零元
在
两集合中以差形式出现的次数可用
表示,方程
,
,
解的个数则可以记为
。显然有
,
,要证明
为差集偶,则需要证明任意元素
,在
中出现的次数相同,即
的值相同,从而有:
结合8阶分圆数表1和表2,当2不是四次剩余时
可作如下表示:
可知
。
若使
构成
中的差集偶,则要求
,即:
结合
计算可得
,
,其中
,
,
,
,
。因此,
构成
-DSP。
推论1设
为奇素数,
是
上的8阶剩余类,令
,
。则
构成了一个
-ADSP。
例1 设
,
,
,取
,
且
,
。当计算当
时,
,
,
,
,
时,10是
的本原元,则
可分别表示为
构成了
-DSP。
4. 结束语
本文对8阶分圆类构造差集偶和几乎差集偶所产生的大量组合进行筛选,整理出符合要求的新组合形式。利用8阶基本分圆数计算出各组差函数列表,结合理论知识证明得到了参数为
的差集偶,并给出例证及推论。文章研究结果对差集偶和几乎差集偶的现存实例进行了扩充,对理想序列和序列偶的构造提供了基础有效的数学工具。
基金项目
国家自然科学基金(No. 61502217),辽宁省教育厅科研项目(LQ2020020)。
NOTES
*通讯作者。