1. 引言
趋化性是指细胞占据一个空间,由其中不均匀分布的物质产生的化学信号刺激细胞的运动。对细胞的不同研究和实验一直在探索细胞如何引导其自然运动,并根据化学梯度刺激的强度随机改变其运动路线。趋化系统在1970年由Keller和Segel提出,它描述了细胞受化学信号刺激所产生的聚集现象。这一系统在过去几年得到了广泛的研究,相关的趋化模型及生物学背景概述参阅 [1]。我们考虑如下的带有奇异灵敏度的趋化模型:
(1.1)
其中
是由韦伯–费希纳定律确定的,刻画细胞向化学信号运动的趋化强度。下面介绍关于系统(1.1)的相关结论。若
,当
时,如果
(
)或者当
时,如果
,则解整体有界 [2] [3]。若
,
,当
相对于r恰当小,系统(1.1)存在一个全局有界古典解 [4]。
对于如下带有奇异灵敏度的模型:
(1.2)
其中
。该系统可以追溯到Keller和Segel研究的流动的大肠杆菌游动带的形成。
表示细胞u在趋化过程中氧气v被消耗,这自然表明v在时间上保持有界。关于解的整体存在性,人们对它的研究不如对其信号产生的研究那么广泛。
的存在有助于推导适当的先验估计,并确保经典解或最终正则化的弱解的全局存在。若
且
,当
,若
和
,则系统(1.2)存在整体解 [5]。若
且
,对于
,当
且
时,系统 (1.2)存在全局经典解;对于
,当
且
时,系统(1.2)存在整体有界解 [6],另外,在二维情况下, [7] 证明了
及
时古典解的整体存在。
本文将考虑如下的带有奇异灵敏度和logistic源的趋化系统:
(1.3)
其中
。
是光滑有界区域。初始值满足
(1.4)
我们将证明系统(1.3)古典解的整体存在性。
定理1.1. 设
及
。若
且
,则系统存在整体古典解。
2. 古典解的整体存在性
在这一章节中,我们主要证明古典解的整体存在性。首先陈述方程(1.3)古典解的局部存在性,证明的具体细节见文献 [7]。
引理2.1. 令
,初值
满足(1.4)。则方程(1.3)存在
在古典解意义下满足系统(1.4)。此外,
或者
。
引理2.2. 令
,则
,
。
证明. 根据
的正性,由比较原理得证。
我们通过变换
的方法来估计v的逐点下界。
引理2.3. 令
,如果对于
,存在
使得
,
,那么存在
,使得
(2.1)
证明. 令
,则
(2.2)
通过常数变易法,有
利用半群估计( [8], Lemma 1.3(i)),知存在
使得
当
时,式子
是可积的,又因为
,所以可得
由w的定义可知
于
。
引理2.4. 令
。当
时,如果
并且
,则存在
使得
(2.3)
证明. 对于
,
,由方程(1.3)得到
(2.4)
通过杨氏不等式 得
(2.5)
由估计(2.4)和(2.5)可得
(2.6)
定义
当
,有
如果
并且
,则存在
使得
。因此,由式(2.6)得
进而 有
综上所述,可得
证明完成。
证明定理1.1.
通过常数变易法,有
(2.7)
其中
。
若
,定义
当
。为了去估计
,需要去控制
。由半群估计( [8], Lemma 1.3(iv))和引理2.3,存在
使得
(2.8)
如果
,由( [9], Lemma 2.4(ii)),存在
满足
(2.9)
取
接近
,则
和
。从而,根据(2.3)及(2.7)~(2.9)并利用Hölder不等式,可得
(2.10)
其中
。易知对
有
,并且当
时,有
。固存在
满足(2.10)成立。
当
,由( [10], Lemma 3.3),知
当
时,(2.9)式依然成立,又因为积分
可积,则存在
使得
证明完毕。
3. 结论
本文通过一系列的不等式放缩行为进而完成了系统(1.3)的解的全局存在性证明,首先对
进行了估计,最终通过对
的估计完成了证明,即定理1.1,若
且
,则系统(1.3)存在整体古典解。