1. 引言
在偏微分方程的学习中,数 [1] [2] 知识几乎贯穿整个数学体系。由于导数条件的限制与实际情况的需要,导致N维弱导数 [3] [4] [5] [6] 出现。弱导数是一个函数的微分(强微分)概念的推广。通过弱导数和磨光函数将函数磨光,在函数没有可微的条件下,也能得到和函数可导相似的结果。本文主要证明了N维空间中弱导数的一些性质。该结果贯穿于整个偏微分方程的学习中,特别是解决了光滑函数的局部逼近和全局逼近问题。
2. 弱导数的定义
引理1 [5] [6]:设
,
是多重指标,若任一测试函数
满足
,则称
是u的
阶弱导数,记作
。
引理2 [5]:设函数
定义在开区间
上,若
在I上无穷次可微,且u的支集
,则称
是试验函数,记为
。
引理3 [7]:(变分法基本引理) 若
且对任意的
有
,则在
中
。
引理4 [6]:(分部积分公式) 设
,则
.
3. 弱导数的性质
性质1:(唯一性)若u的
阶弱导数存在,则在零测集的意义下一定唯一。
证明:假设
都是u的
阶弱导数,从而对
,有
,
即对
,有
。
由此可知,
在
上几乎处处成立,从而原求证成立。
性质2:设
和
是两个多重指标,如果
存在,那么
和
存在,并且
。
证明:固定
,则
,根据引理1有
而
,
从而有
。
因此
。
同理有
。
故在弱意义下
,
存在,且等于
。
性质3:设
,
,假设存在函数列
满足
以及
1) 对
,有
;
2) 存在正常数C,使得
,
。
那么v在
内存在一阶弱导数
,并且
,
。
证明:由(2)知存在
的子列,不妨设为
以及
在
中
且
。显然,对
有
,
由弱导数的定义知
,
结合1)我们有
,
故
,并且
。
从而原求证成立。
性质4:假设
,
,那么对每个
,
并且当
时有
。
证明:固定
,则
。
因此
。
从而原求证成立。
性质5:假设
,
,如果
,那么
且
,其中
。
证明:先证明
。
,
我们将其当作排
列组合来证明
,其中
,即证明
。
下面我们用数学归纳法来证明:若u有k阶弱导,则
也有k阶弱导。
第一步 假设
,任一
,
则由分部积分公式有
得
而
。
因此
。
第二步 现在假设对
成立的所有函数
,原求证都成立。
第三步 当
时,对某个
,上述的
有
代入
,
得
(1)
对于
,令
则
。
从而
(2)
将(2)代入(1)得
因此,当
时,
也n有
阶弱导。
综上所述,原求证成立。
4. 结束语
本文主要是对N维空间中弱导数的性质进行总结证明,将一维中的弱导数推广到N维空间中,从而得到比一维空间中弱导数更广泛的性质。根据本文推广的形式,后续可以继续改进推广更高阶线性形式。