1. 引言
对于正整数n,除数函数
表示n的正除数的个数。1849年,Dirichlet (见文献 [1] )考虑了
的均值并给出了以下渐近公式:
,
其中
,
是欧拉常数。1874年,Mertens (见文献 [2] )考虑了酉除数函数的均值。如果正整数
且
,则称d是n的一个酉除数。记
为n的全部酉除数的个数,Mertens证明了
,
其中
,
分别表示Riemann-zeta函数及其导函数。1972年,Suryanarayana [3] 进一步考虑了双重酉除数函数的均值。若d是最大的a与b的公共酉除数,则称d为a与b的最大酉公因子,记作
。如果d满足
且
,则称d为n的双重酉除数。令
为n的全部双重酉除数的个数,Suryanarayana得到
,
其中A与B是常数,
表示对所有素数求和。其他相关研究还可参见文献 [4] 与 [5]。
设
为q元有限域,在函数域
中,类似的我们也可以考虑各类除数函数的均值。对于
,令
表示f的全部首一因式的个数,我们有(见文献 [6] )
,
其中
表示对所有
次首一多项式求和。最近,牛威 [7] 考虑了函数域上酉除数函数的均值。令
表示f的全部首一酉因式的个数,他证明了对于任意
,有
,
其中
表示对所有
次首一多项式求和。
本文将讨论函数域上双重酉除数函数的均值,并给出相应的渐近公式。为简单起见,令
表示有限域
上的一元多项式环,令M表示A中所有首一多项式构成的集合,
表示A中所有n次首一多项式构成的集合。
对于任意
,若
且
,则称d是f的酉因式,记作
。设
且不全为0,如果多项式
满足:
1)
,
2) 若有任意的多项式h满足
,则一定有
。
那么称d是
的最大酉公因式,记作
。容易证明,任意
的最大酉公因式存在且唯一。若
且
,则称g是f的双重酉因式。令
表示多项式f的所有双重酉因式的个数,我们有以下结果。
定理1.1 对于任意整数
以及
,我们有
.
符号说明:
2. 预备知识与引理
2.1. 函数域上的Zeta函数
为证明定理1.1,我们首先介绍函数域上zeta函数的定义与性质。函数域
中多项式f的范数定义为
,其中
表示f的次数。函数域
上的zeta函数为(见文献 [6] )
,
, (2.1)
其欧拉乘积为
,
, (2.2)
其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。根据(2.1)式,我们可以得到
,
. (2.3)
根据(2.3)式可知,函数
可以解析延拓到整个复平面并且在
处为简单极点。为简单起见,令
,则(2.3)式可写为
,
. (2.4)
2.2. 双重酉除数函数的性质
我们首先证明双重酉除数函数
是可乘的。
引理2.2.1. 对任意
且
,有
.
证明:由
定义,有
.
因为
且
,所以存在
,使
,
,
。从而有
.
由此可见,若能证明当
且
时,
(2.5)
成立,则有
,
即引理结论成立。
下证当
且
时,公式(2.5)成立。记
,
,
.
由最大酉公因式定义可知
且
。因为
,所以
。同理,由
可得
,因此
。由此可得
是
和
的酉公因式。由最大酉公因式定义可得
。
下证
。由t的定义可得
。因为
,所以存在
满足
,并且
,
。由
,
并根据函数域上的算术基本定理和最大酉公因式定义可得,对上述
,仍有
,
。从而
,
。由此可得
,即
。
综上所述,我们有
,因此引理得证。¨
接下来我们计算
在不可约多项式幂次处的值。
引理2.2.2. 设
为正整数,P为A中首一的不可约多项式,则有
证明:对于正整数
,易知
共有
个因式,其中
且不可约。当
是奇数时,因为对于所有
,
,都有
,所以
。当
是偶数时,因为有
,所以
。引理得证。¨
2.3. 其他所需引理
设
,我们定义
,(2.6)
其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。下面我们将考虑
的有界性。
引理2.3.1. 对于任意
,当
时,我们有
。
证明:由
的定义,我们有
.
由范数定义可得
,
其中
表示
中首一的不可约多项式的个数。又因为
,
且存在常数
,使得
(见文献 [6] ),所以
.(2.7)
利用换底公式及
的泰勒展开式可得
.
因为当
时,级数
收敛,所以存在
,使得
, (2.8)
从而引理得证。¨
下面我们将用
与
表示
的Dirichlet级数。
引理2.3.2. 对于
,我们有
,(2.9)
其中
是函数域上的zeta函数,
由(2.6)式给出。
证明:记
,(2.10)
由引理2.2.1
是可乘函数可得
的欧拉乘积为
,
其中无穷乘积历遍所有首一不可约多项式。由引理2.2.2可得
.
根据上式并利用
的欧拉乘积(2.2)式以及
的定义(2.6)式,可以得到
.
引理得证。¨
当
时,我们可以将
写成如下Dirichlet级数的形式
, (2.11)
其中
是
的欧拉乘积(2.6)式确定的可乘函数。更进一步,我们有
.
令
,上式可以写成
,
,(2.12)
其中
.(2.13)
为证明定理1.1,我们还需要
的上界。
引理2.3.3. 对于任意
,存在常数
使得
.
证明:由
的定义(2.13)式,
的定义(2.12)式并且利用洛朗定理(见文献 [8] )可得
,(2.14)
其中围道
由
给出。对(2.14)式两边取模,由引理2.3.1以及围道
取法可得
.
从而有
.
引理得证。¨
3. 定理1.1的证明
由
定义(2.10)式可得
.
令
,上式可写为
,(3.1)
同时(2.9)式可写为
.
根据(2.4)式
的泰勒展开式以及(2.12)式可得
.(3.2)
由比较(3.1)式和(3.2)式右边幂级数的系数可得
.
从而有
.
由此可得
.(3.3)
由
我们有
.(3.4)
下面估计(3.4)式最右边的O项。由
的定义(2.13)式以及引理2.3.3可得
. (3.5)
对于(3.5)式中
,当
时,我们有
,
从而
. (3.6)
将(3.6)式代入(3.5)式我们有
. (3.7)
将(3.7)式代入(3.4)式右边的O项我们有
. (3.8)
将(3.8)式代入(3.3)式,可得当
时,
.
定理得证。