1. 引言
正项级数是数项级数中最重要的研究对象。因此,对于正项级数敛散性的研究一直都是人们关注的焦点。达朗贝尔(D’Alembert)判别法(也称为比值判别法或比式判别法)作为正项级数敛散性的一个重要判别法则,因其简单、方便等特点被广泛应用。但该判别方法具有一定的局限性,为此,许多学者对其进行了改进,以期能够判别更多的正项级数的敛散性。文献 [1] 针对正项级数的一般项单调递减的情形,利用柯西定理给出了一种改进的达朗贝尔判别方法,并通过分析指出:该方法比达朗贝尔判别法较为广泛 [1];文献 [2] 及文献 [3] 对该方法进行了改进;文献 [4] 去掉了一般项单调递减的限制,给出了一种双比值判别法,并说明了双比值判别法强于达朗贝尔判别法;文献 [5] 将双比值判别法推广到了一般的情形;文献 [6] 给出了一种隔项比值判别法,并举例说明了该方法改进了达朗贝尔判别法;文献 [7] 给出了一种更精细的比值判别法。本文在这些文献的基础上,也尝试对达朗贝尔判别法进行推广,使得正项级数的判别方法得到进一步丰富和完善。
达朗贝尔判别法 [8] [9] 设
为正项级数,其中,记
(1)
则
(i) 当
时,该级数收敛;
(ii) 当
时,该级数发散;
(iii) 当
时,该判别法失效。
除特殊说明外,本文所讨论的上、下极限均为有限数。
2. 主要结论及应用
引理1 设
为正项级数,记
(2)
则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
时,该判别法失效。
证 (i)由
知,存在
使得
。又由
知,存在
使得当
时,有
(3)
由于级数的敛散性与前有限项无关,不妨设(3)式对于所有的自然数
都有成立,故
从而
即
有界,所以级数
收敛。
(ii) 由
知,存在
使得
成立。又由
知,存在
使得当
时,有
(4)
类似于(i)中,不妨设(4)式对于所有的自然数
都有成立,故有
(5)
若
收敛,则
存在,设该极限为
。对(5)式两边取极限可得
因
,这是矛盾的。故
发散。
(iii) 考察级数
的敛散性 [8] [9]。由于
,
故
,因此,引理1无法判别其敛散性。但由文献 [8] [9] 知,当
时,该级数收敛;当
时,该级数发散。
利用引理1可以对达朗贝尔判别法失效的情形做如下改进,使其应用范围更加广泛。
定理1 设
为正项级数,
如(1)式所示且满足
。
如(2)式所示,则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
且
时,该判别法失效。
证 (i) 因为
故
,由引理1(i)知,级数
收敛;
(ii) 因为
故
,由引理1(ii)知,级数
发散。
(iii) 考察级数
的敛散性。由于
因此,
,故定理1无法判别其敛散性。但由文献 [2] 知,当
时,该级数收敛;当
时,该级数发散。
类似定理1,可得
定理2 设
为正项级数,
如(1)式所示且满足
。
如(2)式所示,则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
且
时,该判别法失效。
定理2的证明完全类似于定理1,在此省略其证明过程。下面讨论引例1的推广,给出如下的引理2.
引理2 设
为正项级数,记
(6)
则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
时,该判别法失效。
证 (i) 类似于(3)式,存在
使得
且对于所有的自然数
都有
于是
从而
故此时级数收敛。
(ii) 类似于(4)式,存在
使得
且对于所有的自然数
都有
于是
若
收敛,则
存在,设该极限为
。对上式两边取极限可得
因
,故得矛盾。因此,级数
发散。
(iii) 考察级数
的敛散性。由于
因此
,故引理2无法判别其敛散性。但由文献 [3] 知,当
时,该级数收敛;当
时,该级数发散。
由引理2可得如下定理3~5,证明均类似于定理1,在此只给出定理3的证明,其余证明省略。
定理3设
为正项级数,
如(1)式所示且满足
。
及
如(6)式所示,则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
且
时,该判别法失效。
证 (i) 由于
因此
,由引理2(i)知级数
收敛;
(ii) 由于
因此
,再由引理2(ii)知级数
发散。
(iii) 考察级数
的敛散性 [3]。由于
因此,
,
故定理3无法判别其敛散性。但由文献 [3] 知,当
或者
或者
时,该级数收敛;其余情形该级数发散。
定理4设
为正项级数,
如(1)式所示且满足
。
及
如(6)式所示,则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
且
时,该判别法失效。
定理5设
为正项级数,
如(1)式所示且满足
。
及
如(6)式所示,则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
且
时,该判别法失效。
由前述的证明可以看出引理1和引理2可以进一步推广到更一般情形,且可以得出类似定理1~5的结论,但因篇幅所限在此不再列出更多的结论。下面应用本文的结论讨论一些级数的敛散性。
例1判断级数
的敛散性。
解 由于
此时达朗贝尔判别法失效。利用Stirling公式 [9] 可得
故
,由定理1知该级数发散。
例2 [8] 讨论级数
(7)
数的敛散性,其中
.
解 由于
因此,达朗贝尔判别法失效。
当
时,由于
且
故由引理2或者定理3~5均可判别该级数收敛。
当
或者
时,由级数(7)的形式可以判断出此时级数是发散的。
众所周知,拉贝判别法也是正项级数敛散性判别中常用的一种方法,并且拉贝判别法判别范围较达朗贝尔判别法更广泛 [8]。
拉贝判别法 [10] 设
为正项级数,记
则
(i) 当
时,级数
收敛;
(ii) 当
时,级数
发散;
(iii) 当
时,该判别法失效。
特别需要指出的是:本文引理1给出的判别方法要强于拉贝判别法。因为,若
,则可取
,当
充分大时,有
故
从而
故
同理可证
故有
.
类似可证当
时,有
。由此可知:能够用拉贝判别法确定敛散性的级数均可用引理1确定。反之则不能,如下例。
例3 判断级数
的敛散性。
解 由
,
故达朗贝尔判别法失效。又
故拉贝判别法也失效。但易得
,
,利用引理1或者定理1或者定理2均可判别该级数收敛。
基金项目
本文受到广东石油化工学院科研基金人才引进项目(2019rc101)、国家自然科学资金青年资金项目(11701114)资助。
NOTES
*通讯作者。