1. 引言
设
是区域D内的一族亚纯函数,若从函数族
中的每一个函数序列
中能够选出一个子序列
,使得
在D内按球面距离内闭一致收敛于一亚纯函数,或一致趋于∞,则称函数族
在区域D内正规。
设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数,如果
与
在区域D内有相同的零点,则称f和g在区域D分担a,如果
与
在区域D内有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f和g在区域D内CM分担a,我们用
来表示。
1992年,Nevanilnna证明了著名的五值定理。即设f和g为两个非常数亚纯函数,若f和g分担五个两两互异的值,那么这两个函数必定恒等。
对于正规族理论方面,由Bloch原理,刘晓俊、李三华和庞学诚 [1] 考虑了两族亚纯函数的分担值问题,得到了下面定理。
定理1.1. 设
和
为区域
的两族亚纯函数,
为四个不同的复数,若
正规,且对于所有的
,存在
使得
和
分担值
,则
在D上正规。
在涉及分担值的正规族理论方面,1992年,W. Schwick [2] 证明了下面定理,建立了一个与分担值相关的正规定则。
定理1.2. 设
是区域D内的一族亚纯函数,
是三个判别的有穷复数。如果对于
中的任意函数f,f和
在D内分担
,则
在D内正规。
关于两个函数间分担的情况方 [3] [4] 证明了下面定理。
定理1.3. 设
为区域
的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为
,其中
且为整数,设b是非零有穷复数,若对于
中任意两个函数f和g,f和g在D内分担0,
和
在D内分担b,则
在D内正规。
2013年,刘晓俊、李三华和庞学诚 [1] 考虑与分担值相关的两族函数的情况并证明了下面定理。
定理1.4. 设
和
为区域
的两族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为
,其中
且为整数。设b是非零有穷复数,若
正规,对于
中任意子列
,
,在区域D上我们有
和
。若对于任意
,存在
使得。
1)
;
2)
;
3)
。
则
在D上正规。
文本我们考虑将上述定理中非零有穷复数b换成非零的全纯函数
,并且将
替换为
,以及
替换为
,
为有穷常数,得到如下定理。
定理1.5. 设
和
为区域
的两族亚纯函数,所有零点的重级至少为
,其中
且为整数。设
是在D内不为零的全纯函数,
为有穷常数。若
正规,对于
中任意子列
,
,在区域D上我们有
和
(其中
且
)。若对于任意
,存在
使得
1)
;
2)
;
3)
。
则
在D上正规。
在给出证明之前,先介绍一些符号。本节中,D表示
中的区域。对于
和
,记
以及
,单位圆盘记作
。
2. 相关引理
引理2.1. [5] 设
为单位圆盘上的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少为k,假设存在
,使得当
有
。如果
在
处不正规,则对于任意
,存在:
1) 实数r,
;
2) 一点列
;
3) 一函数列
;
4) 一正数列
。
使得
在复平面
上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数
,且g的所有零点重级至少为k,
。此外,g的级至多是2。
引理2.2. [6] 设
为复平面
上的亚纯函数,若球面导数
在
上有界,则
的级至多为2,当
是整函数,
的级至多为1。
引理2.3. [7] 设f为复平面
上的超越亚纯函数且级是有限的,所有零点的重数至少为
,k为一个正整数,则对于所有非零负数b,
在
上有无限多个零点。
引理2.4. [8] 设
为复平面
上的非常数亚纯映射且级是有限的,所有零点的重数至少为
,若在
上
,其中
,则
其中
,
。
3. 定理1.5的证明
不失一般性,我们假设
,若存在
使得
在
处不正规,则由引理2.1,存在点
,函数
,正数
,使得在
上
其中F为非常值亚纯函数,其零点的重级最少为
,由引理2.2知F的级至多为2。
相应的,由条件可知存在
,使得在
上
,
且
零点的重级最少为
。我们分为以下三种情况讨论。
情形1.
,
。
在这种情形下,存在
的一些邻域
使得对每一个充分大的n,
。由条件(1)和条件(2),我们有在邻域
中
。
我们断言
,
。否则,存在
使得
。因为
,由Hurwitz’s定理知,存在
使得
。所以我们有
且
。矛盾,这表明在
上
。同理可证
。
因此F为复平面
上的非零整函数。根据条件
,我们有
,因此
。由引理2.3可知
在
上有无限多个零点。所以存在
使得
。
若
,则F一定为k次多项式,和
矛盾。
因此
。由Hurwitz’s定理知,这里存在
使得
,由条件(3)我们可以得出
,令
,我们得到
,因为
,所以在邻域
中
只有有限多个零点,由条件可知在邻域
中
也只有有限多个零点,也就是说
在复平面
上有有限多个零点,因此
在复平面
上有有限多个零点,矛盾。
情形2.
。
因为g零点的重数至少为
,我们有
,用同样类似的方法,我们可以证得在
上
。
由引理2.4
其中
为两个有限复数。则由Hurwitz’s定理知,存在
使得
且
。由条件(2)知,我们得知
,令
,
,矛盾。
情形3.
。
在这种情形下,我们有
。我们也分为两种情况讨论。
情形3.1.
,
。
因为在复平面
上
,由Hurwitz’s定理知,存在
使得
,而且
。由假设知,我们有
。令
,我们得到
,矛盾。
情形3.2. 在
上
,我们同样也分为两种情况讨论。
情形3.2.1. F为超越亚纯函数。
因为
,由引理2.3可知
在
上有无限多个零点,因为
,存在
,使得
在圆
上全纯,且在该圆上
一致收敛到
,则我们有
因为上式两边均为整数,当n充分大时,我们有
由于
,则
因为
,
,对于充分小的
,
。所以
令
,
,其中
在
上全纯,
,
是一个正整数。因为
,我们有
其中
在
上全纯,
,
且为整数,
且
,通过计算,我们得到
因此在
上,
只有有限多个零点,由条件知,在
上
也只有有限多个零点,则表示
在复平面
上有有限多个零点,继而可知
在复平面
上只有有限多个零点,矛盾。
情形3.2.2. F为有理函数。
因为
,
,其中P为多项式。对于任意
,因为
且
,若我们假设
,由情形1及情形2的讨论得知,
在
处正规,则
在
处不正规。同样我们可以证得在
上
,所以在
上我们有
以及
,
。则
即
由条件(2)和(3),我们有
因为
且
,我们假设
其中
在
上全纯,
,
且为整数,
,由条件(2)知,
有
个单一极点
且重数至少为1。
由同样的方法,我们有
则
矛盾。则
在D上正规。
参考文献