具有跳跃的随机蚊子种群模型的不变测度

Invariant Measure of Random Mosquito Population Model with Jumping

摘要: 本文主要研究具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型的不变测度。首先，巧妙构造李雅普诺夫函数，利用伊藤定理、比较定理，证明了随机蚊子种群模型存在唯一的全局连续正解。其次，如果λ≤0，不育蚊子种群会灭绝，而野生蚊子种群的分布弱收敛于唯一不变概率测度；如果λ > 0，则系统具有不变概率测度，解过程的转移概率收敛于不变测度。最后证明了随机过程的转移概率收敛到其不变测度的指数收敛速度。

Abstract: This paper mainly studies the invariant measures of the random mosquito population model with Markov chains. First, the Lyapunov function is cleverly constructed, and the Itô theorem and the comparison theorem are used to prove that the random mosquito population model has a unique global continuous positive solution. Second, if λ≤0, the sterile mosquito population will be extinct, and the distribution of the wild mosquito population weakly converges to the only constant probability measure; if λ > 0, then the system has an invariant probability measure, and the transition probability of the solution process converges to an invariant measure. Finally, it is proved that the transition probability of a stochastic process converges to the exponential convergence rate of its invariant measure.

1. 引言

蚊子是疟疾和登革热等蚊媒疾病的主要传播者之一，在全球范围内的种类有3600多种。其中，以吸食血液作为食物的雌蚊是登革热、疟疾、黄热病、丝虫病、日本脑炎和寨卡病毒等其他病原体的中间寄主，且伊蚊是虫媒病毒疾病的主要载体之一 [1]。在热带和亚热带地区，蚊媒疾病猖獗，给当地公共卫生的防疫工作带来了极大的影响。目前，已经很多学者对蚊虫传疾病的传播方式和有效控制方法作大量的研究 [2] [3] [4] [5]。其中，有些学者考虑使用杀虫剂来消灭蚊子，但可能受到对环境影响或抗药性演变的关切的限制。因此，也有部分学者考虑不使用杀虫剂消灭野生蚊子的方法。例如，Alphey [6] [7] 等人研究发现不育昆虫技术是减少或消灭野生蚊子的有效方法。在此研究基础上，McLean [8] 等人进一步考虑了一种转基因策略，即释放携带显性致死因子的昆虫，携带显性致死因子的雄蚊同野外雌蚊交配产生的杂合后代在预定条件下死亡，达到减少或消灭野生蚊子的效果。此后，Cai [9] 等人提出蚊子种群动力模型，该模型假设野生蚊子和不育蚊子在互不干涉的情况下都遵循Logistic增长，不育蚊子的出生率就是它的释放率。当不育蚊子被释放到环境中并且与野生蚊子发生相互作用的情况下，此模型系统可由以下微分方程描述：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}w}{\text{d}t}=\left[C\left(N\right)\frac{aw}{w+g}-\left({\mu }_1+{\xi }_1\left(w+g\right)\right)\right]w,\hfill \\ \frac{\text{d}g}{\text{d}t}=B(\cdot )-\left[{\mu }_2+{\xi }_2\left(w+g\right)\right]g.\hfill \end{array}$ (1.1)

其中w表示野生蚊子种群数量，g表示不育蚊子种群数量， $N=\left(w+g\right)$ 表示野生蚊子和不育蚊子的种群数量， $C\left(N\right)$ 表示每个个体的单位时间交配次数， ${\mu }_i>0$ 表示野生蚊子和不育蚊子与种群密度无关的死亡率， ${\xi }_i>0$ 表示野生蚊子和不育蚊子与种群密度相关的死亡率， $a>0$ 表示每次交配产生的野生后代数量， $B(\cdot )$ 表示不育蚊子的释放率。

假设蚊子种群模型存在Allee效应 [10]，为简化符号，记 $c_{0}a$ 为a，交配率 $C\left(N\right)=c_{0}N/\left(1+N\right)$，释放率 $B(\cdot )=\frac{bw}{1+w}$。其中 $c_0$ 表示最大的交配率， $B(\cdot )$ 是一个线性饱和函数且当野生蚊子数量充分大时趋向于常数b， $b>0$ 表示不育蚊子释放率系数。然而，现实世界中不可避免遭受环境噪声的影响，比如湿度、温度、光照等因素。因此，本文考虑环境噪声因素对蚊子种群的影响，即确定性蚊子种群模型相应的随机模型如下：

$\{\begin{array}{l}\text{d}w\left(t\right)=\left[\left(\frac{aw\left(t\right)}{1+w\left(t\right)+g\left(t\right)}-\left({\mu }_1+{\xi }_1\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right)\right)\right)w\left(t\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_{1}w\left(t\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)\hfill \\ \text{d}g\left(t\right)=\left[\frac{bw\left(t\right)}{1+w\left(t\right)}-{\mu }_2+{\xi }_2\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right)g\left(t\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_{2}g\left(t\right)\text{d}{B}_2\left(t\right),\hfill \end{array}$ (1.2)

其中 $B_1\left(t\right)$， $B_2\left(t\right)$ 是两个独立的实值布朗运动， ${\sigma }_i$ 表示白噪声。由于布朗运动是对环境中连续扰动随机事件的描述，我们进一步考虑系统中存在无法用连续扰动描述的突发事件，并使用有限状态空间的马尔科夫链来模拟环境中离散事件的扰动。假设系数 $a,b,{\mu }_i,{\xi }_i,{\sigma }_i$ 的强度取决于 $\alpha \left(t\right)$，方程(1.2)转换为如下随机模型：

$\{\begin{array}{l}\text{d}w\left(t\right)=\left[\left(\frac{a\left(\alpha \left(t\right)\right)w\left(t\right)}{1+w\left(t\right)+g\left(t\right)}-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right){\xi }_1\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\right]\text{d}t\\ +{\sigma }_1\left(\alpha \left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)\\ \text{d}g\left(t\right)=\left[\frac{b\left(\alpha \left(t\right)\right)w\left(t\right)}{1+w\left(t\right)}-\tilde{k}\left(\alpha \left(t\right)\right)g\left(t\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_2\left(\alpha \left(t\right)\right)g\left(t\right)\text{d}{B}_2\left(t\right),\end{array}$ (1.3)

其中， $\tilde{k}:={\mu }_2+{\xi }_2\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right)$， $\alpha \left(t\right)$ 是右连续有限状态的马尔科夫链，是独立的布朗运动，其状态空间为 $\mathcal{M}=\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$。其生成元设为 $\Gamma ={\left({\gamma }_{ij}\right)}_{N\times N}$， ${\gamma }_{ij}$ 如下确定：

$P\left\{\alpha \left(t+\Delta \right)=j|\alpha \left(t\right)=i,X_t=x\right\}=\{\begin{array}{l}{\gamma }_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right),i\ne j\\ 1+{\gamma }_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right),i=j\end{array}$ (1.4)

2. 预备知识

在本文中，使用小写字母 $w_0$ 、 $g_0$ 、 $i_0$ 分别表示 $w\left(t\right)$ 、 $g\left(t\right)$ 、 $\alpha \left(t\right)$ 的初始值，为方便起见，我们假设

$\begin{array}{l}{a}^{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }a\left(i\right),b^{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }b\left(i\right),{\sigma }_s^{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }\sigma \left(i\right),{\tilde{k}}^{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }\tilde{k}\left(i\right),\\ a_{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\min }a\left(i\right),b_{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\min }b\left(i\right),{\sigma }_{s*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\min }\sigma \left(i\right),{\tilde{k}}_{*}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\min }\tilde{k}\left(i\right).\end{array}$

其中s = 1,2。记 $R_{+}=\left[0,\infty \right)$， $R_{+}^o=\left(0,\infty \right)$， $R_{+}^2=\left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)$ 和 $R_{+}^{2,o}=\left(0,\infty \right)\times \left(0,\infty \right)$，系统(1.3)与(1.4)的随机过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 的相关算子：

$\mathcal{L}V\left(\varphi ,i\right)=V_{\varphi }\left(\varphi ,i\right)\tilde{f}\left(\varphi ,i\right)+\frac{1}{2}tr\left[\tilde{g}\left(\varphi ,i\right){\tilde{g}}^{\text{T}}\left(\varphi ,i\right)V_{\varphi \varphi }\left(\varphi ,i\right)\right]+\underset{j\in M}{{\displaystyle \sum }}{\gamma }_{ij}V\left(\varphi ,i\right).$ (2.1)

定义 $A^{\text{T}}$ 表示A的转置，特别地 $\varphi =\left(w,g\right)$， $V_{\varphi }\left(\varphi ,i\right)$ 和 $V_{\varphi \varphi }\left(\varphi ,i\right)$ 是 $V\left(\cdot ,i\right)$ 相对于 $\varphi$ 的梯度和宽度， $\tilde{f}$ 和 $\tilde{g}$ 分别是式(1.3)的漂移系数和扩散系数，定义如下：

$\tilde{f}\left(\varphi ,i\right)={\left(\frac{a\left(i\right)w^2}{1+w+g}-w{\mu }_1\left(w,i\right)-w\left(w+g\right){\xi }_1\left(w,g,i\right),\frac{wb\left(w,g,i\right)}{1+w}-g\tilde{k}\left(i\right)\right)}^{\text{T}}$

$\tilde{g}\left(\varphi ,i\right)=diag\left({\sigma }_1\left(i\right)w,{\sigma }_2\left(i\right)g\right)\in R^{2\times 2}$

其中 $diag\left(a,b\right)$ 表示包含项a和b的对角矩阵。特别地， $\tilde{g}$ 的特殊结构意味着 $\tilde{g}{\tilde{g}}^{\text{T}}={\tilde{g}}^2$， $V\left(\varphi ,i\right)$ 和 $V\left(w,g,i\right)$ 可以相互表示。

假设2.1 假设

1) $B_1\left(t\right)$ 和 $B_2\left(t\right)$ 是独立于马尔科夫链 $\alpha \left(t\right)$ 的实值标准布朗运动。

2) 对任意 $i\in \mathcal{M}$， $a\left(i\right),b\left(i\right),\tilde{k}\left(i\right),{\sigma }_1\left(i\right),{\sigma }_2\left(i\right)$ 是非负的。

3) ${\mu }_1\left(w,i\right),{\xi }_1\left(w,g,i\right),b\left(w,g,i\right)$ 满足局部利普希茨条件； $\mu \left(0,i\right)={\xi }_1\left(0,g,i\right)=0$ 意味着对于 $k_0>1$， $\underset{w\to \infty }{\lim }{\mu }_1\left(w,i\right)=\infty$ ； $0\le b\left(w,g,i\right)\le {\kappa }_0\left({\mu }_1\left(w,i\right)\wedge {\xi }_1\left(w,g,i\right)\right)$， ${\xi }_1\left(w,g,i\right)\le {\kappa }_0\left(1+w\right)$。此外，对每个 $i\in \mathcal{M}$， $b\left(w,g,i\right)$ 在 $g=0$ 时是一致连续的，即 $\underset{g\to 0}{\lim }\sup \left|b\left(w,g,i\right)-b\left(w,0,i\right)\right|=0$。

4) 马尔科夫链或它的生成元 $\Gamma ={\left({\gamma }_{ij}\right)}_{N\times N}$ 是不可约的，即对任意的 $i,j\in \mathcal{M}$，存在 $i=i_0,i_1,\cdots ,i_n=j$ 使 ${\gamma }_{i_{k-1}},i_k>0,k=1,2,\cdots ,n$。

假设2.2 用 ${\pi }_{\alpha }$ 表示 $\alpha \left(t\right)$ 的不变测度，假设下列条件之一成立：

1) 对于每个 $i\in \mathcal{M}$，任意的 $\left(w,g\right)\in \left[0,\infty \right)\times \left(0,\infty \right)$， $b\left(w,g,i\right)$ 在w上是非减的，在g上是非增的；

2) $\underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}\left(\underset{s\to \infty }{\lim }\sup b\left(w,0,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\right){\pi }_{\alpha }\left(i\right)<0;$ (2.2)

3) $\underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}\left(\underset{s\to \infty }{\lim }\inf b\left(w,0,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\right){\pi }_{\alpha }\left(i\right)>0.$ (2.3)

3. 存在性与不变测度

本节主要证明随机蚊子种群模型的正解存在性与不变测度。

定理3.1 对任意 $\left(w,g,i\right)\in R_{+}^2\times \mathcal{M}$，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)存在初始值为 $\left(w_0,g_0,i_0\right)\in R_{+}^2\times \mathcal{M}$ 的唯一全局正解，且随机过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 是一个马尔科夫费勒过程。此外，如果 $g=0$，则 $P_{w,g,i}\left\{w\left(t\right)>0,t>0\right\}=1$ 和 $P_{w,g,i}\left\{g\left(t\right)=0,t>0\right\}=1$，如果 $g>0$，则 $P_{w,g,i}\left\{g\left(t\right)>0,t>0\right\}=1$。

证明：容易知道，在 $\left(w,g,i\right)\in R_{+}^2\times \mathcal{M}$ 中，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)的系数满足局部利普西兹条件，故系统(1.3)在时间 $\left[0,{\tau }_e\right]$ 内具有唯一连续解，其中

${\tau }_e=\inf \left\{t\ge 0:w\left(t\right)\vee g\left(t\right)=\infty \right\}$， $\inf \varphi =\infty$，且解是一个强马尔科夫过程 [11]。定义

${\tau }_k=\inf \left\{t\ge 0:w\left(t\right)\vee g\left(t\right)>k\right\},$

故 ${\tau }_e={\lim }_{k\to \infty }{\tau }_k$。

考虑 ${\hat{V}}_1\left(w,g,i\right)={\kappa }_{0}w+g$，利用伊藤公式，获得

$\begin{array}{c}\mathcal{L}{\tilde{V}}_1\left(w,g,i\right)=\frac{{\kappa }_{0}a\left(i\right)w^2}{1+w+g}-{\kappa }_{0}w{\mu }_1\left(w,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)g\\ +w\left[\frac{b\left(w,g,i\right)}{1+w}-{\kappa }_0\left(w+g\right){\xi }_1\left(w,g,i\right)\right]\\ \le \frac{{\kappa }_{0}a\left(i\right)w^2}{1+w+g}+\frac{b(w,g,i)w}{1+w}\end{array}$

因此， $E_{w,g,i}{\hat{V}}_1\left(w\left({\tau }_k\wedge t\right),g\left({\tau }_k\wedge t\right),\alpha \left({\tau }_k\wedge t\right)\right)\le {\hat{V}}_1\left(w,g,i\right)+\frac{{\kappa }_{0}a\left(i\right)w^2}{1+w+g}+\frac{b(w,g,i)w}{1+w}$，这意味着

$P_{w,g,i}\left\{{\tau }_k<t\right\}\le P_{w,g,i}\left\{{\hat{V}}_1\left(w\left({\tau }_k\wedge t\right),g\left({\tau }_k\wedge t\right),\alpha \left(v\right)\right)\ge k\right\}\le \frac{{\hat{V}}_1\left(w,g,i\right)+\frac{{\kappa }_{0}a\left(i\right)w^2}{1+w+g}+\frac{b(w,g,i)w}{1+w}}{k}\to 0,k\to \infty .$

故有 $P_{w,g,i}\left\{{\tau }_e\le t\right\}=0$ 或 $P_{w,g,i}\left\{{\tau }_e>t\right\}=1,\forall t>0$，从而，有 $P_{w,g,i}\left\{{\tau }_e=\infty \right\}=1$。因此，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)存在唯一的全局连续解。

下面，关注正解的情况。首先，假设 $w,g>0$，对任意 $n\in Z_{+}$，我们定义以下截断函数：

${\mu }_1^{\left(n\right)}\left(w,i\right)={\mu }_1\left(w\wedge n,i\right)$ ； ${\xi }_1^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)={\xi }_1\left(w\wedge n,g\wedge n,i\right)$ ； $b^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)=b\left(w\wedge n,g\wedge n,i\right)$。特别地，让

${\mu }_1^{\left(n\right)},{\xi }_1^{\left(n\right)},b^{\left(n\right)}$ 替代 ${\mu }_1,{\xi }_1,b$。 $\left(w^{\left(n\right)}\left(t\right),g^{\left(n\right)}\left(t\right)\right)$ 成为系统(1.3)与(1.4)的解。注意

$\begin{array}{r}\hfill {\eta }^{\left(n\right)}=\inf \left\{t\ge 0:w^{\left(n\right)}\left(t\right)\wedge g^{\left(n\right)}\left(t\right)\le 0\right\}\end{array}$

$\begin{array}{r}\hfill {\eta }_k^{\left(n\right)}=\inf \left\{t\ge 0:w^{\left(n\right)}\left(t\right)\wedge g^{\left(n\right)}\left(t\right)<\frac{1}{k}\right\}\end{array}$

并且有 ${\eta }^{\left(n\right)}=\underset{k\to \infty }{\lim }{\eta }_k^{\left(n\right)}$。考虑

$\begin{array}{r}\hfill {\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)=w-c_1^{\left(n\right)}-c_1^{\left(n\right)}\ln \frac{w}{c_1^{\left(n\right)}}+c_2\left(g-\ln g-1\right),\end{array}$

其中 $c_2=\frac{1}{{\kappa }_0}$， $c_1^{\left(n\right)}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }\underset{w>0}{\sup }\frac{g{\mu }_1^{(n)}(w,i)}{(w+g){\xi }_1^{(n)}(w,g,i)}$。令 $c_2^{\left(n\right)}:=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }\underset{w>0}{\sup }\frac{w{\mu }_1^{\left(n\right)}\left(w,i\right)}{g},w>\frac{\sqrt{5+4g}}{2},g>0,$。

由于 ${\xi }_1^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)$ 满足局部利普西兹条件， ${\xi }_1^{\left(n\right)}\left(0,g,i\right)=0$，所以 $\underset{w>0}{\sup }\frac{{\xi }_1^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)}{w}<\infty$。类似地， $\underset{w>0}{\sup }\frac{{\mu }_1^{\left(n\right)}\left(w,i\right)}{w}<\infty$。根据伊藤公式，有

$\begin{array}{l}\mathcal{L}{\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)\\ =\left(1-\frac{c_1^{\left(n\right)}}{g}\right)\left(\frac{a\left(i\right)w^2}{1+w+g}-w{\mu }_1^{\left(n\right)}\left(w,i\right)-w\left(w+g\right){\xi }_1^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)\right)+\frac{c_1^{\left(n\right)}{\sigma }_1^2\left(i\right)}{2}\\ +\left(c_2-\frac{c_2}{g}\right)\left(\frac{w{b}^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)}{1+w+g}-g\tilde{k}\left(i\right)\right)+\frac{c_2{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{a\left(i\right)w^2}{1+w+g}+c_1^{\left(n\right)}{c}_2^{\left(n\right)}+c_2\tilde{k}(i)(g+i)+\frac{c_1^{\left(n\right)}{\hat{\sigma }}_1^2+c_2{\hat{\sigma }}_2^2}{2}+c_2\hat{k}\\ +w\left[\frac{c_1^{\left(n\right)}\left(w+g\right){\xi }_1^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)}{g}-{\mu }_1^{(n)}(w,i)\right]\\ +w\left[\frac{c_2{b}^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)}{1+w}-\frac{c_2{b}^{(n)}(w,g,i)}{g(1+w)}\right]\\ \le a\left(i\right)+c_1^{\left(n\right)}{c}_2^{\left(n\right)}+\frac{c_1^{\left(n\right)}{\hat{\sigma }}_1^2+c_2{\hat{\sigma }}_2^2}{2}:=K^{\left(n\right)};w,g>0.\end{array}$

其中算子 ${\mathcal{L}}^{\left(n\right)}$ 定义作 $\mathcal{L}$， ${\xi }_1,{\mu }_1,b$ 替换为 ${\xi }_1^{\left(n\right)},{\mu }_1^{\left(n\right)},b^{\left(n\right)}$。再次运用伊藤公式，获得

$\begin{array}{l}{E}_{w,g,i}{\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right),g^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right),{\alpha }^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right)\right)\\ ={\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)+E_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{{\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t}\mathcal{L}{\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w^{\left(n\right)}\left(u\right),g^{\left(n\right)}\left(u\right),{\alpha }^{\left(n\right)}\left(u\right)\right)\text{d}u}\\ \le {\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)+K^{\left(n\right)}t.\end{array}$

因此，由 ${\hat{V}}_2^{\left(n\right)}$ 的定义，如果 ${\eta }_k^{\left(n\right)}<t$，则

${\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right),g^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right),{\alpha }^{\left(n\right)}\left({\eta }_k^{\left(n\right)}\wedge t\right)\right)\ge \left(c_1^{\left(n\right)}\ln k{c}_1^{\left(n\right)}-c_1^{\left(n\right)}\right)\wedge \left(c_2\ln k-c_2\right).$

从而，获得

$P_{w,g,i}\left\{{\eta }_k^{\left(n\right)}<t\right\}\le \frac{{\hat{V}}_2^{\left(n\right)}\left(w,g,i\right)+K^{\left(n\right)}t}{\left(c_1^{\left(n\right)}\ln k{c}_1^{\left(n\right)}-c_1^{\left(n\right)}\right)\wedge \left(c_2\ln k-c_2\right)}\to 0;\text{as}k\to \infty$

且对任意 $n\in Z_{+}$， $P_{w,g,i}\left\{{\eta }_{\infty }^{\left(n\right)}=\infty \right\}=1$，即

$\begin{array}{r}\hfill P_{w,g,i}\left\{w^{\left(n\right)}\left(t\right),g^{\left(n\right)}\left(t\right)>0:\forall t>0\right\}=1.\end{array}$

对任意的 $t>0$ 和 $w\in \left\{{\tau }_e=\infty \right\}\cap \left\{w^{\left(n\right)}\left(t\right),g^{\left(n\right)}\left(t\right)>0:\forall t>0,n\in Z_{+}\right\}$，存在 $n_0=n_0\left(\omega ,t\right)$，使得

$w\left(y\right)\left(\omega \right)\vee g\left(y\right)\left(\omega \right)<n_0;\forall 0\le y\le t.$

成立，从而，有

$\begin{array}{l}w\left(t\right)\left(\omega \right)=w^{\left(n_0\right)}\left(t\right)\left(\omega \right)>0,\\ g\left(t\right)\left(\omega \right)=g^{\left(n_0\right)}\left(t\right)\left(\omega \right)>0.\end{array}$

结合 $P_{w,g,i}\left\{{\tau }_e=\infty \right\}=1$，故有

$P_{w,g,i}\left\{w\left(t\right)>0:t>0\right\}=P_{w,g,i}\left\{g\left(t\right)>0:t>0\right\}=1;\forall w,g>0.$ (3.1)

如果 $w>0,g=0$，则选择 $c_2=0$，证明 $P_{w,g,i}\left\{w\left(t\right)>0:t>0\right\}=1$。显然 $P_{w,g,i}\left\{g\left(t\right)=0:t>0\right\}=1$。

考虑初始值 $w_0=0$ 和 $g_0\ge 0$ 的情况，令 $\epsilon >0$ 满足充分小，即

$\frac{a\left(i\right){\tilde{w}}^2}{1+\tilde{w}+g}-\tilde{w}{\mu }_1\left(\tilde{w},i\right)-\tilde{w}\left(\tilde{w}+g\right){\xi }_1\left(\tilde{w},g,i\right)\ge 0.$ (3.2)

对任意 $\left(\tilde{w},\tilde{g},\tilde{i}\right)\in R^2\times \mathcal{M}$，满足 $\tilde{w}+\left|\tilde{g}-g\right|<\epsilon$。令

${\tilde{\tau }}_1=\inf \left\{t>0:w\left(t\right)+\left|g\left(t\right)-g\right|\ge \epsilon \right\}.$

由于随机过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right)\right)$ 具有连续性，故 $P_{0,g,i}\left\{{\tilde{\tau }}_1>0\right\}=1$。根据常数变易法公式 [12]，将 $w\left(t\right)$ 定义成如下形式：

$w\left(t\right)=\Phi \left(t\right)\left[{\displaystyle {\int }_0^t{\Phi }^{-1}\left(u\right)}\left(\frac{a\left(\alpha \left(u\right)\right)w{\left(u\right)}^2}{1+w\left(u\right)+g}-w\left(u\right){\mu }_1\left(w\left(u\right),\alpha \left(u\right)\right)-w\left(u\right)\left(w\left(u\right)+g\right){\xi }_1\left(w\left(u\right),g\left(u\right),\alpha \left(u\right)\right)\right)\text{d}u\right]$ (3.3)

其中 $\Phi \left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^t}\frac{{\sigma }_1^2\left(\alpha \left(u\right)\right)}{2}\text{d}u+{\displaystyle {\int }_0^t}{\sigma }_1\left(\alpha \left(u\right)\right)\text{d}{B}_2\left(u\right)\right)$， $t\in \left[0,{\tilde{\tau }}_1\right)$。

根据(3.2)，当 $t\in \left(0,{\tilde{\tau }}_1\right]$ 时，有

$\frac{a\left(\alpha \left(u\right)\right)w{\left(u\right)}^2}{1+w\left(u\right)+g}-w\left(u\right){\mu }_1\left(w\left(u\right),\alpha \left(u\right)\right)-w\left(u\right)\left(w\left(u\right)+g\right){\xi }_1\left(w\left(u\right),g\left(u\right),\alpha \left(u\right)\right)>0.$

由上式与(3.3)相结合，获得

$P_{0,g,i}\left\{w\left(t\right)>0,t\in \left(0,{\tilde{\tau }}_1\right]\right\}=1.$

由于过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 具有强马尔科夫性，结合(3.1)得

$P_{0,g,i}\left\{w\left(t\right)>0,t\in \left(0,\infty \right]\right\}=1.$

定理得证。

定理3.2 如果满足假设2.1和2.2条件，则下列结论成立

如果 $\lambda <0$，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln g\left(t\right)}{t}=\lambda$ 几乎处处成立。且 $\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 分布弱收敛于唯一不变概率测度 $\pi$。

如果 $\lambda =0$，则

$\begin{array}{r}\hfill \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}w\left(t\right)\text{d}t}=a,\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}g\left(t\right)\text{d}t}=0.\end{array}$ (3.4)

此外，如果对于 $i\in \mathcal{M}$， $\frac{\partial {\mu }_1\left(w,i\right)}{\partial w}$ 和 $\frac{\partial b\left(w,0,i\right)}{\partial w}$ 存在且正连续，则 $\frac{\partial {\mu }_1\left(w,i\right)}{\partial w}$ 的下界是一个正常数。

如果 $\lambda >0$，则在空间 $R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}$ 中存在一个不变概率测度 ${\mu }^{*}$ 与 $\underset{t\to \infty }{\lim }{\Vert P\left(t,w,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0$。此外，对于 $q\in \left(0,1\right]$，有 $\underset{w\to \infty }{\lim }\frac{{\mu }_1\left(w,i\right)}{w^q}>0,i\in \mathcal{M}$。并且有：

i) 对于 $q<1$ 的情况，对任意 $1\le \beta <\frac{1}{1-q}$

$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^{\beta -1}{\Vert P\left(t,w,g,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0,\left(w,g,i\right)\in R_{+}\times R_{+}^o\times \mathcal{M};$ (3.5)

ii) 对于 $q=1$ 的情况，此时存在一个 $\tilde{r}>0$，有

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{\tilde{r}t}{\Vert \hat{P}\left(t,w,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0,\left(w,g,i\right)\in R_{+}\times R_{+}^o\times \mathcal{M}.$

其中 $P\left(t,w,g,i,\cdot \right)$ 是 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 的转移概率。

证明：令 $g\left(t\right)=0$ 来检查边界，让 $\hat{w}\left(t\right)$ 成为(1.3)在 $g\left(t\right)=0$ 时的解，即

$\text{d}\hat{w}\left(t\right)=\left[\frac{a\left(t\right)\hat{w}\left(t\right)}{1+\hat{w}\left(t\right)}-{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-{\xi }_1\left(w\left(t\right),0,\alpha \left(t\right)\right)\right]\hat{w}\left(t\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(\alpha \left(t\right)\right)\hat{w}\left(t\right)\text{d}{B}_1(\; t\; )$

根据比较定理，当 $w\left(t\right)>0$ 时， $\frac{a\left(t\right)w\left(t\right)}{1+w\left(t\right)}\le a\left(t\right)$，有

$\text{d}\hat{w}\left(t\right)\le \left[a\left(t\right)-{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right]\hat{w}\left(t\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(\alpha \left(t\right)\right)\hat{w}\left(t\right)\text{d}{B}_1\left(t\right).$ (3.6)

对于充分小的 $\hat{w}\left(t\right)>0$，

$\left[\hat{\mathcal{L}}\left(w+\ln \frac{w}{1+w}\right)\right]\left(w,i\right)\le -1\text{if}w<\hat{w}\text{or}w>\frac{1}{\hat{w}}$

$\hat{\mathcal{L}}$ 是方程(3.6)的相关算子。由于它的非退化性，方程(3.6)的扩散系数是正常返的，且系统(3.6)存在唯一不变测度 $\pi$。此外，

${\lim }_{t\to \infty }{\Vert \hat{P}\left(t,w,i,\cdot \right)-\pi (\cdot )\Vert }_{TV}=0,\left(w,i\right)\in \left(0,\infty \right)\times \mathcal{M}.$ (3.7)

其中 ${\Vert \cdot \Vert }_{TV}$ 是测度的总变差范数， $\hat{P}\left(t,w,i,\cdot \right)$ 是 $\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 的转移概率。由于 $P_{0,i}\left\{\hat{w}\left(t\right)>0,t>0\right\}=1$，当 $w=0$ 时，式(3.7)仍然成立。

当 $g\left(t\right)$ 很小时， $w\left(t\right)$ 可以用 $\hat{w}\left(t\right)$ 近似表示。由伊藤公式和随机过程 $\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 的遍历性，当 $g\left(t\right)$ 很小时，它的长期增长率 $\frac{\ln g\left(t\right)}{t}$ 可以由临界值近似得到

$\lambda :=\underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{R_{+}^0}\left(b\left(w,0,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\pi \left(\text{d}w,i\right)\right)}$ (3.8)

所以，符号 $\lambda$ 决定了 $g\left(t\right)$ 是否收敛于0。

1) $\lambda =0$ 的情况。

运用反证法进行论证。假设 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 在 $R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}$ 上有一个不变概率测度 ${\mu }^{*}$。根据遍历性，我们进一步得到对于每个初始值 $\left(w_0,g_0,i_0\right)$，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^{T}h\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}=\underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{R_{+}^{2,o}}h\left(w^{\prime },g^{\prime },i^{\prime }\right){\mu }^{*}\left(\text{d}{w}^{\prime },\text{d}{g}^{\prime },i^{\prime }\right)}$ (3.9)

对任意的可测函数h来说是 ${\mu }^{*}$ 可积的。由于转移概率密度是连续且为正的，不变测度 ${\mu }^{*}$ 是唯一的，等价于 $\tilde{m}\times {\pi }_{\alpha }$，其中 $\tilde{m}$ 是在 $R_{+}^{2,o}$ 上的勒贝格测度。因此，如果 ${\mu }^{*}\left(A\right)=1$，那么当 $t>0$ 时，对每个 $\left(w,g,i\right)\in R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}$ 有 $P_{w,g,i}\left(\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\in A\right)=1$，这意味着对于任意初始值 $\left(w_0,g_0,i_0\right)\in R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}$，式(3.9)成立。根据比较定理，当 $\hat{w}\left(0\right)=w\left(0\right)$ 时， $P\left\{\hat{w}\left(t\right)\ge w\left(t\right)\right\}=1$。因此，由式(1.3)，(3.6)和 $w\left(t\right)$， $\hat{w}\left(t\right)$ 是非负的，以及在 ${\mu }_1\left(\cdot ,\cdot \right)$ 上w是非减的，有

$\begin{array}{r}\hfill \underset{T\to \infty }{\lim }\sup E_{w,g,i}\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T}{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t\le \underset{T\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{T}{E}_{g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}\le a.\end{array}$ (3.10)

此外，由于 $i\in M$， $\frac{\partial {\mu }_1\left(w,i\right)}{\partial w}$ 的下界是一个正常数， ${\mu }_1\left(0,i\right)=0$，因此存在一个 ${\bar{g}}_1>0$，有

$\begin{array}{r}\hfill {\mu }_1\left(w,i\right)\ge {\bar{g}}_1,\forall i\in \mathcal{M}.\end{array}$ (3.11)

令 $0<\bar{p}<\frac{{\bar{g}}_1}{2{\hat{\sigma }}_1^2}$ 和 $0<{\bar{g}}_2<\frac{\left(1+\bar{p}\right)g_1}{4}$ 通过伊藤公式，得到

$\begin{array}{l}{E}_{w,i}{\text{e}}^{{\bar{g}}_{2}T}{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(T\right)\\ =w^{1+\bar{p}}+E_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\bar{g}}_{2}t}\left(1+\bar{p}\right){\hat{w}}^{\bar{p}+1}\left(t\right)\left[\left(a-{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)+\frac{\bar{p}{\sigma }_1^2\left(\alpha \left(t\right)\right)}{2}+\frac{{\bar{g}}_2}{1+\bar{p}}\right]\text{d}t}\\ \le w^{1+\bar{p}}+E_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\bar{g}}_{2}t}\left(1+\bar{p}\right){\hat{w}}^{\bar{p}+1}\left(t\right)\left(a-\frac{{\bar{g}}_1}{2}\right)\text{d}t}\\ \le w^{1+\bar{p}}+\frac{{\bar{g}}_3{\text{e}}^{{\bar{g}}_{2}T}}{{\bar{g}}_2},\end{array}$

其中 ${\bar{g}}_3:={(1+\bar{p})}^2{a}^{\bar{p}+1}(a-{\hat{\sigma }}_1^2){\bar{g}}_1$。

从而，得到

$\begin{array}{r}\hfill \underset{T\to \infty }{\lim }\sup E_{w,g,i}{w}^{1+\bar{p}}\left(T\right)\le \underset{T\to \infty }{\lim }\sup E_{w,i}{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(T\right)\le \frac{{\bar{g}}_3}{g_2}.\end{array}$ (3.12)

此外，还有

$E_{w,g,i}{\left(w\left(T\right)+g\left(T\right)\right)}^{1+\bar{p}}$ 是在T中一致有界的. (3.13)

根据伊藤公式，得到

$\begin{array}{c}\frac{E_{w,i}{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(T\right)}{T}=\frac{w^{1+\bar{p}}}{T}+\frac{a\left(1+\bar{p}\right)}{T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(t\right)\text{d}t}\\ -\frac{1+\bar{p}}{T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(t\right){\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}\\ +\frac{\bar{p}\left(1+\bar{p}\right)}{2T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\sigma }_1^2}\left(\alpha \left(t\right)\right){\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(t\right)\text{d}t.\end{array}$

结合式(3.12)，可以知道，对于 ${\bar{g}}_4<\infty$，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\hat{w}}^{1+\bar{p}}\left(t\right){\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}\le {\bar{g}}_4.$ (3.14)

根据式(3.6)和(3.12)，获得

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(a-{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)\hat{w}\left(t\right)\text{d}t}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{E_{w,i}\hat{w}\left(T\right)-w_0}{T}=0.$

因此，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,i}{\displaystyle {\int }_0^T{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}=a.$ (3.15)

根据(1.3)，可知道

$E_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}w\left(t\right)\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right){\xi }_1\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}\le aT+w_0,T\ge 0.$

此外，根据式(3.13)的一致有界性， ${\xi }_1$ 的线性增长有界性，式(3.10)的几乎肯定收敛以及控制收敛定理，得到

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(\frac{a\left(\alpha \left(t\right)\right)w^2\left(t\right)}{1+w\left(t\right)+g\left(t\right)}-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)w\left(t\right)\right)\text{d}t}\\ \le \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(a-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)}w\left(t\right)dt\\ =\underset{i^{\prime }\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{R_{+}^{2,o}}{w}^{\prime }\left(a-{\mu }_1(w^{\prime },i^{\prime })\right){\mu }^{*}\left(\text{d}{w}^{\prime },\text{d}{g}^{\prime },i^{\prime }\right)}\\ =:\hat{g}\end{array}$ (3.16)

根据(1.3)和(3.13)，容易知道，极限

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}w\left(t\right)\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right){\xi }_1\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}$

存在，且

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(\frac{a\left(\alpha \left(t\right)\right)w^2\left(t\right)}{1+w\left(t\right)+g\left(t\right)}-w\left(t\right){\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-w\left(t\right)\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right){\xi }_1\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)}\text{d}t\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{E_{w,g,i}w\left(T\right)-w_0}{T}=0.\end{array}$ (3.17)

根据法图引理，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}w\left(t\right)\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right){\xi }_1\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}=\hat{g}\ge \underset{i^{\prime }\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{R_{+}^{2,o}}{w}^{\prime }{\xi }_1\left(w^{\prime },g^{\prime },i^{\prime }\right){\mu }^{*}\left(\text{d}{w}^{\prime },\text{d}{g}^{\prime },i^{\prime }\right)}>0.$

根据(3.15)和(3.16)，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left[{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right]\text{d}t}=\hat{g},w,g\ge 0,i\in \mathcal{M}.$ (3.18)

令 $H>1$ 为一个充分大的常数并且满足 $\frac{{\bar{g}}_4}{H^p}\le \frac{\hat{g}}{2}$，得到

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{1}_{\left\{\hat{w}(t)>H\right\}}\left({\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)\text{d}t}\\ \le \underset{T\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\hat{w}}^p\left(t\right)}{H^{\bar{p}}}{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\text{d}t}\le \frac{{\bar{g}}_4}{H^{\bar{p}}}\le \frac{\hat{g}}{2}.\end{array}$ (3.19)

根据(3.18)和(3.19)，得出

$\begin{array}{r}\hfill \underset{T\to \infty }{\lim }\inf \frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{1}_{\left\{\hat{w}\left(t\right)\le H\right\}}\left[{\mu }_1\left(\hat{w}\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-{\mu }_1\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right]\text{d}t}\ge \frac{\hat{g}}{2}.\end{array}$ (3.20)

因为 $\frac{\partial {\mu }_1\left(w,0,i\right)}{\partial w}$ 是连续和非负的，所以存在一个 ${\bar{g}}_5^H<\infty$，有

${\mu }_1\left(w_1,i\right)-{\mu }_1\left(w_2,i\right)\le {\bar{g}}_5^H\left(w_1-w_2\right),\forall 0\le w_2\le w_1\le H,i\in \mathcal{M}.$

因此，式(3.20)可以表示为

$\underset{T\to \infty }{\lim }\inf \frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{1}_{\left\{\hat{w}\left(t\right)\le H\right\}}\left(\hat{w}\left(t\right)-w\left(t\right)\right)\text{d}t}\ge \frac{\theta \hat{g}}{2{\bar{g}}_5^H}.$ (3.21)

类似地，存在一个 $\begin{array}{r}\hfill {\bar{g}}_6^H>0\end{array}$，对任意的 $0\le w_2\le w_1\le H$ 有

$b\left(w_{1}0,i\right)-b\left(w_2,0,i\right)\ge {\bar{g}}_6^H\left(w_1-w_2\right),i\in \mathcal{M}.$

因此，结合 $b\left(w,g,i\right)$ 在g上是非增的，我们知道，存在 $g\ge 0$， $0\le w_2\le w_1\le H$，有

$b\left(w_{1}0,i\right)-b\left(w_2,g,i\right)\ge {\bar{g}}_6^H\left(w_1-w_2\right),i\in \mathcal{M}.$ (3.22)

由式(30.21)和(3.22)，得到

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(b\left(\hat{w}\left(t\right),0,\alpha \left(t\right)\right)-b\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)\text{d}t}\\ \ge \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{1}_{\left\{\hat{w}\left(t\right)\le H\right\}}\left(b\left(\hat{w}\left(t\right),0,\alpha \left(t\right)\right)-b\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\right)\text{d}t}\\ \ge {\bar{g}}_6^H\underset{T\to \infty }{\lim }\inf \frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T{1}_{\left\{\hat{w}\left(t\right)\le H\right\}}\left(\hat{w}\left(t\right)-w\left(t\right)\right)\text{d}t}\\ \ge \frac{{\bar{g}}_6^H\hat{g}}{2{\bar{g}}_{5}H}.\end{array}$

因此，获得

$\begin{array}{l}\underset{i^{\prime }\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{R_{+}^{2,o}}\left(b\left(w^{\prime },g^{\prime },i^{\prime }-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\right)\right){\mu }^{*}\left(\text{d}{g}^{\prime },\text{d}{w}^{\prime },i^{\prime }\right)}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(b\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-\tilde{k}\left(\alpha \left(t\right)\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(\alpha \left(t\right)\right)}{2}\right)\text{d}t}\\ \le \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(b\left(\hat{w}\left(t\right),0,\alpha \left(t\right)\right)-\tilde{k}\left(\alpha \left(t\right)\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(\alpha \left(t\right)\right)}{2}\right)\text{d}t}\\ \le \lambda -\frac{{\bar{g}}_6^H\hat{g}}{2{\bar{g}}_5^H}=-\frac{{\bar{g}}_6^H\hat{g}}{2{\bar{g}}_5^H}.\end{array}$ (3.23)

根据式(1.3)，伊藤公式，遍历性以及(3.23)，得到

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{\ln g\left(T\right)}{T}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}\left(g(0)+{\displaystyle {\int }_0^T{\sigma }_2\left(\alpha \left(t\right)\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)}\right)\\ +\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\left(b\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)-\tilde{k}\left(\alpha \left(t\right)\right)-{\mu }_2\left(\alpha \left(t\right)\right)\right)}\\ \le -\frac{{\bar{g}}_6^H\hat{g}}{2{\bar{g}}_5^H}<0.\text{a}\text{.s}\end{array}$

综合上述，得

${\mathbb{P}}_{w,g,i}\left\{\underset{T\to \infty }{\lim }g\left(T\right)=0\right\}=1.$

这个结果与随机过程在空间 $R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}$ 上具有不变概率测度的假设相矛盾。此外， $\pi \times {\delta }^{*}$ 是随机过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 在 $R_{+}\times \mathcal{M}\times R_{+}$ 中的唯一不变测度， ${\delta }^{*}$ 是度量为0的狄拉克测度。考虑经验测度

${\Pi }_t^{w,g,i}(\cdot )=\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{P}_{w,g,i}}\left\{\left(w\left(s\right),g\left(s\right),\alpha \left(s\right)\right)\in \cdot \right\}\text{d}s.$

回顾式(3.13)，对每一个 $\left(w,g,i\right)\in R_{+}^2\times \mathcal{M}$，函数族 $\left\{{\Pi }_t^{w,g,i}(\cdot ),t\ge 0\right\}$ 是紧集。由 [13]， ${\Pi }_t^{w,g,i}(\cdot )$ 在 $t\to \infty$ 时的任何弱极限都是 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 的不变概率测度。由于 $\pi \times {\delta }^{*}$ 是唯一不变概率测度，且 $E_{w,g,i}{\left(w\left(t\right)+g\left(t\right)\right)}^{1+\bar{p}}$ 在T中有界，故 $\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}w\left(t\right)\text{d}t}=a$， $\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{E}_{w,g,i}{\displaystyle {\int }_0^{T}g\left(t\right)\text{d}t}=0$。

2） $\lambda <0$ 的情况。

令 ${\hat{g}}_v\left(t\right)$ 成为以下方程的解

$\text{d}\hat{g}\left(t\right)=\frac{b\left(i\right)\hat{w}\left(t\right)}{1+\hat{w}\left(t\right)}-\tilde{k}\left(i\right)\hat{g}\left(t\right)\text{d}t+{\sigma }_2\left(i\right)\hat{g}\left(t\right)\text{d}B\left(t\right),\hat{g}\left(0\right)=v,$

其中 $\hat{w}\left(t\right)$ 是(3.6)的解。根据比较定理，给定 $\hat{w}\left(0\right)=w\left(0\right)=u,g\left(0\right)=\hat{g}\left(0\right)=v$，则

$g_{u,v}\left(t\right)\le {\hat{g}}_v(\; t\; )$

几乎处处成立。再次利用比较定理，获得

$\frac{b\hat{w}\left(t\right)}{1+\hat{w}\left(t\right)}\le b\le b\hat{w}\left(t\right),\hat{w}\left(t\right)>0.$

根据伊藤公式， ${\hat{w}}_u\left(t\right)$ 的遍历性，

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{t}\ln {\hat{g}}_v\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left(\frac{b\hat{w}\left(\tau \right)}{1+\hat{w}\left(\tau \right)}-\left(\tilde{k}+\frac{{\sigma }_2^2}{2}\right)\right)\text{d}\tau }+\frac{{\sigma }_{2}B\left(t\right)}{t}\\ \le \underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left(b\hat{w}\left(t\right)-\left(\tilde{k}+\frac{{\sigma }_2^2}{2}\right)\right)\text{d}\tau }+\frac{{\sigma }_{2}B\left(t\right)}{t}\\ =b-\left(\tilde{k}+\frac{{\sigma }_2^2}{2}\right)=\lambda <0,\text{a}\text{.s}\text{.}\end{array}$

再由假设2.2的条件(2)，类似 $\lambda >0$ 情况的证明，得到

$E_{g,w,i}{V}_5^{\frac{{\rho }_4}{{\rho }_3}}\left(w\left(n^{*}{T}_2\right),g\left(n^{*}{T}_2\right),\alpha \left(n^{*}{T}_2\right)\right)\le {\hat{q}}^{*}{V}_5^{\frac{{\rho }_4}{{\rho }_3}}\left(w,g,i\right)+{\hat{K}}_{*};i\in \mathcal{M},w\ge 0,g\le {\epsilon }_3,$

其中 ${\beta }_3,{\beta }_4,n^{*},T_2,{\hat{q}}^{*}\in \left(0,1\right),{\hat{K}}^{*},{\epsilon }_3$ 是常数， $V_5\left(w,g,i\right)=\left(1-{\rho }_3{\gamma }_i\right)g^{{\rho }_3}$。根据( [14]，定理5.1和5.2]的证明，获得 $\left(w\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 分布弱收敛于唯一不变概率测度 $\pi$ 的结果。

3) $\lambda >0$ 的情况。

这是转移概率的总变差收敛到一个不变测度的证明。由 [15] $W\left(w,g,i\right)=w+g,V\left(w,g,i\right)=\ln \frac{g}{1+g}$，得到 $g\left(t\right)$ 的持久性和 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 在 $R_{+}^{2,o}$ 上的不变概率测度的存在性。由于扩散项的非退化性，对任意的 $t_0>0$，随机过程 $\left\{\left(w\left(n{t}_0\right),g\left(n{t}_0\right),\alpha \left(n{t}_0\right),n\in Z_{+}\right)\right\}$ 具有不可约性和强费勒性质，则随机过程 $\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$ 在 $R_{+}^{2,o}$ 上的转移概率到其不变概率测度的总变差具有收敛性 [11]。

现在，加以考虑收敛速度。假设2.2的条件(3)成立，回顾(3.6)，存在一个 $\hat{H}>0$，有

$\begin{array}{r}\hfill \underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}\left(\underset{g\ge \hat{H}}{\inf }b\left(w,0,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}\right){\pi }_{\alpha }\left(i\right)>0.\end{array}$ (3.24)

因此，由于 $b\left(w,g,i\right)$ 在 $g=0$ 的一致连续性，存在一个 ${\epsilon }_1>0$，有

$4\tilde{\lambda }:=\underset{i\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{\hat{h}}_i{\pi }_{\alpha }\left(i\right)>0,$ (3.25)

其中

${\hat{h}}_i:=\underset{\left(w,g\right)\in \left[\hat{H},\infty \right)\times \left[0,{\epsilon }_1\right]}{\inf }\left\{b\left(w,g,i\right)\right\}-\tilde{k}\left(i\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(i\right)}{2}.$

由于 ${\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}\left(4\tilde{\lambda }-{\hat{h}}_i\right){\pi }_{\alpha }\left(i\right)}=0$，根据佛雷德霍姆替代，存在 ${\phi }_i>0,i\in \mathcal{M}$，有

$\underset{j\in \mathcal{M}}{{\displaystyle \sum }}{q}_{ij}{\phi }_j=4\tilde{\lambda }-{\hat{h}}_i,\forall i\in \mathcal{M}.$

令 ${\rho }_1$ 满足充分小，有

${\rho }_1{\phi }_i\left(-4\tilde{\lambda }+{\hat{h}}_i\right)<\tilde{\lambda }\left(1-{\rho }_1{\phi }_i\right),{\rho }_1{\sigma }_2^2\left(i\right)<4\tilde{\lambda },{\rho }_1{\phi }_1<1,\forall i\in \mathcal{M}.$

定义 $V_3=\left(w,g,i\right)=\left(1-{\rho }_1{\phi }_i\right)g^{-{\rho }_1}$，获得

$\begin{array}{c}\mathcal{L}{V}_3\left(w,g,i\right)={\rho }_1{V}_3\left(w,g,i\right)\left(-b\left(w,g,i\right)+\tilde{k}\left(i\right)+\frac{1+{\rho }_1}{2}{\sigma }_2^2\left(i\right)\right)\\ +{\rho }_1\left(-4\tilde{\lambda }+{\hat{h}}_i\right)V_3\left(w,g,i\right)+{\rho }_1^2{\phi }_i\left(-4\tilde{\lambda }+{\hat{h}}_i\right)w^{-{\rho }_1}\\ \le -2{\rho }_1\lambda V_3\left(w,g,i\right)+{\rho }_1^2{\phi }_i\left(-4\tilde{\lambda }+{\hat{h}}_i\right)w^{-{\rho }_1}\\ \le -{\rho }_1\tilde{\lambda }{V}_3\left(w,g,i\right),\end{array}$ (3.26)

其中 $i\in \mathcal{M}$， $w\ge \hat{H}$， $g\le {\epsilon }_1$。由于

$\left[{\mathcal{L}}_{\frac{1}{g}}\right]\left(w,g,i\right)\le \frac{\tilde{k}\left(i\right)+{\sigma }_2^2\left(i\right)}{g}\le \frac{\hat{k}+{\hat{\sigma }}_2^2}{g},$

则，有

$E_{w,g,i}{g}^{-1}\left(t\right)\le {\text{e}}^{\left(\hat{k}+{\hat{\sigma }}_2^2\right)t}{g}^{-1},t\ge 0,\left(w,g,i\right)\in R_{+}^{2,o}\times \mathcal{M}.$ (3.27)

另一方面，由可知式(3.8)，存在一个 $T_1>1$，满足

$\begin{array}{r}\hfill -\ln \left(1-{\rho }_1{\phi }_1\right)<\frac{{\rho }_1\lambda T_1}{4},\forall i\in \mathcal{M}.\end{array}$ (3.28)

因此，

$\begin{array}{r}\hfill \frac{1}{T}{E}_{w,0,i}{\displaystyle {\int }_0^T\left(b\left(w\left(t\right),0,\alpha \left(t\right)\right)-\tilde{k}\left(\alpha \left(t\right)\right)-\frac{{\sigma }_2^2\left(\alpha \left(t\right)\right)}{2}\right)\text{d}t}>\frac{3\lambda }{4},i\in \mathcal{M},T\ge T_1,w\le \hat{H}.\end{array}$ (3.29)

令 $n_{*}\in Z_{+}$ 和 $n_{*}>\frac{\hat{k}+{\hat{\sigma }}_2^2}{\tilde{\lambda }}+1$，根据( [13]，命题4.1)，存在一些 ${\rho }_2\in \left(0,{\rho }_1\right)$ 和 ${\epsilon }_2\in \left(0,{\epsilon }_1\right)$，满足

$E_{w,g,i}{g}^{-{\rho }_2}\left(t\right)\le {\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{2}}{g}^{-{\rho }_2}\text{for}i\in \mathcal{M},t\in \left[T_1,n_{*}{T}_1\right],w\le \hat{H},g<{\epsilon }_2.$ (3.30)

利用定义的 ${\rho }_2$，由式(3.28)和(3.30)，得

$\begin{array}{c}{E}_{w,g,i}{V}_3^{\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}}\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)\le E_{w,g,i}{g}^{-{\rho }_2}\left(t\right)\le {\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{2}}{g}^{-{\rho }_2}\\ ={\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{2}}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right){\left(1-{\rho }_1{\phi }_i\right)}^{-\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\\ \le {\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{2}}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right){\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{4}}\\ \le {\text{e}}^{-\frac{{\rho }_2\lambda t}{2}}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right).\end{array}$ (3.31)

其中 $\forall i\in \mathcal{M}$， $t\in \left[T_1,n_{*}{T}_1\right]$， $w\le \hat{H}$， $g<{\epsilon }_2$。

由于 ${\rho }_2<{\rho }_1$，应用伊藤公式，由(3.28)，得

$\mathcal{L}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right)\le -{\rho }_2\tilde{\lambda }{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right),\forall i\in \mathcal{M},w\le \hat{H},g\le {\epsilon }_2.$ (3.32)

当g足够小且 $w\ge 0$ 时，应用(3.31)和(3.32)，通过 $V_3^{{\bar{\rho }}_1}\left(w,g,i\right)$ 估计 $E_{w,g,i}{V}_3^{{\bar{\rho }}_1}\left(w\left(t\right),g\left(t\right),\alpha \left(t\right)\right)$。

同理，使用式(3.31)，(3.32)和(3.27)，根据( [13]，定理4.1)，存在 $q_{*}\in \left(0.1\right)$ 和 $k_{*}>0$，有

$E_{w,g,i}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w\left(n_{*}{T}_1\right),g\left(n_{*}{T}_1\right),\alpha \left(n_{*}{T}_1\right)\right)\le q^{*}{V}_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right)+k_{*}.$ (3.33)

此外，如果 $\underset{w\to \infty }{\lim }\inf \frac{{\mu }_1\left(w,i\right)}{w^q}>0$，对 $q\in \left(0,1\right]$， $i\in \mathcal{M}$，有 ${\tilde{c}}_1,{\tilde{c}}_2>0$，

$\left[\mathcal{L}\left({\kappa }_{0}w+g\right)\right]\left(w,g,i\right)\le \frac{a\left(i\right)w{k}_0}{1+w+g}-k_0{\mu }_1\left(w,i\right)-\tilde{k}\left(i\right)g\le {\tilde{c}}_1-{\tilde{c}}_2{\left(k_{0}w+g\right)}^q.$ (3.34)

利用式(3.33)和(3.34)以及( [14]，命题22)，获得

$E_{w,g,i}\underset{k=1}{\overset{{\tau }^{*}\left(\tilde{H}\right)}{{\displaystyle \sum }}}{\left(k+1\right)}^{\beta -1}\le c_{\beta }\left(\tilde{H}\right)\left(V_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w,g,i\right)+{\kappa }_{0}w+g+1\right),$ (3.35)

其中 $1\le \beta <\frac{1}{1-q}$， $\tilde{H}$ 是 $\left[0,\infty \right)\times \left(0,\infty \right)$ 上的紧集， $c_{\beta }\left(\tilde{H}\right)$ 是正常数，和

$r^{*}\left(\tilde{H}\right)=\inf \left\{k\in Z_{+}:\left(w\left(k{n}_{*}{T}_1\right),g\left(k{n}_{*}{T}_1\right)\right)\in \tilde{H}\right\}.$

由于 $w\left(t\right)=0$ 时， $g\left(t\right)$ 的漂移项是非负的，完备集 $\tilde{H}$ 在 $\left[0,\infty \right)\times \left(0,\infty \right)$ 上是紧集 [9]。

根据(3.35)，参考文献 [16]，有

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\left(k+1\right)}^{\beta -1}{\Vert P\left(k{n}_{*}{T}_1,w,g,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0.$

对任意的 $1\le \beta <\frac{1}{1-q}$，获得

$\underset{k\to \infty }{\lim }{t}^{\beta -1}{\Vert P\left(t,w,g,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0.$

如果 $q=1$，由式(3.33)和(3.34)，得

$E_{w,g,i}\left[V_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}\left(w\left(n_{*}{T}_1\right),g\left(n_{*}{T}_1\right),\alpha \left(n_{*}{T}_1\right)\right)+{\kappa }_{0}w\left(n_{*}{T}_1\right)+g\left(n_{*}{T}_1\right)\right]\le {\tilde{q}}^{*}\left(V_3^{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}(w,g,i)+{\kappa }_{0}w+g\right)+{\tilde{k}}_{*},$

其中 ${\tilde{q}}^{*}\in \left(0,1\right)$ 和 ${\tilde{k}}_{*}>0$。

对 $\tilde{r}>0$，有

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{\bar{\gamma }k}{\Vert P\left(k{n}_{*}{T}_1,w,g,i,\cdot \right)-{\mu }^{*}(\cdot )\Vert }_{TV}=0.$

即随机过程的转移概率 $P(k{n}_{*}T{}_1,w,g,i,\cdot )$ 收敛到不变测度 ${\mu }^{*}(\cdot )$，并获得指数收敛速度，证明完成。

基金项目

国家自然科学基金(41665006，11561009)，广西自然科学基金(2018GXNSFAA380240)。

参考文献