1. 研究问题
我们研究如下时间分数阶Fokker-Planck方程(FFPE):
(1.1)
初始条件和边值条件为
(1.2)
其中
,
是正常数,
是已经给定的函数,分数阶导数
表示
阶Caputo分数阶导数:
,
是Gamma函数。方程(1.1)
可以用来模拟受外力场作用下的反常扩散现象(参见文献 [1] ),此时
表示广义扩散系数,
表示外力场。
我们研究求解(1.1)式的有限体积方法,其中对流项的离散使用TVD格式(TVD格式是由美国学者Harte提出的,它同时具有稳定、无振荡和高阶精度的数学特点,是较为先进的离散格式,参见文献 [2] ),空间扩散项的离散使用中心差分格式,时间分数阶导数离散采用L1格式(参见文献 [3] )。
假设
为正整数,我们取空间步长
,时间步长
。将区间
等分,
分点为
。记
,N个有限体积单元为
;将
L等分,分点为
。为了便于描述,记
。
在方程(1.1)中取
,在有限体积单元
上对方程两边积分得
(1.3)
再对时间项用L1格式离散,空间扩散项用中心差分格式离散,可得
(1.4)
2. TVD格式离散对流项
对流项的TVD离散格式为
(2.1)
其中
(2.2)
本篇文章中我们采用限制器Van Leer函数(参见 [4] ):
。
对于一维Fokker-Planck方程,将(2.1) (2.2)式代入(1.1)式,经过运算以及整理可得离散格式为,对
,
(2.3)
其中
(2.4)
(2.5)
在(2.4)式中,为了简便,定义了补函数,即
。使用迭代法求解离散问题(2.3),迭代过程中
中的
使用旧近似值,
中的
使用新近似值,每一步迭代中线性问题求解使用稳定双共轭梯度法(参见 [5] )。
3. 数值实验及结论
算例1考虑以下Fokker-Planck方程
其中
,
,
。
初始值和边界值分别为
图1展示的是TVD有限体积方法和中心差分格式有限体积法求解效果图,其中
,从实
Figure 1. Comparison of solving effects of N = 15 (left) and N = 25 (right)
图1. N = 15求解效果对比(左);N = 25求解效果对比(右)
验结果可以看出在较粗网格上求解对流占优问题时,中心差分格式会产生振荡,而TVD格式始终保持稳定。