1. 引言
在调和分析和偏微分方程的研究中,Q型空间起到重要的作用。作为介于Sobolev空间和BMO空间之间的一类可微函数空间,Q型空间兼具两者的特点,一方面该空间具有平均振荡的性质,从而在调和分析研究中可以作为BMO空间的一个很好的替代。另一方面,该空间可以看作与Campanato-Sobolev型空间等价,因此在偏微分方程中具有很好的应用。在最近几十年中,Q型空间及其推广的形式得到了广泛的研究。最早Q型空间
是作为单位圆盘D上全纯BMO型空间
上的推广而提出的( [1] )。在2001年,Essen等人在文献 [2] 中将Q型空间推广到高维欧氏空间的情形,建立了
空间的实变理论,从而使Q型空间可以广泛应用到调和分析和偏微分方程的诸多课题的研究中,相关的研究进展参见文献 [3] [4] [5] [6]。
从几何的观点看,经典的Q型空间可以看作是一类与幂函数相关的加权函数空间,参见 [7]。当将幂函数替换为一个一般的权函数时,很自然地产生了相应的加权Q型空间。2002年,Essen,Xiao和Wulan在文献 [8] 中建立并研究了单位圆盘上与权函数相关的Q型空间
。
的高维实变形式由Bao和Wulan于2014年在文献 [9] 中引入,此后该类加权Q型空间得到了许多研究者的关注,参见文献 [10] [11] [12]。
本文在上述结果的基础上,引入一类新的Q型空间,定义如下:
定义1令
,设
是一个单调非减函数,则属于当且仅当
其中,I是
上的一个区间,
表示区间I的长度。
本文的主要目的是利用Carleson测度刻画。BMO空间和经典的Q型空间的主要结果之一是这两类空间均可以通过Carleson测度进行刻画,参见 [2] [3]。在本文中,作者引入如下卷积算子:
设f是
上的可测函数,并且满足:
(1)
假设
是
上的一个实值
函数且满足:
(2)
定义Littlewood-Paley积分:
首先,在第二节中,作者给出的若干基本性质,并讨论了该空间与Campanato型空间
之间的关系。作为本文的主要结果,作者在第三节中利用上述定义的Littlewood-Paley积分
和与权函数相关的Carleson测度刻画。
2.的基本性质
本节主要讨论的一些基本性质。众所周知,经典的Q型空间具有仿射不变性,即在平移,旋转和共形映射变换之下是不变的。由的定义,通过直接计算可以证明具有类似的性质。首先,我们可以得到的一个简单刻画,即在共形映射和旋转下是保持不变的;其次,我们需要如下辅助函数:
我们在本文中假设辅助函数
满足以下两个条件:
(3)
(4)
下面,我们证明是非平凡的。
定义1 令
。若
那么,称,其中I是上的一个区间,
是区间I的长度。
定理1 令
,有
,并且是非平凡的。
证明 设I是上的一个区间,对于任意
,有
,即
。因为K是一个非减的函数,所以
。对于任意,有
故。而是非平凡的,故是非平凡的。
接下来,本文讨论新的空间与经典函数空间的关系,首先我们引入Campanato型空间的定义:
定义2 令
。若
,且满足
那么,称。其中,
,I是上的一个区间,
表示区间I的长度。并且,该式中上确界取遍上所有长度为
的区间。
我们可以证明当
时,新的空间是Campanato型空间的子空间。
定理2是
的子空间,即
。
证明 设,I是上的一个区间,所以对任意
,如果
足够小,我们可以得到集合
,它的测度大于
。因为K是非减的,可得
注意到
,则对于一个足够小的
,可以得到
所以,
。从而完成了定理2的证明。
当权函数K进一步满足特定条件时,可以证明:
定理3 如果
,则有
。
证明 由定理2可知,
,所以只需证
。
注意到,。而对于上的任意区间I和,
,
所以,对任意,
因此,。综上所述,,证明完成。
3.空间的Carleson型测度刻画
设I是上任意区间,表示上半平面,定义如下Carleson方体:
为简便起见,我们用
表示点到其边界的距离,
类似;,其中
为关于坐标轴的对称点,即,如果
,那么
。
下面引入
-Carleson测度的定义以及有关
- Carleson测度的刻画。
定义3 设
是上的正Borel测度,则称
是一个
-Carleson测度,如果
类似于经典Q型空间,可以证明有类似的性质。
定理4 设
,并且K满足
,设
是上的正Borel测度,则
是一个
- Carleson测度当且仅当。
证明 必要性 若
是一个
-Carleson测度,设I是上的区间,并且以
为中心,长度为
。对任意正整数K,定义
为与I中心相同且边长为
的方体。再者,
指对应的Carleson方体。
从而,易知
进而,
由假设知,
是一个
-Carleson测度,
。
综上所述,可以推出
充分性 下面,记Carleson方体
的中心为y,那么可知,现在
。如果
,
就有
,因此可以得到,
(5)
此时,如果(5)式成立,则
是一个
-Carleson测度。从而定理4得证。
为了进一步研究的Carleson测度刻画,给出如下两个引理:
引理1 设
,若K满足(3),则
。
引理2 令
。设非负函数
和h在
上可测,对于所有可测函数
,可得到以下Hardy型不等式:
(i)
成立,当且仅当
(ii)
成立,当且仅当
其中C的取值依赖于p,A或者B。
借助于上面给出的引理1和引理2,接下来利用Liitlewood函数
的性质给出本文的主要结果:
定理5 设并且满足(1)式,其中
。假设K满足(3),(4),那么
(i) 如果,则
是一个
-Carleson测度;
(ii) 如果
,则若
是一个
-Carleson测度,有。
证明 (i) 设I和J都是上以
为中点的区间,并且有
。不失一般性,我们假设
。
设函数
满足
则有
。
对f作分解,
,其中
根据引言中Littlewood-Paley函数
的定义以及限制条件(2),易知
从而,
又由Minkowski不等式,可得
这里
,上述计算中的最后一步使用了球坐标变换。设
从而有
因此,
其中,
对于
,注意到
根据引理1,易得
因此,由Hölder不等式以及球坐标变换,可得
注意到,
可得
。
同理可得,
。
因此,
,其中,
类似于上面的过程,继续将其分解讨论,如此进行下去,最终可得
(ii) 由三角不等式,易知
,
其中,
对于
,根据Minkowski不等式易知
所以,由引理1和引理2我们可以得到
同理,
。
对于
,易知
。
因此,。这就完成了定理5的证明。
致谢
作者衷心感谢李澎涛教授的指导与建议。
基金项目
山东省自然科学基金(项目编号:ZR2020MA004);国家自然科学基金(项目编号:11471176)。
参考文献