1. 引言
在群的研究中,有限群的结构通常比较复杂,除非是一些特殊的群如循环群等。相对而言有限Abel群的结构较为简单,易于分析和研究,是最早研究也是研究的最彻底的一类群。但无限Abel群的结构就显得很复杂了,无限Abel群的分类至今也没有完成,对无限Abel群的研究不仅是群论中的一个重要且有意义的问题,并且对解决一些拓扑曲面上的问题也非常有帮助 [1]。
本文主要研究一类特殊的无限Abel群,这类Abel群的真子群的阶都是有限的。首先,这类群是存在的,例子可以详见下文。这自然的会引出两个问题,对于有这种性质的群,一共会有多少种同构类?它们有着什么共同的性质?关于这两个问题本文得到的主要结果是:
定理1. 如果一个无限Abel群仅存在一个无限子群,即这个群本身,那么这个群必然与
同构(
的定义见下文)。
定理2. 设Q为有理数集,Z为整数集,则商群
(
表示全体素数的集合)。
2. 预备知识
本文使用的符号和术语都是标准的。
定义1.1. 令p为一个素数,Q为有理数集,Z为整数集,定义商群Q/Z中的群运算为普通加法,Q/Z
的无限子群
为:
。
且
有以下性质成立 [2]:
1)
。
2) 任取
的真子群H,存在某个整数k使得
,自然的,所有
的真子群都是有限群。
3) 任取
的真子群H,有
成立。
定义1.2. Abel群族
的直积记为:
,其中
的元素定义为{
,并且对除了有限个元之外的所有
都为单位元}。对
定义群加法运算:
。
本文的讨论中需要用到以下两个已知的结果。
命题1.1. 有限Abel群分解定理 [3]:有限Abel群可以分解阶为素数的方幂的循环子群的内直积,且这样的分解方法是唯一的。
命题1.2. Zorn引理 [4]:在一个非空偏序集中,如果任意链都有上界,那么这个偏序集必然存在极大元。
3. 证明
本文利用关于群的基础知识,可以得到以下两个定理。
定理1.如果一个无限Abel群仅存在一个无限子群(即这个群本身),那么这个群必然与
同构。
证明:令G为满足定理1假设的一个无限Abel群,任取G中的真子群
,考虑到
是有限群,所以必然存在G的中的元素a满足
,记
,接下来用完全同样的办法添加G中元素得到
,如此便构成了一个有限群包含链,即:
,可见这一个升链不会终止于有限项,即G并不满足A.C.C条件。利用Zorn引理的逆否命题,我们知道,定义集合包含关系为偏序,真子群的集合中不存在极大元,也就是说构造出的这条有限群包含链是无限长的。
1) 先证
:
,
,不妨认为
,则
,所以
,所以
是G的子群,而
不是有限群,所以由定义
。
2) 对所有的n,
都是循环P-群:对包含链
,把这些群都分解为循环P-群的内直积,如果某一项
,可以被分解为两个或以上循环P-群的内直积,不妨记为:
,对任意包含
的群
,必然有
,
,
,利用有限Abel群分解定理,
的分解式中也必然直接或间接的包含
和
这两个循环P-群,记为:
,其中
,
,通过这种分析也可以得到推论,分解式的长度是单调递增的。模仿分析学中对无限的定义,考虑分解式的长度(或者说符号
的个数)是否会随着m的增加而趋于无穷,分为两种情况讨论:
情况1,若分解式无限变长,考虑集合
(x的大小和i有关),这个集合把所有分解式
中不包含
和
的循环P-群乘起来,这意味着H是一个群,分解式无限变长就可以推测x随着i增加趋于无穷,所以H是无限群,而由
(i和j任取)知道
。又因为
,所以H是G的一个无穷真子群,这与假设矛盾。
情况2,若分解式长度有限,结合前面的推论:分解式的长度单调递增。所以从某一项开始分解式的长度就达到最大值固定了,不妨认为从
开始固定,且在分解式中循环P-群个数为n,在分解式
中,利用前面的分析知道有
成立,所以
随着m的增加单调递增,又考虑到
,这式子意味着必然有某项
随着m的增加趋于无穷,不妨认为
,考虑集合
,由包含关系
可以推出H是一个无限群,而又有
,所以
,进一步可以推出
,又因为
是G的子群,所以
,推出矛盾。
3)
:因为
是一列循环P-群,在同构意义下可以用模n加法群来代替表示它们,记做
,为了使这个包含关系成立,我们认为
和
是同一个元素。
定义映射
为
,如果
,那么
,所以
,所以
是单映射。任取
,有
,所以
是单同态映射。若
,则
,所以
可以看成是
的延拓。
因此可以定义
,
,若
,定义
。直接由定义知道f的定义域是
。
,
,不妨认为
,则
,所以有:
,即f是个同态映射。又考虑到
是单同态映射,即
,所以
,所以f还是单射。综合即有f是
到
的同构映射,所以
,而由前面提到的,
同构于
,所以
。
定理2. 设Q为有理数集,Z为整数集,则商群
(
代表全体素数)。
证明:在证明开始前,有必要说明一下为什么对直和
的定义中要求只有有限项不为0,因为
如果允许无穷项出现的话,上述直和中元素的个数就会有不可数多个,而商群Q/Z的个数是可数的,这样是不可能同构的。
建立
到Q/Z的映射:
。
可见有
成立,这意味着映射f可以分解为只有两个自变量的形式,即:
,其中
,只需要要证明这种形式的映射是同构就足够了。
1) f是一个映射。
当
时,
,有
。所以有
,当
时,利用同样的办法可以得到
。
2) f是满射。因为
,利用简单的数论知识知道a和b互素可以推出
和
互素,这意味着元素
会随着n的变化而取遍
到
的所有元。
3) f是单射。
的充分且必要条件是
,因此
,
,故
。
综上f是
到Q/Z的一个同构映射,证明完毕。