1. 引言
1975年Beddington [6] 和DeAngelis [7] 提出了Beddington-DeAngelis功能反应模型,很多学者对其加以研究,得到了许多很好的结果。近期,S. Yu,F. Chen [8] 提出了如下具有Beddington-DeAngelis功能反应的连续竞争系统:
(1)
并对该系统的动力学行为进行了研究。
众多研究表明,当种群世代不重叠或数量很少时,用差分方程来刻画离散时间模型比连续的更符合实际。考虑到在实际生态系统中,生态系统经常被不可预测的因素所干扰,这将可能使某些生物参数发生改变,破坏生态的平衡,这就需要人类对其进行开发和管理,从而更好的预测和控制生态系统所受的干扰。因此,把反馈控制考虑进生物数学模型中,是必要且相当有意义的。因此,我们在文 [8] 的基础上研究如下差分系统:
(2)
这里
和
分别表示两竞争种群在第n代的种群密度,
表示两种群的内禀增长率,
为种内竞争系数,
为种间竞争系数
,
,
,
,
,
,
,
,
均为非负有界的概周期序列,并且
。本文的目的旨在通过适当的分析手法,得到保证系统(2)永久持续生存、概周期解的存在唯一性和全局吸引性的充分条件。
从生物种群意义上考虑,设系统(2)满足初始条件
,
,则对任意的
都有
,
。对于任一有界序列
,定义
2. 持久性和全局吸引性
为了后续的证明,我们给出一些定义和引理。
定义2.1 [9] 假设
是系统(2)的任一解,若下列条件成立
则
称为Z上的严格正解。
引理2.1 [10] 设
满足
,且对
有
其中
,
是具有正的上下界的非负序列,则
引理2.2 [10] 设
满足
,
,
,
且
,其中
,
为非负序列且有正的上下界,则
引理2.3 [11] 假设
,
且
,
,则有
特别地,若
且B有上界M,则
。
引理2.4 [11] 假设
,
且
,
,则有
特别地,若
且B有下界
,则
。
定理 2.1 若条件(H1)
成立,则系统(2)是永久持续生存的,即对系统(2)的任一正解
,均满足:
(3)
其中
是与解无关的常数。
证明 由(H1),存在任意小的正数
,使得
从而有
(4)
设
是系统(2)的任一解,则由系统(2)的前两个方程可得
应用引理2.1,可得
(5)
故对上述的正数
,存在
,当
时,有
(6)
将上式代入模型(2)的后两个方程可得
利用引理2.3,则有
对于上面的不等式,因为
的任意性,可令
,从而得到
(7)
显然,存在
,且满足当
时,
(8)
将(6)和(8)代入模型(2)的第一个方程可得
(9)
其中
。应用引理2.2有
在上面的不等式中,令
得到
(10)
其中
。
类似可得,当
时,
(11)
其中
。
由(10) (11)知,对任意的
,存在
,当
时,有
(12)
将(12)代入系统(2)的后两个方程可得,当
时,
利用引理2.4,则有
令
得到
(13)
由(5) (7) (10) (11)及(13)可知,系统(2)是永久持续生存的。证毕。
定理2.2 设(H2)
其中
,
,
。
若(H1)和(H2)同时成立,则对系统(2)的任意两个正解
和
,必满足
即系统(2)具有全局吸引性。
证明 由(H2),存在常数
及充分小的正数
,使下列成立
其中
,
,
。
对上述
,根据定理3.1,对系统(2)的任意正解
和
,存在常数
,对
和
有
定义
则由模型(2)的第一个方程可得
由微分中值定理得
这里
位于
和
之间。从而,有
(14)
其中
。
定义
与(14)的证明类似
(15)
这里
位于
和
之间,
定义
则
(16)
构造李雅普诺夫(Lyapunov)函数
由(14) (15) (16)可知,对于任意的
把上面的不等式两边同时从
到k相加,可得
从而
即
因此,
由此可得
故
证毕。
3. 概周期解
定义3.1 [12] 设S是集合D的任一紧集,
是一个序列,记
,
则
称为f的壳。
定义3.2 [13] 对任意
,如果x的
-移位数集
在Z中是相对稠密的,即存在
,使在每个长度为
的区间内都有一个
,使得
,
,则称序列
为概周期的,
称为
的
-移位数。
引理3.1 [12]
称为概周期序列当且仅当对于Z的任意序列
,存在一个子序列
,使对
,当
时,
一致收敛。另外,其极限也是概周期序列。
假设系统(2)是概周期系统,那么它所有的参数
,
,
,
,
,
,
,
,
都是Z上的概周期序列。由引理3.1,存在时间序列
,当
,
时,有
,
,
,
,
,
,
, , ,
,一致对
成立。其中,
,
,
,
,
,
,
,
,
。因此,得到模型(2)的一个壳方程:
(17)
根据概周期函数基本理论 [12],我们知道系统(2)若满足条件(H1)和(H2),则其壳方程(17)也满足(H1)和(H2)。
引理3.2 [10] 若系统(2)是概周期的,且其每个壳方程都有唯一的严格正解,则(2)有严格正概周期解且唯一。
定理3.1 若条件(H1)和(H2)成立,则系统(2)存在唯一的概周期解且是全局吸引的。
证明 根据引理3.2,只须证明壳方程(17)有唯一的严格正解。步骤如下:先证壳方程(17)至少有一个严格正解,再证每个壳方程只有唯一的的严格正解。
由系统(2)的所有参数的概周期性质,存在整数序列
,当
时,
,且有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,对
一致成立。
根据定理2.1,对壳方程(17)的任一正解
及任意的正数
,存在正整数
,满足当
时
及
定义
,
,其中
,
,
。对任意的正整数q,
取
的子序列,为了讨论方便,子序列仍记为
和
。易证,当
时,
在Z的任意有限区间上收敛。因此,存在序列
,
,
,使得当
时
,
,
。由于
因此,可推出
由上式可知,
是壳方程(17)的解,且满足
,
,
,
。由正数
的任意性,显然
故系统(2)的每个壳方程至少有一个严格正解。
下面证明壳方程的严格正解的唯一性。设
,
都是(17)的严格正解。构造Lyapunov函数:
其中
类似于定理2.2的证明,对于
,可得
显然,
是Z上的非增序列。对上式两边进行从
到0的加法运算,
因为
有界,故
从而可得
(18)
由(18),存在正整数
,当
时,有
从而
其中
介于
和
之间。
令
则有
,
,因此
。而定理2.2表明,
。又因为
是Z上正的非增序列,因此必有
,即对一切
,
,有
,
。从而说明,(17)的严格正解是有唯一的。
综上,系统(2)每个壳方程都有唯一的严格正解。应用引理3.2,系统(2)有唯一的严格正概周期解。结合定理2.2,系统(2)存在唯一的正概周期解且是全局吸引的。证毕。
基金项目
福建省自然科学基金资助项目(2019J01089);福建省教育厅中青年教师教育科研项目(JAT190976)。