一类相变模型的弱解存在性的研究

Existence of Weak Solutions for a Class of Phase Field Models

摘要: 本文在忽略弹性效应的情况下，研究了一类Neumann边界条件下的序参数不守恒的相场模型。通过引入一个参数κ构造一个修正模型，然后借助巴拿赫不动点定理、Aubin-Lions引理和一系列先验估计，最终得到该模型弱解的整体存在性。

Abstract: We shall investigate a phase-field model with a non-conserved order parameter which is under Neumann boundary conditions and omitting the effect of elasticity. By introducing a parameter κ to construct a modified model, and then using Banach’s fixed point Theorem, Aubin-Lions lemma and a series of a-priori estimates, the existence of global weak solutions to the model is finally obtained.

1. 引言

相场模型是一门非常年轻的学科，自问世以来，就对材料的发展做出了巨大的贡献，如经典的原子扩散模型：Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型，前者起始于1979年，可用于研究反向畴粗化 [1]，不可压缩流体 [2] 等，后者起始于1958年，用于研究生物种群和图像的修复 [3] [4] 等。而2006年和2007年，Zhu和Alber提出了一类由构型力驱动的固固相变模型，这是一类更加适合于陶瓷烧结和马氏体相变的模型。关于Alber-Zhu模型的研究结果见 [5] - [11]。

为了引入本文的模型，我们先给出一些符号约定，满足(1)~(3)的未知量 $T\left(t,x\right)$ 是一个 $3\times 3$ 的对称矩阵，称为柯西张力。并且方程中出现的 $u\left(t,x\right)$ 称为位移，属于 ${ℝ}^3$ 空间。

$-di{v}_{x}T\left(t,x\right)=b\left(t,x\right)$ (1)

$T\left(t,x\right)=D\left(\epsilon \left({\nabla }_{x}u\left(t,x\right)\right)-\bar{\epsilon }S\left(t,x\right)\right)$ (2)

$S_t\left(t,x\right)=-c\left({\psi }_S\left(\epsilon \left({\nabla }_{x}u\left(t,x\right)\right),S\left(t,x\right)\right)-\nu {\Delta }_{x}S\left(t,x\right)\right)\left|{\nabla }_{x}S\left(t,x\right)\right|$ (3)

$u\left(t,x\right)=\gamma \left(t,x\right),S_x\left(t,x\right)=0,\left(t,x\right)\in \left[0,\infty \right)\times \partial \Omega ,$ (4)

$S\left(0,x\right)=S_0\left(x\right),x\in \Omega .$ (5)

可以看出这是一个纽曼初边值条件的椭圆–抛物耦合方程组，下面对方程中出现的其他参数进行说明。

${\nabla }_{x}u\left(t,x\right)$ 是u的一阶微分， ${ℝ}^3$ 空间下，这是一个 $3\times 3$ 梯度矩阵， ${\left({\nabla }_{x}u\right)}^{\text{T}}$ 是其转置矩阵。应力张量： $\epsilon \left({\nabla }_{x}u\right)=\frac{1}{2}\left({\nabla }_{x}u+{\left({\nabla }_{x}u\right)}^{\text{T}}\right)$。错配应变 $\bar{\epsilon }\in S^3$ 是一个给定的矩阵。弹性张量： $S^3{S}^3$ 是一个线性的对称正定映射。总能量为

${\psi }^{*}\left(\epsilon ,S\right)\left(t,x\right)=\psi \left(\epsilon ,S\right)+\frac{\nu }{2}{\left|{\nabla }_{x}S\left(t,x\right)\right|}^2.$

其中自由能是 $\psi \left(\epsilon ,S\right)=\frac{1}{2}\left(D\left(\epsilon -\bar{\epsilon }S\right)\right)\cdot \left(\epsilon -\bar{\epsilon }S\right)+\hat{\psi }\left(S\right)$， $\hat{\psi }\in C^2\left(ℝ,\left[0,\infty \right)\right)$ 是双势阱函数， ${\psi }_S$ 是关于S的偏导数。两个矩阵的标量积是： $A\cdot B={\displaystyle \sum a_{ij}{b}_{ij}}$。c和 $\nu$ 都是正常数，且 $\sqrt{\nu }$ 与界面厚度成正比。体积力 $b:\left[0,\infty \right)\times \Omega \to {ℝ}^3$。数据 $\gamma :\left[0,\infty \right)\times \partial {ℝ}^3$， $S_0:\Omega \to ℝ$。

对于这个含有弹性效应和固固相变效应的模型，我们将对其进行适当的简化。首先本文忽视弹性效应，令柯西张力 $T=0$，得到：

$\begin{array}{l}{\psi }_S=-\frac{1}{2}\left(D\left(\bar{\epsilon }\right)\cdot \left(\epsilon -\bar{\epsilon }S\right)+D\left(\epsilon -\bar{\epsilon }S\right)\cdot \left(\bar{\epsilon }\right)\right)+\hat{\psi }\\ =-D\left(\epsilon -\bar{\epsilon }S\right)\cdot \left(\bar{\epsilon }\right)+{\hat{\psi }}_S=-T\cdot \left(\bar{\epsilon }\right)+{\hat{\psi }}_S={\hat{\psi }}_S,\end{array}$

则总能量表示为 ${\psi }^{*}\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)=\hat{\psi }\left(S\right)+\frac{\nu }{2}{\left|S_x\left(t,x\right)\right|}^2$。为了在使用压缩映射原理的过程中，减少记号的出现，本文中将双势肼函数 $\hat{\psi }$ 记为 $\psi$，并选取

$\psi \left(S\right)=S^2{\left(1-S\right)}^2$ (6)

至此，本文所要研究的一维纽曼初边值问题的总能量可记为：

${\psi }^{*}\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)=\psi \left(S\right)+\frac{\nu }{2}{\left|S_x\left(t,x\right)\right|}^2.$ (7)

研究的初边值问题如下所示：

$S_t=-c\left({\psi }_S\left(S\right)-\nu S_{xx}\right)\left|S_x\right|,\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega$ (8)

$S_x=0,\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \partial \Omega ,$ (9)

$S\left(0,x\right)=S_0\left(x\right),x\in \Omega ,$ (10)

本文研究的Alber-Zhu模型弱解定义和主要结论如下：

定义1：假设 $S_0\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，函数

$S\in L^{\infty }\left(0,T_e;H^1\left(\Omega \right)\right)$ (11)

是问题(8)-(10)的弱解，对于任意的 $\varphi \in C_0^{\infty }\left(\left(-\infty ,T_e\right);C^{\infty }\left(\Omega \right)\right)$，有

$-{\left(S,{\varphi }_t\right)}_{Q_{T_e}}=-c{\left({\psi }_S\left|S_x\right|,\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-\frac{c\nu }{2}{\left(\left|S_x\right|S_x,{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}+{\left(S_0,\varphi \left(0\right)\right)}_{\Omega }$ (12)

成立。

定理1：假设 $S_0\in H^1\left(\Omega \right)$，存在满足问题(8)-(10)的弱解，不仅满足式(11)，而且满足

$S_{xt}\in L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;W^{-1,\frac{4}{3}}\left(\Omega \right)\right),S_t\in L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$ (13)

${\left(S_x\left|S_x\right|\right)}_x\in L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$， $S_x\in L^{\frac{8}{3}}\left(0,T_e;L^q\left(\Omega \right)\right)$ 任意 $1<q<\infty$ (14)

对于修正模型，主要结论和弱解定义如下：

定义2：假设 $S_0\in L^1\left(\Omega \right)$，函数

$S\in L^{\infty }\left(0,T_e;H^1\left(\Omega \right)\right)$ (15)

是问题(19)-(21)的弱解，对于任意的 $\varphi \in C_0^{\infty }\left(\left(-\infty ,T_e\right);C^{\infty }\left(\Omega \right)\right)$，有

$-{\left(S,{\varphi }_t\right)}_{Q_{T_e}}=-c{\left({\psi }_S{\left|S_x\right|}_{\kappa },\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-c\nu {\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y},{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}+{\left(S_0,\varphi \left(0\right)\right)}_{\Omega }$ (16)

成立。

定理2：假设 $S_0\in H^1\left(\Omega \right)$，存在满足问题(19)-(21)的弱解，不仅满足式(15)，而且满足

$S_x\in L^{\infty }\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)$ (17)

和

$S_{xx}\in L^{\infty }\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right),S_t\in L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right).$ (18)

本文共有2节，第2.1中，我们从Alber-Zhu模型的退化性入手，通过小参数 $\kappa$ 构造一个修正的模型，借助于巴拿赫不动点原理得到该非退化模型的弱解存在性并证明了定理2。第2.2节中给出了与 $\kappa$ 无关的先验估计，该部分参考了我的导师朱佩成教授在文献 [12] 中所使用的方法，但是因为模型和 $\kappa$ 的表达的不同，细节方面仍然有所区别。第2.3节中，由Aubin-Lions引理得到近似解的紧致性，因此证明原问题弱解的存在性并证明了定理1。

2. 一类固固相变模型的弱解存在性

2.1. 修正模型的局部解存在性

引入 ${\left|S_x\right|}_{\kappa }=\sqrt{{\left|S_x\right|}^2+{\kappa }^2}$，其中 $\text{1}\ge \kappa >0$，这样我们就可以得到一个修正后的方程组，如下所示

$S_t=-c\left({\psi }_S\left(S\right)-\nu S_{xx}\right){\left|S_x\right|}_{\kappa }$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega ,$ (19)

$S_x=0$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \partial \Omega ,$ (20)

$S\left(0,x\right)=S_0\left(x\right)$， $x\in \Omega .$ (21)

这是一类非退化的抛物型方程，首先借助截断因子 $\eta$ 对 ${\left|S_x\right|}_{\kappa }$ 截断，再对其磨光，由于 $\widetilde{\left|f\right|}\le {\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|f\left(t-\tau ,x-y\right)\right|{\rho }_{\eta }\left(\tau ,y\right)\text{d}\left(\tau ,y\right)}$，得到 $\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\in L^{\infty }\left(Q_{T_e}\right)$。截断磨光后的方程(19)表示如下：

$S_t-c\nu S_{xx}\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}=-c{\psi }_S\left(S\right)\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega ,$ (22)

下面我们使用巴拿赫压缩映射原理证明该修正模型的弱解存在性。

定理3：设 $T$ 是适当小的正数，对于(23)和(20)-(21)，我们有 $S\in X$，

$X=\left\{S|S\in L^{\infty }\left(0,T;H^1\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^2\left(\Omega \right)\right),S_t\in L^{\frac{4}{3}}\left(0,T;L^{\frac{4}{3}}\left(\Omega \right)\right)\right\}.$

证明1.对于(22)中的 $\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}$，给定一个函数 $S^{\ast }\in X$。为了简化计算过程，用 $F\in L^{\infty }\left(Q_{T_e}\right)$ 表示 $\stackrel{˜}{{\left|{\left({\left(S^{\ast }\right)}_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}$，则(22)可改写成如下形式

$S_t-F{S}_{xx}=-F{\psi }_S\left(S\right)$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega ,$ (23)

对于(23)中的 ${\psi }_S\left(S\right)$，给定一个函数。

$S_t-F{S}_{xx}=-F{\psi }_{\hat{S}}\left(\hat{S}\right)$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega .$ (24)

根据 [13] 中的抛物程方程解存在性。可以知道(24)在(20)-(21)的初边值条件下的解也属于X。这里我们定义一个映射 $A:X\to X$，即 $A\left[\hat{S}\right]=S$。当 $\hat{S}\in X$，我们得到了 $S\in X$，所以我们说映射A是封闭的。

2.下面我们证明，当 $T>0$ 足够小时，映射A是紧压缩的。

Step1.根据上文中关于映射A的定义，当我们从X中选择两个函数 ${\hat{S}}_1$， ${\hat{S}}_2$ 时，就可以得到S₁和S₂，这两个新的函数即满足 $S_1=A\left[{\hat{S}}_1\right]$， $S_2=A\left[{\hat{S}}_2\right]$，也满足(20)-(21)和(24)。令 $W=S_1-S_2$，得到了一个新的线性的偏微分方程组。

$W_t-F{W}_{xx}=-F\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right)$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \Omega ,$ (25)

$W_x=0$， $\left(t,x\right)\in \left(0,T_e\right)\times \partial \Omega ,$ (26)

$W\left(0,x\right)=0$， $x\in \Omega .$ (27)

Step2.用W与(25)做内积可得

$\left(W_t,W\right)+\left(-F{W}_{xx},W\right)=\left(-F\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right),W\right),$

考虑边值条件(26)，以及F和 $\kappa$ 的关系，我们有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert W\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+\kappa {\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le -C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right)W\text{d}x},$

上式关于时间t积分，再根据Hölder不等式和索伯列夫嵌入定理，得到

$\begin{array}{l}{\Vert W\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+\kappa {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\text{d}\tau }\\ \le C{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left(-\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right)\right)W\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ \le C_{\epsilon }{\Vert \left(-\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right)\right)\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2+\epsilon {\Vert W\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2\\ \le C_{\epsilon }{\Vert {\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2+\epsilon {\Vert W\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^T\text{d}\tau }\\ \le C_{\epsilon }{\Vert {\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2+\epsilon {\Vert W\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\end{array}$

对于上面不等式右边的 $\epsilon$，取足够小使得 $C-\epsilon >0$，再带入(6)定义的双势肼函数，从而有

$\begin{array}{l}{\Vert W\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+C{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\text{d}\tau }\\ \le C_{\epsilon }{\Vert {\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2\\ \le C_{\epsilon }{\Vert 4{\hat{S}}_1^3-6{\hat{S}}_1^2+2{\hat{S}}_1-4{\hat{S}}_2^3+6{\hat{S}}_2^2-2{\hat{S}}_2\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2\\ \le C_{\epsilon }{\Vert \left({\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\right)\left({\hat{S}}_1^2+{\hat{S}}_1{\hat{S}}_2+{\hat{S}}_2^2-6{\hat{S}}_1-6{\hat{S}}_2+2\right)\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}^2\\ \le C{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^T\text{d}\tau }\le CT{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\end{array}$

整理上述不等式，得到

${\Vert W\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}+{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}\le {\left(CT\right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}.$ (28)

Step3.将(25)与 $-W_{xx}$ 做内积，有

$\left(W_t,-W_{xx}\right)+\left(-F{W}_{xx},-W_{xx}\right)=\left(-F\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right),-W_{xx}\right),$

对x积分，再由于F的特点，可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+\kappa {\Vert W_{xx}\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\psi }_{{\hat{S}}_1}-{\psi }_{{\hat{S}}_2}\right)W_{xx}\text{d}x}=C{\displaystyle {\int }_{\Omega }{W}_x{\left({\psi }_{{\hat{S}}_2}-{\psi }_{{\hat{S}}_1}\right)}_x\text{d}x}\\ =C{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_2}}{\text{d}{\hat{S}}_2}\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_1}}{\text{d}{\hat{S}}_1}\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_2}}{\text{d}{\hat{S}}_2}\left(\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)+\left(\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_2}}{\text{d}{\hat{S}}_2}-\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_1}}{\text{d}{\hat{S}}_1}\right)\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\text{d}{\psi }_{{\hat{S}}_2}}{\text{d}{\hat{S}}_2}\left(\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\hat{S}}_2-{\hat{S}}_1\right)\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}{\psi }^{‴}\left(\xi \right)W_x\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}x}+C{\Vert {\hat{S}}_2-{\hat{S}}_1\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\Vert W_x\Vert }_{L^2(\; \Omega \; )}\end{array}$

将上述不等式左右二边关于时间t积分，再由Hölder不等式，得到

$\begin{array}{l}{\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+{\Vert W_{xx}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\\ \le {\displaystyle {\int }_{Q_T}\left(\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}\left(x,\tau \right)}+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\hat{S}}_2-{\hat{S}}_1\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}{\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}}\\ \le {\displaystyle {\int }_{Q_T}\left(\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\right)W_x\text{d}\left(x,\tau \right)}+{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^2\left(Q_T\right)}{\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}{\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^{\infty }\left(\Omega \right)\right)}\\ \le {\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}{\Vert W_x\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}+C_{\epsilon }{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^2(Q_T)}^2+\epsilon {\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\\ \le C_{\epsilon }{\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+C_{\epsilon }{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^2(Q_T)}^2+2\epsilon {\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\end{array}$

选e足够小使得 $1-2\epsilon >0$，再根据索伯列夫嵌入定理，我们得到

${\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+{\Vert W_{xx}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2\le CT{\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2+CT{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}^2,$

即

${\Vert W_x\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}+{\Vert W_{xx}\Vert }_{L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}\le {\left(CT\right)}^{\frac{1}{2}}\left({\Vert \frac{\partial {\hat{S}}_1}{\partial x}-\frac{\partial {\hat{S}}_2}{\partial x}\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}+{\Vert {\hat{S}}_1-{\hat{S}}_2\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)}\right)$ (29)

最后,根据(28)和(29)我们可以说映射A是紧压缩的，即当且仅当 $T>0$ 足够小使得 ${\left(CT\right)}^{\frac{1}{2}}<1$ 时。

引理1：对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，存在与 $\kappa$ 和 $\eta$ 无关的常数C，使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{*}\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)\text{d}x}\le C，$ (30)

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C$ (31)

成立。

证明：先对于(7)关于空间变量x积分，再对时间变量t求导，接着插入(22)

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)\text{d}x}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\psi \left(S\right)+\frac{\nu }{2}{S}_x^2\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\psi {\left(S\right)}_S{S}_t+\nu S_x{S}_{tx}\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)S_t\text{d}x}\\ =-c{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\text{d}x}\end{array}$

再关于t积分，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)\text{d}x}+c{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(0,x\right)\text{d}x}\end{array}$ (32)

观察上面的等式和初值 $S_0\in H^1\left(\Omega \right)$ 以及 $t=0$ 时的(7)

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(0,x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\psi \left(S\left(0,x\right)\right)+\frac{\nu }{2}{S}_x{\left(0,x\right)}^2\text{d}x}\le C，$

将上式带入(32)，证明结束。

引理2：对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，存在与 $\kappa$ 和 $\eta$ 无关的常数C，使得

$S\in L^{\infty }\left(0,T_e;L^4\left(\Omega \right)\right)，$ (33)

$S_x\in L^{\infty }\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)。$ (34)

证明：根据引理1，我们知道 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)\text{d}x}\le C$，再带入双势肼函数(6)，得到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}^2-2S^3+S^4+\frac{\nu }{2}{\left|S_x\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }^{\ast }\left(S,S_x\right)\left(t,x\right)\text{d}x}\le C，$

将上式中左边的移到等式右边，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}^2+S^4+\frac{\nu }{2}{\left|S_x\right|}^2\text{d}x}\le C+{\displaystyle {\int }_{\Omega }2S^3\text{d}x}\le C+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\epsilon S^4+C_{\epsilon }\right)\text{d}x}\le C+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }\epsilon S^4\text{d}x}，$

不等式二边同时减去 $2{\displaystyle {\int }_{\Omega }\epsilon S^4\text{d}x}$，

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}^2+\left(1-2\epsilon \right)S^4+\frac{\nu }{2}{\left|S_x\right|}^2\text{d}x}\le C，$

取e足够小使得等式左边的 $1-2\epsilon >0$,则上面不等式可以推出 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}^2\text{d}x}\le C$， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}^4\text{d}x}\le C$， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_x^2\text{d}x}\le C$，至此，引理得证。

引理3：对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，存在与 $\kappa$ 有关但和 $\eta$ 无关的常数C，使得

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{S}_{xx}^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C$ (35)

成立。

证明：应用 ${\left(a\pm b\right)}^2<2\left(a^2+b^2\right)$，并选取 $a={\psi }_S-\nu S_{xx}$， $b={\psi }_S$，可以得到

${\left({\psi }_S-\nu S_{xx}-{\psi }_S\right)}^2<2\left({\left({\psi }_S-\nu S_{xx}\right)}^2+{\psi }_S^2\right)，$

积分后得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left({\psi }_S-\nu S_{xx}-{\psi }_S\right)}^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ \le 2{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2+{\psi }_S^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ \le 2{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}+{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\psi }_S^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}\end{array}$

联结 $\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}=\sqrt{{\widetilde{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}}^2+{\kappa }^2}\ge \kappa$ 和(31)，有

$\kappa {\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le {\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left(\psi {\left(S\right)}_S-\nu S_{xx}\right)}^2\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C.$

再由引理2可以得到，存在一个与 $\kappa$ 有关的常数C使得(35)成立。

引理4：存在与 $\kappa$ 和 $\eta$ 无关的常数C，使得对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left|S_t\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C$ (36)

成立。

证明：为了证明这个引理，我们代入(22)，再选择 $2>r\ge 1$， $qr=2$，应用Hölder不等式

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left|S_t\right|}^r\text{d}\left(\tau ,x\right)}={\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left|-c\left({\psi }_S\left(S\right)-\nu S_{xx}\right)\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}\right|}^r\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left|-c\left({\psi }_S\left(S\right)-\nu S_{xx}\right)\right|}^r{\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}}^{\frac{r}{2}}{\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}}^{\frac{r}{2}}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\left|-c\left({\psi }_S\left(S\right)-\nu S_{xx}\right)\right|}^{qr}{\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}}^{\frac{rq}{2}}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\right)}^{\frac{1}{q}}{\left({\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}}^{\frac{rp}{2}}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{\stackrel{˜}{{\left|{\left(S_x\right)}_{\eta }\right|}_{\kappa }}}^{\frac{r}{2-r}}\text{d}\left(\tau ,x\right)}\right)}^{\frac{2-r}{2}}\end{array}$

根据引理2和 ${\left|p\right|}_{\kappa }\le \left|p\right|+\kappa \le \left|p\right|+1$，当 $\frac{r}{2-r}\le 2$ 时，即 $r\le \frac{4}{3}$ 时，我们立即就可以得到(36)。

定理4：假设 $S_0\in H^1\left(\Omega \right)$，对于修正问题(19)-(21)存在一个弱解S，其中 $S\in L^2\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)\in L^2\left(0,T_e;C^{1+\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)\right)$， $\alpha <\frac{1}{2}$，和 $S_t\in L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{Te}\right)$，使得

${\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }\to S_x$，强收敛于空间 $L^2\left(Q_{T_e}\right)$ 内， (37)

$\widetilde{\left|{\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }\right|}\to \left|S_x\right|$，强收敛于空间内， (38)

${\widetilde{\left|{\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }\right|}}_{\kappa }\to {\left|S_x\right|}_{\kappa }$，强收敛于空间 $L^2\left(Q_{T_e}\right)$ 内， (39)

成立。

证明：根据 ${\left(S_x\right)}_{\eta }$ 的定义，我们可以直接得到，当 $\eta \to 0$

${\Vert {\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }-S_x\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\to 0,$

再应用 ${\Vert \tilde{f}\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\le {\Vert f\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}$ 的性质，可以推出

${\Vert \widetilde{\left|{\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }\right|}-\left|S_x\right|\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\le {\Vert {\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }-\left|S_x\right|\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\to 0.$

鉴于在 $L^2\left(Q_{T_e}\right)$ 空间存在一个连续映射 $f\to {\left|f\right|}_{\kappa }$，再结合上式，最终得到

${\Vert {\widetilde{\left|{\left(S_x^{*}\right)}_{\eta }\right|}}_{\kappa }-{\left|S_x\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\to 0.$

定理4得证。

借助于定理3和定理4，修正问题(19)-(21)的弱解存在性至此已经证明结束。

2.2. 与 无关的先验估计

目前为止，我们已经求得修正问题的弱解存在性。但是实际上章节2.1中给出的部分估计是与 $\kappa$ 有关的，这使得我们无法直接证明序列 $\left\{S_x^{\kappa }\right\}$ 是完备的，即无法证明当 $\kappa \to 0$ 时的极限是否是我们所需要的。但是我们必须要求解一个序列可以收敛回原问题的解，所以本节将说明 $\left\{S_x^{\kappa }\left|S_x^{\kappa }\right|\right\}$ 或者更详细的说，这个序列的近似，存在有界的偏导数，再借助于Aubin-Lions引理，使得问题可以得到解决。

下面先对于章节2.1中的修正问题的解序列 $\left\{S^{\kappa }\right\}$ 建立与 $\kappa$ 无关的先验估计。设T_e是一个固定的正常数，对于任意的 $\kappa$，函数 $S_0^{\kappa }\in C^{\infty }\left(\Omega \right)$ 使得

${\Vert S_0^{\kappa }-S_0\Vert }_{H^1\left(\Omega \right)}\to 0$， $\kappa \to 0$， (40)

其中 $S_0\in H^1\left(\Omega \right)$ 是定理1给出的。

引理5存在与 $\kappa$ 无关的常数C，使得

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x\text{d}\tau }}\le C,$ (41)

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\left|S_{xx}^{\kappa }\right|\right)}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\le C$ (42)

成立。

证明对于方程(19)二边同时乘以 $-S_{xx}^{\kappa }$，再对x分部积分，应用Young不等式，我们得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{2\text{d}t}{\Vert S_x^{\kappa }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nu {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\psi }_S{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }\text{d}x}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\left|S_{xx}^{\kappa }\right|\text{d}x}\\ \le \epsilon {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}+C_{\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x}\end{array}$

选择 $\epsilon =\frac{\nu }{2}$，有

$\frac{\text{d}}{2\text{d}t}{\Vert S_x^{\kappa }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\nu }{2}{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}\le C_{\nu }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x}.$

对上面的不等式二边关于时间t积分，注意到边界条件(20)和引理2，可以立即推出(41)。

根据方程(19)和引理2及引理4，(42)得证。

引理6存在与 $\kappa$ 无关的常数C，使得对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_x\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\le C,$ (43)

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }}^{\frac{8}{3}}\text{d}\tau }\le C,$ (44)

成立。

证明为了证明(43)，令 $S_x^{\kappa }=:y$， ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }=:{\left|y\right|}_{\kappa }$，使用他们进行如下计算

$\left|{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_x\right|=\left|{\left({\left|y\right|}_{\kappa }^2\right)}_x\right|\le 2\left|y\right|\left|y_x\right|\le 2{\left|y\right|}_{\kappa }\left|y_x\right|=2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\left|S_{xx}^{\kappa }\right|,$ (45)

联结(42)

${\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_x\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\le {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\left|S_{xx}^{\kappa }\right|\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\le 2^{\frac{4}{3}}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\left|S_{xx}^{\kappa }\right|\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\le C.$

为了证明(44)，使用(43)和庞加莱不等式

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}={\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left(S_x^{\kappa }\right)}^2+{\kappa }^2\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left(S_x^{\kappa }\right)}^2\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\kappa }^2\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left({\left(S_x^{\kappa }\right)}^2\right)}_x\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}+C\cdot 1\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left({\left(S_x^{\kappa }\right)}^2+{\kappa }^2\right)}_x\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}+C\\ \le {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_x\right|}^{\frac{4}{3}}\text{d}x\text{d}\tau }}+C\le C\end{array}$

考虑到上式和(43)，应用索伯列夫嵌入定理，最终可以得到

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{8}{3}}\text{d}\tau }\le C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\Vert }_{W^{1,\frac{4}{3}}\left(\Omega \right)}^{\frac{4}{3}}\text{d}\tau }\le C,$

根据 ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }$ 的定义，即 ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2={\left(S_x^{\kappa }\right)}^2+{\kappa }^2$。最终，我们可以得到

${\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{8}{3}}\text{d}\tau }\le {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{4}{3}}\text{d}\tau }\le C.$

引理7存在与 $\kappa$ 无关的常数C使得对任意的 $t\in \left[0,T_e\right]$，

${\Vert S_x^{\kappa }{S}_{xt}^{\kappa }\Vert }_{L^1\left(0,T_e;H^{-2}\left(\Omega \right)\right)}\le C,$ (46)

${\Vert {\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_t\Vert }_{L^1\left(0,T_e;H^{-2}\left(\Omega \right)\right)}\le C$ (47)

成立。

证明我们发现 $L^1\left(0,T_e;H^{-2}\left(\Omega \right)\right)$ 是等距嵌入到其对偶空间 $L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)$，所以(46)的成立意味着下面不等式的成立

$\left|\left(S_x^{\kappa }{S}_{xt}^{\kappa },\varphi \right)\right|\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)},$

其中 $\varphi \in L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)$。

为了证明等价后的的上式。首先用 $S_x^{\kappa }{S}_{xt}^{\kappa }$ 与 $\varphi$ 做内积，分部积分后再带入方程(19)

$\begin{array}{c}\left(S_x^{\kappa }{S}_{xt}^{\kappa },\varphi \right)={\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }-S_{xx}^{\kappa }{S}_t^{\kappa }\varphi \text{d}x\text{d}\tau }}-{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_x^{\kappa }{S}_t^{\kappa }{\varphi }_x\text{d}x\text{d}\tau }}\\ =c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_{xx}^{\kappa }\left({\psi }_S-\nu S_{xx}^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\varphi \text{d}x\text{d}\tau }}\\ +c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_x^{\kappa }\left({\psi }_S-\nu S_{xx}^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\varphi }_x\text{d}x\text{d}\tau }}\\ =:I_1+I_2\end{array}$ (48)

下面分别计算 $I_1,I_2$

$\begin{array}{c}\left|I_1\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_{xx}^{\kappa }\varphi {\psi }_S{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}-c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(S_{xx}^{\kappa }\right)}^2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\varphi \text{d}x\text{d}\tau }}\right|\\ \le c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\varphi {\psi }_S\right|\left|S_{xx}^{\kappa }\right|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}+c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\varphi \right|{\left(S_{xx}^{\kappa }\right)}^2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}.\end{array}$ (49)

为了估计上式等式右边中的第一项，我们应用Hölder不等式、引理2，和(42)

$c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\varphi {\psi }_S\right|\left|S_{xx}^{\kappa }\right|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(Q_{T_e}\right)}{\Vert S_{xx}^{\kappa }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^1\left(Q_{T_e}\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}.$ (50)

对于(49)的右边第二项，应用Hölder不等式和(41)我们得到

$c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\varphi \right|{\left(S_{xx}^{\kappa }\right)}^2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(Q_{T_e}\right)}{\Vert {\left(S_{xx}^{\kappa }\right)}^2{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^1\left(Q_{T_e}\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}.$ (51)

结合(50)和(51)，我们立即可以得到 $\left|I_1\right|\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}$。

现在开始估计 $I_2$

$\begin{array}{c}\left|I_2\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_x^{\kappa }{\psi }_S{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\varphi }_x\text{d}x\text{d}\tau }}-c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{S}_x^{\kappa }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }{\varphi }_x\text{d}x\text{d}\tau }}\right|\\ \le c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|{\varphi }_x{\psi }_S{S}_x^{\kappa }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right|\text{d}x\text{d}\tau }}+c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|{\varphi }_x{S}_{xx}^{\kappa }{S}_x^{\kappa }\right|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}\\ =:\left|I_{2,1}\right|+|I_{2,2}\end{array}$ (52)

根据引理2和 $\left|S_x^{\kappa }\right|\le {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }$ 可以得到

$\left|I_{2,1}\right|=c{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|{\varphi }_x{\psi }_S{S}_x^{\kappa }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right|\text{d}x\text{d}\tau }}\le C{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|{\varphi }_x{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right|\text{d}x\text{d}\tau }}\le C{\Vert {\varphi }_x\Vert }_{L^{\infty }\left(Q_{T_e}\right)}{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\Vert }_{L^1\left(Q_{T_e}\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}$ (53)

应用Hölder不等式和(44),(41)，我们可以得到

$\begin{array}{c}\left|I_{2,2}\right|=c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|S_x^{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }{\varphi }_x\right|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\text{d}x\text{d}\tau }}\\ \le c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\varphi }_x\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right)}^{\frac{1}{2}}\left|S_{xx}^{\kappa }\right|\left|S_x^{\kappa }\right|\text{d}x\text{d}\tau }\\ \le c\nu {\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\varphi }_x\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{d}\tau }\\ \le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}{\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{d}\tau }\\ \le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}{\left({\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\Vert {\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{d}\tau }\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^{T_e}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }{\left|S_{xx}^{\kappa }\right|}^2\text{d}x\text{d}\tau }}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}\end{array}$ (54)

至此，通过对 $I_2$ 和 $I_1$ 的估计可以得到 ${\Vert S_x^{\kappa }{S}_{xt}^{\kappa }\Vert }_{L^1\left(0,T_e;H^{-2}\left(\Omega \right)\right)}$ 是有界的。

为了证明(47)，我们给出下面的定义

$f_{\kappa }:=-c\left(\psi {\left(S^{\kappa }\right)}_S-\nu S_{xx}^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }.$ (55)

取 $\varphi \in L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)$，用 ${\left(S_x^{\kappa }\varphi \right)}_x$ 与 $\left(S_t^{\kappa }-f_{\kappa }\right)$ 作内积，并且关于 $\left(t,x\right)$ 做积分，利用(45)可得

$\begin{array}{c}0={\left(\left(S_t^{\kappa }-f_{\kappa }\right),{\left(S_x^{\kappa }\varphi \right)}_x\right)}_{Q_{T_e}}\\ ={\left(S_t^{\kappa },{\left(S_x^{\kappa }\varphi \right)}_x\right)}_{Q_{T_e}}-{\left(f_{\kappa },{\left(S_x^{\kappa }\varphi \right)}_x\right)}_{Q_{T_e}}\\ =-{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{S}_{tx}^{\kappa }{S}_x^{\kappa }\varphi \text{d}\left(\tau ,x\right)}-{\left(f_{\kappa },S_{xx}^{\kappa }\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-{\left(f_{\kappa },S_x^{\kappa }{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}\\ =-\frac{1}{2}{\left({\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_t,\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-{\left(f_{\kappa },S_{xx}^{\kappa }\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-{\left(f_{\kappa },S_x^{\kappa }{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}\end{array}$

把上式改写成如下格式

$\left|\frac{1}{2}{\left({\left({\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_t,\varphi \right)}_{Q_{T_e}}\right|=\left|-{\left(f_{\kappa },S_{xx}^{\kappa }\varphi \right)}_{Q_{T_e}}-{\left(f_{\kappa },S_x^{\kappa }{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}\right|\le {\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|f_{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }\varphi \right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}+{\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|f_{\kappa }{S}_x^{\kappa }{\varphi }_x\right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}$ (56)

由估计(55)和(48)~(51)可得

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|f_{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }\varphi \right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}={\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|S_t^{\kappa }{S}_{xx}^{\kappa }\varphi \right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}.$ (57)

由(48)，(55)和(52)~(54)，我们就可以用 $C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}$ 来估计(56)的等式右边最后一项

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|f_{\kappa }{S}_x^{\kappa }{\varphi }_x\right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}={\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}\left|S_t^{\kappa }{S}_x^{\kappa }{\varphi }_x\right|\text{d}\left(\tau ,x\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^{\infty }\left(0,T_e;H^2\left(\Omega \right)\right)}.$ (58)

至此，由(56)-(58)，使得(47)成立。

根据引理2,引理4和引理5~7，我们可以将Alber-Zhu模型(8)~(10)的弱解从小区间 $\left[0,T\right]$ 不断延拓到整个空间 $\left[0,T_e\right]$。

2.3. 一维Alber-Zhu模型弱解的存在性

本节我们将研究(19)-(21)的解 $\left\{S^{\kappa }\right\}$ 在 $\kappa \to 0$ 时的收敛性并且证明定理1。

由估计(34)和(36)可得 ${\Vert S^{\kappa }\Vert }_{W^{1,\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)}\le C$，其中C是与 $\kappa$ 无关的常数。意味着我们可以选择序列 ${\kappa }_n\to 0$ 和一个函数 $S\in W^{1,\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$ 使得序列 $S^{{\kappa }_n}$ (这里仍然用 $S^{\kappa }$ 来表示)满足下式

${\Vert S^{\kappa }-S\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)}\to 0$， $S_x^{\kappa }\rightharpoonup S_x$， $S_t^{\kappa }\rightharpoonup S_t$， (59)

这里的弱收敛存在空间 $L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$。

引理8： $B_0$ 是一个赋范线性空间并且紧嵌入另一个赋范线性空间B，B连续嵌入到一个Hausdorf局部凸空间 $B_1$，其中 $1\le p<\infty$。如果 $\nu ,{\nu }_i\in L^p\left(0,T_e;B_0\right)$， $i\in \mathbb{N}$，序列 ${\left\{{\nu }_i\right\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 在空间 $L^p\left(0,T_e;B_0\right)$ 中弱收敛于 $\nu$，且 ${\left\{\frac{\partial {\nu }_i}{\partial t}\right\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 在空间 $L^1\left(0,T_e;B_1\right)$ 上有界，则 ${\nu }_i$ 在空间 $L^p\left(0,T_e;B\right)$ 内强收敛于 $\nu$。

引理9： $\left(0,T_e\right)\times \Omega$ 是一个在 ${ℝ}^{+}\times {ℝ}^n$ 上的开集，假设函数序列 $g_n$，函数g都在空间 $L^q\left(\left(0,T_e\right)\times \Omega \right)$ 内，并且对于任意所给的 $1<q<\infty$，满足

${\Vert g_n\Vert }_{L^q\left(\left(0,T_e\right)\times \Omega \right)}\le C$， $g_n\to g$，a.e.在 $\left(0,T_e\right)\times \Omega$ 内，

则函数序列 $g_n$ 在空间 $L^q\left(\left(0,T_e\right)\times \Omega \right)$ 内弱收敛于g。

引理8是一般形式的Aubin-Lions引理，其证明详见文献 [14]，引理9的证明在 [15]。

引理10：存在与 $\kappa$ 无关的常数C使得

$S_x^{\kappa }\to S_x$，a.e. in $Q_{T_e}$， (60)

$\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\to S_x$， ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\to \left|S_x\right|$，a.e. in $Q_{T_e}$， (61)

$\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\rightharpoonup S_x$， ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\rightharpoonup \left|S_x\right|$，弱收敛于空间 $L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$， (62)

$\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\to S_x\left|S_x\right|$，强收敛于空间 $L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)$。 (63)

证明我们应用引理8并选择 $p=\frac{4}{3}$

$B_0=W^{1,\frac{4}{3}}\left(\Omega \right)$， $B=L^2\left(\Omega \right)$， $B_1=H^{-2}\left(\Omega \right)$，

由(43)和(47)，我们发现 $\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2$ 和 ${\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)}_t$ 是有界的，那么这些空间就完全满足引理8的前提条件。也就是说存在一个子序列，为了简洁，这里仍然用 $\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2$ 来表示，在空间 $L^p\left(0,T_e;B\right)=L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)$ 中强收敛于一个极限函数 $G\in L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)$。

实际上另一个子序列仍然用 $\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2$ 来表示，存在下述关系 $\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\to S_x\left|S_x\right|$ a.e.在 $Q_{T_e}$ 内。令 $f\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right)=\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2$，利用映射 $y\to f\left(y\right):=y\left|y\right|$，有一个连续的逆映射 $f^{-1}:ℝ\to ℝ$，我们可以推论 $f^{-1}\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)=\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }$ 在 $Q_{T_e}$ 内几乎处处收敛。由此，可以得到序列 $S_x^{\kappa }$ 几乎处处收敛。我们借助 ${\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }$ 的定义，可以看到 ${\left(S_x^{\kappa }\right)}^2={\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right)}^2-{\kappa }^2$。即 ${\lim }_{\kappa \to 0}{S}_x^{\kappa }={\lim }_{\kappa \to 0}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }$。至此， $S_x^{\kappa }$ 在 $Q_{T_e}$ 内几乎处处收敛得证。

由引理9和 $S_x^{\kappa }\rightharpoonup S_x$ in $L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)$，(60)-(61)立即可以得到证明。关系式(61)和极限的唯一性意味着(63)。联结(59)和文中设定的关系式 $\left|{\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right|=\left|\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\right|\le \left|S_x^{\kappa }\right|+\kappa \le \left|S_x^{\kappa }\right|+1$，再应用引理9，我们立即得到(62)。

证明定理1：根据(59)，我们可以给定一个子序列 $\left\{S^{\kappa }\right\}$ 和相应的极限函数，用 $\left\{S^{\kappa }\right\}$ 来表示定理2中方程(19)~(21)所构造的解序列。下面我们将证明S是(8)~(10)的弱解。

引理5和(59)立即可以得到(11)。(13)中的第二项由(59)可得。(14)中的第二项可由(44)和(61)可得。(14)中的第一项是(43)和(63)的一个结论。为了证明(13)中的第一项，我们选择 $\varphi \in L^4\left(0,T_e,W^{1,4}\left(\Omega \right)\right)$ 并且用(55)中定义的 $-{\varphi }_x$ 和 $S_t^{\kappa }-f_{\kappa }$ 做内积，在时间和空间上积分，可得

$0={\left(\left(S_t^{\kappa }-f_{\kappa }\right),-{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}={\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{S}_{tx}^{\kappa }\varphi \text{d}\left(\tau ,x\right)}+{\left(f_{\kappa },{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}},$

注意到引理2-5，我们得到

${\displaystyle {\int }_{Q_{T_e}}{S}_{tx}^{\kappa }\varphi \text{d}\left(\tau ,x\right)}\le {\Vert f_{\kappa }\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left(Q_{T_e}\right)}{\Vert {\varphi }_x\Vert }_{L^4\left(Q_{T_e}\right)}\le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^4\left(0,T_e;W^{1,4}\left(\Omega \right)\right)},$

即 ${\Vert S_{xt}^{\kappa }\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;W^{-1,\frac{4}{3}}\left(\Omega \right)\right)}\le C$。联结此式和(59)，第一项立即可得。

为了证明(12)，我们研究下面的收敛关系

${\left(S_0^{\kappa },\varphi \left(0\right)\right)}_{\Omega }\to {\left(S_0,\varphi \left(0\right)\right)}_{\Omega },$ (64)

${\left(S^{\kappa },{\varphi }_t\right)}_{Q_{T_e}}\to {\left(S,{\varphi }_t\right)}_{Q_{T_e}},$ (65)

${\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y},{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}}\to {\left(\frac{1}{2}\left|S_x\right|S_x,{\varphi }_x\right)}_{Q_{T_e}},$ (66)

${\left({\psi }_S\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa },\varphi \right)}_{Q_{T_e}}\to {\left({\psi }_S\left|S_x\right|,\varphi \right)}_{Q_{T_e}},$ (67)

当 $\kappa \to 0$。(64)和(65)由(40)和(59)可得。为了证明(66)

${\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y}-\frac{1}{2}\left|S_x\right|S_x=\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y}-\frac{1}{2}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)+\frac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2-\left|S_x\right|S_x\right),$

上式中右边的第二项由(63)立即可得：

${\Vert \frac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2-\left|S_x\right|S_x\right)\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left(0,T_e;L^2\left(\Omega \right)\right)}\to 0$

当 $\kappa \to 0$。对于第一项我们有

$\begin{array}{l}\left|\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y}-\frac{1}{2}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }^2\right)\right|\\ =\left|\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y}-\frac{1}{2}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right)\left({\left(S_x^{\kappa }\right)}^2+{\kappa }^2\right)\right)\right|\\ \le \left|\left({\displaystyle {\int }_0^{S_x^{\kappa }}{\left|y\right|}_{\kappa }\text{d}y}-\frac{1}{2}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\left(S_x^{\kappa }\right)}^2\right)\right|+\left|\frac{1}{2}\mathrm{sgn}\left(S_x^{\kappa }\right){\kappa }^2\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\left|S_x^{\kappa }\right|}\left|{\left|y\right|}_{\kappa }-\left|y\right|\right|\text{d}y}+C_{\kappa }\le \kappa \left|S_x^{\kappa }\right|+C_{\kappa }\end{array}$

联结(34)，我们立即得到(66)。由引理2和引理5得到 ${\Vert {\psi }_S\left(S_x^{\kappa }\right){\left|S_x^{\kappa }\right|}_{\kappa }\Vert }_{L^2\left(Q_{T_e}\right)}\le C$，再联结引理9和(60)~(61)，(67)立即可得。至此，(12)证明结束。

参考文献