1. 引言
Censor和Elfving在1994年提出了分裂可行问题(SFP),该问题在信号处理和图像重建中已经引起了广泛的关注 [1] [2]。分裂可行问题可表述为:
找一点
,使得
, (1.1)
其中C和Q分别是Hilbert空间
和
的非空闭凸子集,
是有界线性算子。
为了求解分裂可行问题,Censor和Elfving在文 [1] 中提出了一种迭代算法,但是他们的算法在每次迭代时都要计算矩阵的逆。Byrne在文 [3] [4] 中提出一种不需要计算矩阵逆的CQ算法。设
和
分别是C和Q上的投影算子,I表示恒等算子,
是线性算子A的伴随算子。则CQ算法的迭代公式如下:
, (1.2)
其中
。由于CQ算法(1.2)更容易实现,得到了广泛的研究。然而,为了实现CQ算法,我们必须计算或者估计有界线性算子A的范数
,但是在一般情况下这是非常难的任务。为了克服这一困难,许多学者构造了不依赖算子范数的变步长CQ算法 [5] [6] [7] [8] [9]。Yang在文 [8] 考虑如下的步长:
,
其中
是一正实数列且满足
。
同时文 [8] 还要求下面两个条件成立:(i) Q是有界集,(ii) A是列满秩矩阵。为了去掉这两个条件,Lopez在文 [2] 引入一种新的选择步长的方法:
。 (1.3)
但是以上算法在无穷维空间中仅有弱收敛性。Xu在 [10] 中构造了如下的强收敛算法:
, (1.4)
其中
是固定的,
,
是
中的实数列。若
满足下列条件:
(C1)
;
(C2)
或
。
则由上述算法生成的序列
强收敛到问题(1.1)的一个特解
。Lopez在 [2] 中改进了算法(1.4),给出了以下强收敛算法:
, (1.5)
其中
是固定的,
由(1.3)给出。Lopez在文 [2] 证明了:在
仅仅满足(C1)的条件下,由算法(1.5)生成的序列
强收敛到问题(1.1)的一个特解
。
但是在算法(1.5)中,却要求
,这样就会产生如下两个问题:(i) 对于一般的闭凸集,找
比较困难,需要一个迭代算法来计算。(ii) 限制了算法(1.5)的应用。比如,在实际应用中,人们经常求问题(1.1)的最小2-范数解。通常取
,就可得到最小2-范数解。但是在算法(1.5)中,如果
,就不能得到最小2-范数解。为了克服这一缺点,本文对算法(1.5)进行改进,构造了一个同样具有强收敛性的算法,该算法同样不需要满足条件(C2)。
2. 预备知识
我们首先给出一些定义和基本结论,未给出的概念可参见文 [11]。以下H表示实Hilbert空间,其内积和范数分别为
和
。在本文中,
代表强收敛,而
代表弱收敛。
表示序列
的所有弱聚点之集。
定义2.1 设
是非空闭凸集,对任意
,x到C上的投影定义为:
。
显然,若
,则
。投影
具有下面重要的性质。
引理2.1 [11] 设
是非空闭凸集,则对任意
,
(i)
,
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
。
引理2.2 设
,
。则
。
引理2.2的证明是容易的,因此我们省略了它的证明。
引理2.3 [12] 设
是一个非负实数列,且满足
,
其中
和
满足:(i)
,
;(ii)
。则
。
定义2.1称函数
在点x处是弱下半连续的,若
,则
。
若f在每个点
都是弱下半连续的,则称f是H上的弱下半连续函数。
引理2.4 [2,4]设
。则
(i) f是可微的凸函数;
(ii)
;
(iii) f是H上的弱下半连续函数;
(iv)
是
-Lipschitz连续的,即
,
。
3. 一个强收敛算法
受算法(1.4)和(1.5)的启发,下面我们构造一个求解SFP的强收敛算法,并在较弱的条件下证明了算法的收敛性。
算法3.1 设
是固定的,
是任意的。给定
,构造
如下:
, (3.1)
其中
,
由(1.3)给出。
定理3.1假设SFP的解集
,
满足条件(C1),且
。则由算法(3.1)生成的序列
强收敛到问题(1.1)的一个解v,这里
。
证明 令
,
。由于
,再利用引理2.1,我们有
。(3.2)
以下我们将证明分成5步。
第1步,证明
,
和
是有界的。由引理2.1和(3.2)式,我们有
。
由数学归纳法可得,对所有的
,
。
由此可知
是有界的。再由(3.2)式可得,
也是有界的。又因为
,
所以
也是有界的。
第2步,证明下面的不等式成立:
, (3.3)
其中
,
。
事实上,利用引理2.2和(3.2),我们有
。
再由引理2.1可得
。
所以不等式(3.3)成立。
第3步,证明
是有限的。由于
是有界的,所以我们有
。
于是
。下面我们用反证法证明
。假设
,则存在
使得对任意
,有
。由不等式(3.3)可知,对所有
,不等式
成立。再由数学归纳法可得
。
由于
,故存在
满足
。于是我们有
。
这显然与
是非负实数列相矛盾。因此
。从而
是有限的。
第4步,证明
。既然
是有限的,我们能取子序列
满足
。 (3.4)
由于序列
是有界的,不失一般性,我们假设极限
存在。所以下面的极限
也存在。由此及条件
可得
(3.5)
和
。 (3.6)
由(3.6)容易得到
。
于是,我们有
。 (3.7)
又由于
。
所以由(3.6)可得
。 (3.8)
下面我们证明
的任意弱聚点都属于S,即
。设
,不失一般性,我们假设
。由
的弱下半连续性和(3.8)可得,
。
所以
,i.e.
。令
,同样由
的弱下半连续性和(3.5)可得,
。
所以
,i.e.
。于是我们证明了
。
再由(3.7)可知
的任意弱聚点也都属于S。不失一般性,我们设
弱收敛于
。因为
,所以由引理2.1可得
。
由(3.4),我们有
。
第5步,证明
强收敛到v。事实上,容易验证引理2.3的条件都满足。应用引理2.3到(3.3),我们就得到
。证毕。
注3.1 (i)在算法(3.1)中,参数
可选取如下:
,
。
(ii)在算法(1.5)中,要求
,然而在算法(3.1)中,并没有这一限制,实际上,对任意
,算法(3.1)均是强收敛的。特别地,若令
,则算法(3.1)强收敛到问题(1.1)的最小2-范数解。
(iii)在算法(3.1)中,我们并不要求条件(C2)成立。另外,和算法(1.4)相比,算法(3.1)的迭代方法也不相同。
4. 结论
本文在Hilbert空间中研究了分裂可行问题。传统的CQ算法采用常数步长,需要计算有界线性算子的范数,并且仅具有弱收敛性。为了克服这些缺点,本文中我们构造了一个具有强收敛性的算法,同时该算法采用变步长策略,从而避免了计算有界线性算子的范数。同时我们构造的算法与已有文献中的算法的形式也不太相同。
基金项目
获国家自然科学基金(Nos. 11971216,11571005),河南省高等学校重点科研项目(No. 20A110029)资助。