1. 引言
1928年,Volterra [1] 研究了如下微分方程
其中
满足下文中的假设。Volterra尝试利用Laypunov方法研究该类微分方程的稳定性。1963年,Levin [2] 利用Laypunov方程得到该类微分方程的稳定性,所以该类方程被称为Volterra-Levin方程。该方面更一步的结果可以参考MacCamy,Wong [3] 和Burton [4] 的工作及参考文献。最近许多学者开始研究随机型Volterra-Levin方程(参见Gushchin和Küchler [5] ;Liu [6] ;Reiß [7],Li和Xu [8] 等及相关文献)。许多学者研究了随机Volterra-Levin方程的稳定性。Appleby [9] 和Burton [10] 在一定条件下,利用不动点定理研究了随机Volterra-Levin方程在概率1意义下的稳定性。Luo [11] 和Zhao等 [12] 进一步得到了均方意义下的指数稳定性,在更弱的条件下得到概率1意义下的指数稳定性。Guo和Zhu [13] 研究了带Poisson跳的Volterra-Levin方程解的存在唯一性,并得到p-阶矩意义下的稳定性。Yin等 [14] 研究了带Poisson跳和变时滞的Volterra-Levin方程p-阶矩意义下的稳定性。
许多学者尝试着讨论比概率1更弱的稳定性,随机微分方程的解收敛到某一分布,一个值得研究的课题。该种稳定称为解依分布渐近稳定。1996年,Basak等 [15] 首次研究了漂移项为线性的随机微分方程的依分布稳定性。在此基础上 [15],Bao等 [16] [17] [18] [19],Hu和Wang [20] 以及Yuan和Mao [21],Li和Zhang [22] 研究了随机Volterra-Levin方程解的依分布稳定性。
近年来,Lévy噪声驱动的随机微分方程受到学者们的广泛关注。α-稳定噪声是特殊的Lévy噪声,它可以展现重尾现象,因此研究α-稳定噪声驱动的随机微分方程非常有意义,成为一个重要的研究课题,Priola和Zabczyk [23] 研究了α-稳定噪声驱动的随机微分方程解的渐近行为,Zang和Li [24] 研究了α-稳定噪声驱动的随机微分方程解的依分布稳定性。
2. 预备知识
设
是完备的概率空间,其中
是滤流,满足通有条件,即滤流是右连续的并且
包含所有零集。令
为定义在
上的α-稳定过程。对于给定的常数
,
记为连续函数
构成的空间,其范数为
。
本文将研究下述α-稳定噪声驱动的随机Volterra-Levin方程解的依分布稳定性。
(1)
初始条件,
(2)
其中,映射
,
是概率空间
上的α-稳定噪声。对任意
,定义
。
参见Appleby [9] 和Burton [10],本文给出如下假设:
(H1)
,且存在一个常数
,使得
;
(H2)
;
(H3) 存在一个常数
,使得对于任意的
,
;
(H4) 存在一个常数
,使得
;
(H5)
。
3. 主要结果
令
为方程(1)满足初始条件
的解,则(1)的相应部分解过程为
。于是
的转移概率
是一个齐次的马尔科夫过程(参考Mohammed Mohammed [25] )。在本节中,将研究方程(1)的部分解过程
的分布稳定性。
定义1. 如果存在一个
上的概率测度
,使得对任意的
,当
时,
的概率转移函数
弱收敛到
。则方程(1)的部分解过程
为依分布意义下渐近稳定的分布。
引理 1 假设(H1)-(H5)成立,则对于任意
,有
(3)
证明:利用文献 [22] 的方法,定义连续函数
,
由假设(H4),则方程(1)满足:
(4)
利用变量替换以及分步积分,则方程(1)可写成如下形式:
于是
(5)
对于
有:
(6)
由(H3)得:
(7)
类似地,
(8)
对于
,令
为一个定义在某一个正态分布
的概率空间
上的独立随机变量序列,
是一个实数序列,则
则
(9)
对于
,将(6)~(9)代入(5),可以得到:
(10)
令
。
由假设(H5)可知
。
另一方面,由(H1)和(H3)有,
存在,并且
。则对
,存在
,使得
以及
成立。
由文献 [22] 中的引理3.1,可得
(11)
这说明
是有界的。
接下来我们还需要证明部分解过程
的有界性。由α-稳定过程的自相似性,对于任意
。
(12)
其中
时,由自相似性知
仍然是一个α-稳定过程。
对于
,由(11)式,对于某些常数
,都有
并且对于某些常数
,都有
从而有
所以,由条件(H5),有
于是,对任意的整数
,根据迭代法可得
(13)
对于任意的
,存在
,使得,当
时,
这样,根据(13)可以得到如下结论:
引理2. 假设(H1)-(H5)成立,则对于任意有界子集
,并且
,下述结论成立
(14)
证明. 类似于引理1的证明,首先证明:
(15)
其中
。
对任意的
,可以得到
其中
,
。因此,根据引理1,即可得到(15)。
令
,根据假设(H1)-(H3)得:
于是利用(15),可得
(16)
因此, (14)式必定成立,引理证毕。
接下来,讨论方程(1)的部分解过程的分布稳定性。
令
为在
上的概率测度空间。当
时,定义:
其中,对于任意的
,有
参考文献 [22],有如下的结果:
引理 3 ( [22] ) 假设(H1)-(H5)成立,则对于任意的初值
,
是空间
上具有度量
的柯西列。
本文的主要结果如下:
定理1 假设(H1)-(H5)成立,则α-稳定噪声驱动的随机方程(1)的部分解过程
是分布稳定的。
证明. 类似于文献 [22] 中定理3.1的证明,可以很类似地得到该定理的证明。证明从略。