1. 引言
在本文中,研究时标上由一阶动力学方程构成的二维动力系统
(1.1)
的非振荡解的存在性,其中
和
是关于u的非减函数且对
,
,有
,
。本文假设时标
无上界。文中出现的
等价于
。当
均为非振荡的,即终于正或终于负,则称
为非振荡解,反之为振荡解。
本文的想法来源于W. T. Li [1] 的二维非线性微分动力系统
(1.2)
的非振荡解的存在性和Özkan Öztürk [2] 的时标上的三维动力系统
(1.3)
的非振荡解的存在性。
在本文中,回顾了一些与时标相关的文章以及概念,更多细节可以参阅文献 [3] - [8]。
2. 几个引理
本文将动力系统(1.1)的所有非振荡解构成的集合设为S,则(1.1)的所有非振荡解属于下列两种情况之一:
引理2.1:若
是动力系统(1.1)的一个非振荡解,本文只考虑
这种情况,假设x是终于正的即
(x是终于负的证明与之类似)。
非振荡解其中x是终于正的,则x,y均为终于正的单调递增函数且该解属于下列四种情况之一:
引理2.2 [9] :若X为巴拿赫空间,Y是X的非空有界凸闭子集,且存在一个紧算子
,则F在X上有一个不动点,称该不动点为Schauder不动点。
引理2.3 [10] :若
为完全格,且存在一个保序算子
, 则F在Y上有一个不动点,称该不动点为Knaster不动点。
3. 主要结论
定理3.1
当且仅当存在
,
,
使得
(3.1)
和
(3.2)
成立。
证明:先证必要性,假设
即存在
,则
均为终于正的并且单调递增,当
时,有
,
,其中
。故存在
,使得当
时,有
成立。
由
关于u的单调性和对(1.1)的第二个方程由
到t进行积分,得
(3.3)
当
时,可得
对(1.1)的第一个方程由
到t进行积分并利用(3.3)式,可得
当
时,有
再证充分性,假设(3.1)式和(3.2)式成立,则存在
,
,
,
使得
和
成立,其中
。
设X是
上全体连续有界实值函数构成的,且以最大模为范数
,即X为巴拿赫空间。定义X的子集Y如下:
显然,Y是X的一个非空的有界凸闭子集。定义如下一个算子
,
接下来,我们将要证明F满足引理2.2的条件:
1) 先证F为自映射算子,
2) 再证F在Y上连续,取Y上的一组函数列
,使得
,
有
由f,g的连续性和Lebesgue控制收敛定理可得,当
时,
即F在Y上连续。
3) 最后证明FY相对紧致,由于
故FY相对紧致。
由引理2.2得,存在
使得
,故有
和
令
当
时,有
,
,其中
,故
是(1.1)的非振荡,因此
,证毕。
定理3.2:
当且仅当存在
,
使得
(3.4)
和
(3.5)
成立。
证明:先证必要性,假设
即存在
,则
均为终于正的并且单调递增,当
时,有
,
,其中
。故存在
,使得当
时,有
成立。对(1.1)的第一个方程从
到t进行积分,得
当
时,有
(3.6)
由
关于u的单调性和对(1.1)的第二个方程由
到t进行积分,得
当
时,有
(3.7)
由(3.6)和(3.7)可得
再证充分性,若(3.4)和(3.5)成立,则存在
,
,
使得
和
成立,其中
。设X是
上全体连续有界实值函数构成的,且以最大模为范数
有序的巴拿赫空间。定义X的子集
如下:
定义如下一个算子
,
显然,F是递增的且对任意
的子集
都有
,
,因此
是一个完全格。下证
,由于
故F为自映射算子。
由引理2.3得,存在
使得
,故有
和
令
当
时,有
,
,其中
,故
是(1.1)的非振荡解,因此
,证毕。
定理3.3:
当且仅当存在
,
使得
和
成立。
证明:该证明与定理3.2的证明相似,故省略。
4. 例子
例4.1:令
且
,考虑下列系统:
(4.1)
首先证明对于任意的
都有
成立,即
其次证明
成立,即
因此,由定理3.1可得
,且
为系统(4.1)的非振荡解。
例4.2:令
,考虑下列系统:
(4.2)
首先证明,
成立,即
其次证明,
,即
因此,由定理3.2可得
,且
为系统(4.1)的非振荡解。