1. 介绍
对于固定的整数
,k重除数函数
是指
的解的个数,其中
为正整数。如果n的标准分解形式
,
(
),
(
)是不同的素数,则有(可参见 [1] )
(1)
当
时,
即为经典除数函数
。
当
时,定义
的和函数
Landau [2] 和Voronoi [3] 证明了
其中
是
次的多项式。对于
,Hardy和Littlewood改进了以上余项的上界估计,证明了
相关文献还可参见 [4], [5], [6] 和 [7]。
同时,人们还研究函数
在短区间上的均值问题。例如,Garaev,Luca和Nowak [8] 证明了当
时,有
当
时,目前短区间上相应问题的最佳结果可由
的渐进公式(“长区间”)推得。
本文中,我们考虑了
在短区间上另一种形式的均值问题。令
表示正整数n的不同素因子个数,定义
我们证明了下面的结果。
定理1.1对于固定的
,
及任意的
,有
对
,
,
一致成立,这里
并且O-符号中的隐含常数只依赖于B和
。
1939年,Erdös和Kac [9] 证明了
的概率分布,对于每一个
,他们证明了如下的中心极限定理:
其中
2015年,Elliott [10] [11] 证明了如下权为
(
)的中心极限定理,即对每一个
,有
其中
最近,K. Liu和J. Wu [12] 把此结果推广到了短区间。
本文中,我们推广了Elliott以及Liu和Wu的结果,证明了权为
的中心极限定理。
定理1.2对于每个实数
和任意的
,当
,
时,有
其中
O-符号中的隐含常数只依赖于
,并且误差项的上界估计是最优的。
记号:
N为全体自然数集,R为全体实数集,C为全体复数集;
伽马函数;Landau符号,
,
是指存在常数
,使得
;
表示p遍历所有素数并求乘积;
是指
。
2. 预备知识
为了完成引理2.2的证明,我们需要下面的定义(参见 [12] )。令
表示算术函数,
是
的Dirichlet级数,
设
,
,
,
,
,
,
,
为常数,
。如果
满足下列条件,则称其是
型的:
(a) 对于任意的
,有
-中的隐含常数只与
有关。
(b) 当
时有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x99_hanspub.png)
(c) Dirichlet级数
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x100_hanspub.png)
可以解析延拓成
上的全纯函数,并且
满足
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x103_hanspub.png)
此结果对
,
及
一致成立。
我们需要如下引理来证明引理2.2,此引理为 [1] 的推论1.2。
引理2.1假设对任意的
,Dirichlet级数
是
型的,则有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x110_hanspub.png)
此结果对
,
,
,及
一致成立,其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x115_hanspub.png)
O-符号中的隐含常数只依赖于A,B,
,
及
。
令引理2.1中的
,我们得到如下结果。
引理2.2令
是一个常数,对于任意的
,有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x122_hanspub.png)
对
,
,及
一致成立,其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x126_hanspub.png)
证明:因为函数
是可乘函数,当
时,我们有
(2)
把公式(1)带入公式(2)中,可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x130_hanspub.png)
其中欧拉乘积
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x131_hanspub.png)
的Dirichlet级数是
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x133_hanspub.png)
令
,当
时,函数
是可乘函数,其在
(p为素数,
)的值可由下列公式给出
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x139_hanspub.png)
特别地,当
,
时,对于所有的素数p有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x142_hanspub.png)
令
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x143_hanspub.png)
因为当
,
时函数
收敛,所以该函数在
,
时有最大值:
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x149_hanspub.png)
由Cauchy公式,当
,
时有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x152_hanspub.png)
所以
的上界为
(3)
当
,
时,计算可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x157_hanspub.png)
再由公式(3)可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x158_hanspub.png)
这表明
在
,
时收敛,且
有上界:
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x163_hanspub.png)
其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x164_hanspub.png)
综合上述计算结果,我们可以得到Dirichlet级数
是
型的。
这样应用引理2.1我们可以得到引理2.2. □
注记:如果
,则由引理2.2可以推出
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x168_hanspub.png)
对
,
一致成立,其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x171_hanspub.png)
在证明定理1.2时,我们还需要下面的Berry-Esseen不等式(可参见 [13] )。
引理2.3令F、G为两个分布函数,f、g分别为F、G的特征函数。假设G可导,且
在R上有界。则有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x173_hanspub.png)
对所有的
都成立。其中
。
3. 定理1.1的证明
设
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x176_hanspub.png)
由Cauchy公式,可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x177_hanspub.png)
其中
。
由引理2.2,可得
(4)
其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x180_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x181_hanspub.png)
首先计算
的主项M,令
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x183_hanspub.png)
其中
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x184_hanspub.png)
接下来计算
,考虑
和
两种情况。当
时,因为
在
时解,所以
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x191_hanspub.png)
将此结果代入公式(4),得到
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x192_hanspub.png)
当
时,因为
在
时解析,所以
,其中
。
在点
处的Taylor展开为
(5)
这样,我们只需分别估计上述公式(5)右侧的三项对
的贡献即可。
第一项对
的贡献为:
(6)
第二项对
的贡献为:
(7)
当
,
,
时,有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x209_hanspub.png)
因为当
时
解析,所以
在
上有上界,即存在一个常数
,使得
,容易计算出
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x216_hanspub.png)
由Stirling公式,第三项对
的贡献为:
(8)
现在来估计
的余项
。我们有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x221_hanspub.png)
令
,可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x223_hanspub.png)
将公式(6) (7)、(8)代入公式(4),即得定理1.1。
4. 定理1.2的证明
令
,记
为
的特征函数,我们有
(9)
其中
。
设
,由引理2.3,计算得到下面结果:
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x230_hanspub.png)
所以我们只需要证明
(10)
对
,
时一致成立。
由引理2.2,设
,则有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x235_hanspub.png)
对
,
,
一致成立,其中
是关于z的整数函数,且
。令
,则有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x242_hanspub.png)
对
,
及
一致成立。
当
时,因为
,所以有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x248_hanspub.png)
由此可以推出
对
,
及
一致成立。下面我们将分三种情况来证明公式(10)成立。
首先,当
时,有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x254_hanspub.png)
其次,当
时,因为
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x256_hanspub.png)
则有
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x257_hanspub.png)
将上式代入公式(9),得到
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x258_hanspub.png)
由此可得,
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x259_hanspub.png)
最后,当
时,由
和
的Taylor展开:
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x263_hanspub.png)
可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x264_hanspub.png)
对
,
,
一致成立。计算可得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x268_hanspub.png)
现在我们来证明定理1.2中的余项估计是最优的。定义
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x269_hanspub.png)
以及
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x270_hanspub.png)
令
,
,我们得到
(11)
由Stirling公式及定理1.1,可得
(12)
根据公式(11)及公式(12),可以求得
![](//html.hanspub.org/file/9-1250922x275_hanspub.png)
对
,
一致成立。由此可见,定理1.2中的余项估计是最优的。