1. 文章中用到的常数
光速(c)——2.998 × 108 (m/s);
普朗克常数(h)——6.63 × 10−34 (J/s);约化了的普朗克常数(h/2π);
引力常数(G)——6.67 × 10−11 (N·m2/kg2);
玻尔兹曼常数(kB)——1.38 × 10−23 (J/K);
摩尔气体常数(R)——8.31 (J/mol·K);
阿伏加德罗常数(N0)——6.022 × 1023 (1/mol);
圆周率(π)——3.1415926;
自然常数(e)——2.71828。
目前普遍认为,宇宙起始于约138亿年前的大爆炸,大爆炸之后的宇宙空间有一个急速膨胀的暴胀过程。本文拟对宇宙空间的暴胀机制做一粗浅探讨。
2. 普朗克尺度、普朗克黑洞
我们知道,要精准确定粒子的位置,就要尽量增加入射光的频率。当光的频率增加到一定程度,亦即光的能量密度达到一定程度时(只有宇宙大爆炸时具备这种能量密度),光子一碰到粒子就变成了黑洞,这将没有任何信息可以传出。这一光线的波长尺度称为普朗克尺度,讨论普朗克尺度以下的尺度是没有意义的。因此,普朗克尺度也就是空间的最小尺度。
这里将史瓦西半径等于普朗克尺度的黑洞称为普朗克黑洞。
设普朗克尺度为LP,那么普朗克尺度光的波长就等于LP。根据普朗克尺度的物理意义,普朗克黑洞的史瓦西半径:
(1)
mp——普朗克黑洞的质量。
取普朗克黑洞半径的不确定量为Δr;形成普朗克黑洞的光子的动量不确定量为Δp。根据“不确定性原理”则有:
如将Δp取最大值,即这光的全部动量值mpc,则Δr就是最小值波长LP,故有:
(2)
(1) × (2)得:
将各常数代入得:
光通过普朗克尺度所需时间称为普朗克时间,约为10−43秒。
由(1)解得普朗克黑洞的质量
将各常数代入得:
3. 黑洞的熵及黑洞的辐射温度与辐射
3.1. 黑洞熵公式的推导
由于黑洞的表面积有只增不减之特性(霍金面积不减定理),这与熵的性质相同。因此不难想到二者成某种正比例关系。
设黑洞的熵为S;史瓦西半径为RB;表面积为A,则有:
;不妨设:
(n为比例常数)
又根据玻尔兹曼公式得:
(w为系统的微观状态数)。
对于普朗克黑洞有:
(3)
(SP、wP、AP分别为普朗克黑洞的熵、微观状态数和表面积)。
(3)中对数的底数取wP时,
,
,
由于
故
所以
(4)
由于史瓦西半径
,黑洞的表面积
;代入(4)得:
(m为黑洞的质量) (5)
下面讨论黑洞熵公式中所引入的玻尔兹曼常数k与自然对数条件下:
(
)玻尔兹曼常数kB之关系。
在推导黑洞熵公式时,由于做了特殊处理,使得
,根据(3)有
,即玻尔兹曼常数k代表普朗克黑洞的熵。普朗克黑洞形成过程中的能量交换全部形成了普朗克黑洞的内能,所以根据熵的定义有:
(6)
其中mc2与TP分别为普朗克黑洞的内能和温度。
宇宙从大爆炸奇点处开始,此时能量、温度均为无穷大。因为小于普朗克尺度和普朗克时间的时空没有意义,而大爆炸的能量密度又符合形成普朗克黑洞的条件。所以我们认为,如果将半径等于普朗克尺度的空间定义为普朗克空间,那么,可讨论的宇宙就是自普朗克时间产生了普朗克空间,同时又在普朗克空间中产生了普朗克黑洞的时刻开始的。此时的温度是普朗克温度。
宇宙的初始状态又可以看做是目前的宇宙系统经压缩而得到的,故可以运用研究系统问题的“分子运动论”和“热力学理论”对其进行分析。
根据分子运动论,理想气体状态方程可写成如下形式 [1] :
其中P、V、T分别为系统的压力、体积与温度;N为分子数。由于
,故有:
(7)
对普朗克黑洞应用(7)则有:
普朗克黑洞可视为只有一个分子的系统,故N = 1则:
将热力学第一定律应用于普朗克黑洞得 [1] :
普朗克黑洞形成过程是一个绝热过程,Q = 0;普朗克黑洞的形成是外界作功之结果,此过程不对外作功。故PPVP取负值。所以有:
;
于是:
那么:
(8)
比较(6)、(8)两式可得:
;于是得:
(自然数)。
这表明黑洞熵公式中的k就是kB,并且自然数e是普朗克黑洞的微观状态数。
3.2. 黑洞的辐射温度
由熵公式的微分形式
得:
;对于黑洞辐射温度TB则有:
根据(5)式得:
所以黑洞的辐射温度:
(9)
由(8)式得普朗克黑洞的辐射温度为:
将数值代入得:
这一温度也称为普朗克温度。
3.3. 黑洞的辐射(霍金辐射)
由于量子效应,空间存在着量子涨落,即瞬间产生正能量粒子和负能量反粒子对并瞬间互相湮灭的现象。
对于负能量的反粒子来说,黑洞相当于一个很陡的正能量势阱。粒子—反粒子对在黑洞边界上产生时,负能量反粒子必然落入黑洞,而正能量的粒子要么一同落入黑洞(这种情况相当于粒子—反粒子对互相湮灭),要么飞向无限远处(落入负能量势阱)与反粒子落入黑洞的事件相抵消。这就相当于黑洞辐射了粒子。
当外界温度高于黑洞辐射温度时,其吸收的能量比辐射的能量多,黑洞逐渐长大,温度随之降低;当外界温度低于黑洞辐射温度时,其吸收的能量比辐射的能量少,黑洞逐渐缩小,温度随之升高并最终剧烈蒸发殆尽(爆炸)。
其它大质量天体(如恒星、白矮星、中子星)对于负能量反粒子来说也相当于一个正能量势阱,但其陡度不够。由于粒子–反粒子对互相湮灭的速度近于光速,这一陡度不足以使反粒子在湮灭前落入其中。
4. 宇宙空间暴胀机制
前已述及,宇宙大爆炸后,于普朗克时间(10−43秒)形成了普朗克空间,同时在普朗克空间内形成了普朗克黑洞。根据这些条件可推测,这之后空间以绝热膨胀的形式扩张,而黑洞则以从空间吸收能量的方式长大,起始温度均为普朗克温度[1032(K)]。这一过程有两种可能的发展模式:
第一种,二者以等温方式同步膨胀。
空间绝热膨胀应满足 [1] :
其中:V表示体积;T代表温度;r为比热容比。
;i为自由度,这里取
,故
。
设空间半径为RS;空间温度为TS
则有:
,
设黑洞史瓦西半径为RB,则:
,
,又根据⑧有:
且:
代入(9)并整理得黑洞温度:
因为:
所以:
(11)
设
;
(a、b为系数,取正数)于是根据(10)、(11)有:
,
由于空间与黑洞以等温方式同步膨胀,故有:
亦即:
,
讨论:1) 当
时,
,
空间半径大于黑洞半径;
2) 当
时,
,
空间半径与黑洞半径相等;
3) 当
时,
,
空间半径小于黑洞半径。
1) 表示空间与黑洞等温同步膨胀,空间半径始终大于黑洞半径;
2) 表示空间与黑洞同步膨胀至半径均等于二倍的普朗克尺度,此时的温度为:
;
3) 表示如果继续膨胀,黑洞的半径将比空间的半径要大,温度也要比空间的温度高。然而这种情况是不可能发生的,此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发,从而致使空间以爆发式增长,即发生暴胀。
在宇宙的初始阶段,空间尚不存在基本粒子,但却存在能量涨落效应。黑洞凭借能量涨落而发生剧烈蒸发。
第二种,二者以等径方式同步膨胀(
)。
至(11)式以上推导过程与第一种相同。
设
(a为系数,取正数) 于是根据(10)、(11)分别有:
(12)
(13)
(12)/(13)得:
。
讨论:1) 当
,
时,
,空间温度高于黑洞温度;
2) 当
,
时,
,空间温度与黑洞温度相等;
3) 当
,
时,
,空间温度低于黑洞温度。
(1)、(2)两种情况说明,空间与黑洞等径膨胀直至
;
(3)表明,如果继续膨胀,空间温度将低于黑洞温度,此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发,从而使空间的爆发式增长,以至发生暴胀。
两种发展模式都证明,当空间与黑洞半径增长至二倍普朗克尺度时,黑洞的剧烈蒸发导致宇宙空间发生暴胀。
5. 结论
1) 普朗克尺度
。
2) 黑洞的熵
,其中的玻尔兹曼常数k就是自然对数条件下(
)的玻尔兹曼常数kB;黑洞的辐射温度
。
3) 普朗克黑洞的熵等于自然对数条件下的玻尔兹曼常数,即
;普朗克黑洞的微观状态数等于自然数,即
。
4) 黑洞可通过空间的量子涨落而产生辐射。
5) 宇宙原始空间与黑洞的相互作用使空间发生暴胀。