1. 引言
无穷维Hamilton算子是形如
的稠定分块算子矩阵,其中B,C是自伴算子,
是A的共轭算子。一般情况下无穷维Hamilton算子是非自伴算子,且与J-自伴算子U-标算子等几类非自伴算子比较而言,它的谱要复杂得多。因为无穷维算Hamilton子的剩余谱不一定是空集,比如令无穷维Hamilton算子
其中
,
经计算得剩余谱非空(见文献 [1] 的例4.1.6).值得注意的是无穷维Hamilton算子在钟万勰院士创立的弹性力学求解新体系中有重要的应用(见文献 [2] ),其理论基础是无穷维Hamilton算子的辛自伴性问题(见文献 [3] )。刘景麟作者给出了J对称算子的J自伴延拓的问题(见文献 [4] ),一般情况下无穷维Hamilton算子是辛对称算子,不一定辛自伴,所以为了解决何时为辛自伴的问题,需要解决无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性和唯一性问题。据我们所知,一般对称算子的自伴延拓是不一定存在的,比如,令
,
对
定义为
,
则A是对称算子,A没有自伴延拓(见文献 [5] )。即使存在,也不一定唯一。比如,令
,其中
,
则易得T是对称算子。对任意
,定义算子
,其中
,
则每个
都是T的自伴延拓(见文献 [5] )。因此自然产生一个疑问,无穷维Hamilton算子的辛自伴延拓也是否会不应定存在呢?如果存在,何时唯一呢?本文利用空间分解的方法,引入全新的内积和正交结构,给出了无穷维Hamilton算子满足一些条件时,则存在辛自伴延拓的结论,进而给出了辛自伴延拓唯一的条件。
2. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性
本节利用空间分解的方法,引入全新的内积和正交结构,给出了闭的辛对称算子满足一定的条件时,存在辛自伴延拓。
2.1. 预备知识
定义2.1.1.设J是定义在Hilbert空间上的线性映射满足
。上述定义的算子能诱导辛结构,所以也称辛算子。
定义2.1.2.设H是稠定的线性算子,定义域为
,对任意
,如果
则称H为辛对称。
引理2.1.1. H为辛对称的充要条件是
。
证明:当H为辛对称算子时,对于任意
,任意
有
所以
且
,即
。
当
时,对于任意
,
所以H为辛对称。
引理2.1.2. H为辛对称的充要条件是
。
证明:当H为辛对称算子时,对于任意
,因为H为辛对称,所以
所以
,且
,所以
。
当
时,对于任意
,
,所以
,
,且
所以
,即为H辛对称。
引理2.1.3.
是闭线性算子。
证明:由
是闭算子且J是可逆算子;结论易证。
推论1.如果H是辛对称,则H的闭包
也是辛对称的。
证明:因为H是辛对称,所以
,所以
。以下讨论中,假设所考虑的辛对称算子是闭的。如果B是H的辛对称延拓,则
。由于
,所以
因此H的辛对称延拓是
在某个含
的
的字空间上的限制,我们在
上引进内积
不难证明
是个Hilbert空间,考虑到
是闭算子,其中
和
是
内积意义下的直和与正交,于是
。
引理2.1.4.设H是闭的辛对称算子,
。
证明:对于任意
,
,有
,即
所以
,由共轭算子的定义,
且
,即
。
对于任意
,
,
所以
,综上所述
。
定义2.1.3.记
。
引理2.1.5.H为辛对称的充要条件
。
证明:H为辛对称,所以
所以
。
引理2.1.6.设H是辛对称闭算子,则
的充要条件是
,且
,对于任意
。
证明:当H为辛对称,
时,对于任意
有
当
,且对于任意的
,有
,
即
且
。
引理2.1.7.设B是辛对称闭算子H的延拓,满足
,则存在唯一的子空间
,使得
。
证明:记
,则K是
的一个线性子空间,所以
。
另外,对于任意
,由直和分解
知
,所以
,即
。
定义2.1.4.设子空间
,则称
为
K的辛共轭子空间。若
,则称K为辛对称的。若
,则称K为辛自伴的。
定义2.1.5.辛对称算子H成为辛自伴的,如果
。
引理2.1.8.设B辛对称算子H的延拓,满足
,
,则
(i) B为辛对称
K为辛对称;
(ii) B为辛自伴
K为辛自伴。
证明(i)当B为辛对称时,对于任意
,有
,故
,所以
,即K为辛对称。当K为辛对称时,对于任意
,其中
,
,则
故B为辛对称。
(ii)当B为辛自伴时,
,所以对于任意
,
,有
。对任意
,
,由B是辛自伴可知
,即
即
,
,因此
,所以
,即K为辛自伴。
因为
,对于任意
,令
,
,
,对于任意
,
,
因为B为辛对称,所以
,所以
,即
,所以
,所以
,所以
,所以
,所以B为辛自伴。
2.2. 主要结果及证明
定理2.2.1. H为闭的辛对称算子,如果
,则H有辛自伴延拓,其中
。
证明:我们只要证明
存在辛自伴的子空间K即可,取
,因为
,所以
为辛对称,考虑所有含
的
的辛对称子空间按集合包含关系组成的偏序集,显然它的任一个全序子集都有上界,由Zorn引理,此偏序集合有最大元K。
下面证明K是辛自伴的,若不然,设
,令
,对任意
,有
所以
为辛对称与K是最大元矛盾,所以K为辛自伴。
推论2. H是闭的辛对称算子,如果
是单射,则H存在辛自伴延拓
3. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的唯一性
上节得出了闭的辛对称算子满足一定的条件时有辛自伴延拓,但是否唯一不得而知。本节讨论一类
特殊的辛对称算子—无穷维Hamilton算子,并规定
,其中I为单位算子。显然满足
。当无穷维Hamilton算子H是闭算子时,JH是闭的辛对称算子,故在一定条件下存在辛自伴延拓,本节得出了辛自伴延拓唯一的条件。
3.1. 预备知识
定义3.1.1.如果无穷维Hamilton算子
满足
,其中
,则称辛
自伴无穷维Hamilton算子。
引理3.1.1.设
是Hilbert空间X中的稠定线性算子,当
时,
有界当且仅当
,则
有界且
,于是
。反之,如果
在
上有界,则
是全空间上定义的有界算子,而且有
,因此
。
3.2. 主要结果及证明
定理3.2.1.设
是无穷维Hamilton算子,如果
,
且
是自伴算子时,H存在唯一的辛自伴延拓。
证明:考虑到
,易得
,
又因为算子
与
有界且在全空间上可逆,算子
。当
是自伴算子时,
,
所以
,因此H存在唯一的辛自伴延拓。
推论3. 设
是无穷维Hamilton算子,如果
,
且
是自伴算子时,H存在唯一的辛自伴延拓。
定理3.2.2. 设
是无穷维Hamilton算子,当
时,
无穷维Hamilton算子存在辛自伴延拓;进一步,当满足下列条件之一:
(i)
,
,
;
(ii)
,
,
时,则H的辛自伴延拓唯一。
证明:首先证明
,假定H不存在有界逆,则存在正交化序列
使得
,进而得
第一式与
作内积,第二式与
作内积后两式相加得
,
由于
是非负算子,从而有
由于
是自伴且非负算子。故存在唯一的平方根算子
和
进而得
当
时,
和
的平方根算子分别记为
和
则
这与
矛盾,因此H下方有界,于是由 [6] 的定理8.8可知,H存在辛自伴延拓。
其次证明
:
(ⅰ)当
,
,
时,
可逆,于是对于任意
,取
,则有
,
所以
,即H是辛自伴,因此H的辛自伴延拓唯一。
同理可证当
,
,
时,H的辛自伴延拓唯一。
同理可证如下结论
定理3.2.2. 设
是无穷维Hamilton算子,当
时,
无穷维Hamilton算子H存在辛自伴延拓;进一步,当满足下列条件之一:
(i)
,
,
是有界线性算子,
;
(ii)
,
,
是有界线性算子,
时,则H的辛自伴延拓唯一。
基金项目
国家自然科学基金(11561048, 11371185);内蒙古自然科学基金(2015MS0116)。