1. 引言及主要结果
宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念,并给出了Sobolev函数类
到
上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954年,Stechkin [3] 研究了在
特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年,Tikhomirov [4] 给出了宽度
的精确渐近阶。此后两年,Pietsch [5] 和Stein [6] 研究了在一般情形下,
时Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年,Ismagilov [7] 研究了当
时的精确渐近阶估计。1985年,Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。王桐心 [9] 给出了无穷维恒等算子的在最坏框架下的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子在概率框架下的Kolmogorov
-宽度。
首先,我们给出需要用到的基本定义和记号。
定义1.1 [8]:设W为赋范性线性空间
的一非空子集,
,称
为W在Y中的Kolmogorov n-宽度,其中
取遍Y中的维数不超过n的所有线性子空间。
定义1.2 [8]:设
为两个赋范线性空间,其范数分别为
与
,T是X到Y的有界线性算子。记
,
称
(1)
算子T的Kolmogorov n-宽度,其中
表示X的单位球,即
。
定义1.3 [10]:设B为W的全部开子集所生成的Borel域,在B上赋予概率测度
,即
为定义在B上的σ-可加的非负函数,且有
,令
,
则称
为W在
中的Kolmogorov概率
-宽度,其中
表示取遍B中所有测度不超过
的子集。
并称
(2)
为算子Kolmogorov
-宽度,其中
表示取遍B中所有测度不超过
的子集,
取遍Y中的维数不超过n的所有线性子空间。
设
,令
可知
为
上的一个范数,且
为Banach空间,且
当时,
,而
。
故而可知:无穷维恒等算子是
的有界线性算子,而不是
到
的有界线性算子。
对于
,令
则可知,
为
上的范数,且
为Banach空间,记
为
中的单位球。
令
时,对
由Hȍlder不等式:
因此
,于是无穷维恒等算子定义为:
则
为
到
上的有界线性算子。
本文利用离散化的方法讨论了概率框架下无穷维恒等算子的Kolmogorov
-宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即
定理1:设
,则
其中,符号“
”的定义如下:假设
是和参数
有关的非负常数。对两个正函数
和
,
,如果存在正常数
满足条件
,则记
。若存在正常数
满足条件
,则记
,若
且
,则记。
2. 主要结果的证明
首先介绍有限维空间的Kolmogorov
-宽度的相关结论。
令
。
设
,
则
为
上的范数,
表示
按范数
所构成的Banach空间。
记
为
的单位球,则易知
为
的基,其中
引理1 [8] [10]:(1)设
,则
,则有
.
首先建立离散化定理:
定理2:设
,
,非负整数序列
满足,且
。则
.
为了证明定理2,我们先介绍一些记号:对
,其中
,记
,则
,且
,有
,用
表示
中元素的个数,则
。
,有
这里 ,且
为
的Schauder基。
对于
,记
,则
。
令
则,有
(1)
且
(2)
从而
为
到
上的等距同构映射。
据Gaussian测度
的定义,在
中赋予标准Guassiam测度
对
,记
,
为所对应特征向量,
。
则可知:
记
于是
。
下面我们来估计定理2的上界:
即:设
,n为自然数,则
,对任意满足条件
的数列
,这里
,有
证明:
,
,有
由(2)式有
对于
,由Kolmogorov-
宽度的定义,可知存在
上的一个秩不大于
的恒等算子
,使得
对于
,有
令
由Gaussian测度
和标准Gaussian测度
的定义可得
令
,则
从而有:
现在,我们再来估计定理2的下界:
即:设
,则有
其中
。
证明:
,对
,则有
由
为
到
上的恒等算子,有
其中
。
设
,则有
所以
即:
综上可知,定理2得证。
有了离散化定理2,下面我们来证明本文的主定理即定理1。
证明:首先建立数列:
,
其中
且
,则
下面我们来证明定理1的上界:
即得到定理的上界
下面再来证明主定理1的下界:
设
,则
,且
于是
于是得到
.
综上可知,定理1得证。
参考文献