1. 引言
CPI与PPI作为我国价格体系中的两大核心指标,从构成上看既有相交也有相离。当构成的商品和服务价格发生变化时,会引起CPI与PPI的关联性波动,可能是同向的,也可能是反向的。对两者之间相关关系进行度量及分析,有利于我们定量刻画经济过热或紧缩的发展趋势,为政府制定经济政策提供可靠的依据和建议。考虑到CPI与PPI数据的本质非线性相关,Pearson相关系数是不合适的,取而代之的是选用能够更加精细、全面、灵活刻画相关关系的Copula函数来研究CPI与PPI之间的相依性。
我国学者对Copula函数的研究始于文献 [1] ,该文献对Copula理论应用在金融领域的可行性进行分析,并在我国股票市场进行了应用研究。文献 [2] 对金融时间序列时变的相依性结构用Copula理论进行刻画。文献 [3] 利用Pair Copula-GARCH模型研究了我国商业银行的经营风险。文献 [4] 利用贝叶斯估计方法,通过对沪深股市的实证研究,发现基于贝叶斯方法的Copula相关结构具有时变性。文献 [5] 建立了信用风险相关性度量的Copula模型,对信用风险的相关性变化进行描述。
本文利用Copula函数对2011年1月至2016年12月全国月度同比CPI与PPI数据的相关性进行分析。相比之前的研究,在样本数据的采集过程中,主要考虑金融危机爆发后,经济逐渐恢复平稳的CPI与PPI数据,这样更有利于反映当下的经济发展形势。其次,由于金融数据具有尖峰厚尾的性质,所以通过非参数估计法来确定CPI与PPI各自的边缘分布而不是指定拟合的边缘分布。在选择Copula函数时,将选择范围从椭圆族扩大到Archimedean族,以便于更精细地刻画CPI与PPI之间的相关关系。最后,利用经验Copula来代替
检验统计量对数据进行拟合优度检验,这也更加符合实际观测数据。
2. Copula理论及其相关性度量
1959年,Sklar初次提出Copula理论,并指出可以将
维联合分布函数分解为
个边缘分布函数以及一个Copula函数,这个Copula函数可以细致、全面地刻画随机变量之间的相关结构。由于Copula函数具有将联合分布与边缘分布结合在一起的性质,有人也把Copula函数称之为“连接函数”。本节介绍Copula函数的基本概念及一系列基于Copula函数的相关性度量。
2.1. Copula函数的概念与性质
这里我们给出有关Copula函数的基本概念和有关性质 [6] 。
定义1:称满足以下条件的函数
为二元Copula函数:
① 定义域为
;
②
有零基面,即
;并且是二维递增的,即对于任意
,
,有
;
③ 对于任意
,满足
,
。
由定义可知:
是一个边缘分布为
的二元联合分布函数,且对于定义域内的任意一点
均有:
。
定理1:(二元分布的Sklar定理)令
为具有边缘分布
的二元联合分布函数,则存在一个Copula函数
,满足
(1)
若
是连续函数,则
是唯一确定的;反之,若
为一元分布函数,
是一个Copula函数,由(1)式确定的
是具有边缘分布
的二元联合分布函数。
二元Copula函数有如下基本性质。
①
关于每一个变量都是单调非减的,也就是说,如果保持一个变量不变,那么
的值也将会随着另一个变量的增大而增大。
② 对任意的
,有
。
③ 对任意的
,令
,
,则有
称
和
分别为Fréchet上界和下界。
④ 若
独立,且服从
,则
,记
。
⑤ 对变量
做严格递增的连续变换
,有
,其中
表示连接
的Copula函数;
表示连接
的Copula函数.
2.2. 常用的Copula函数
Copula分布作为一类连接函数,包含很多分布族,其中椭圆Copula函数族和Archimedean Copula函数族是最为常见的两个分布族。椭圆Copula函数族中主要有Gaussian Copula函数和t-Copula函数,而Archimedean Copula函数族中主要有Gumble Copula、Glayton Copula和Frank Copula函数,由于这些Copula具有厚尾的特征而在金融领域得到广泛应用。
二元Gaussian Copula的分布函数为
(2)
其中,
是标准正态分布函数
的逆函数。
自由度为
的二元t-Copula的分布函数为
(3)
其中,
是自由度为
的标准
分布函数
的逆函数。
二元Gumble Copula、Clayton Copula、Frank Copula的分布函数分别为
(4)
2.3. 基于Copula函数的相关性度量
Copula函数作为刻画变量间相依性结构的工具,在度量具有非线性关系的变量之间的相依性结构时具有明显的优势,因此产生了一系列基于Copula函数的相关性度量。基于Copula函数的度量包括Kendall’s
,Spearman’s
,尾部相关系数
等。
1) Kendall秩相关系数![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x73_hanspub.png)
令
和
是独立同分布的随机变量,若
,称
和
是一致的;若
则称
和
是不一致的。
Kendall’s秩相关系数
的一般形式为:
![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x83_hanspub.png)
若随机变量
的边缘分布分别为
,相应的Copula函数为
,则Kendall’s秩相关系数
可由相应的Copula函数
给出:
2) Spearman’s秩相关系数
设
独立同分布的随机变量,Spearman’s秩相关系数
的一般形式为:
![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x93_hanspub.png)
若随机变量
的边缘分布分别为
,相应的Copula函数为
,则Spearman’s秩相关系数
可由相应的Copula函数
给出:
3) 尾部相关系数
尾部相关性是人们在金融风险中比较关心的,包括上尾相关和下尾相关。令
为连续的随机变量,具有边缘分布
和Copula函数为
,如果
存在,
,
为生存Copula函数,则称
上尾相关;
时,称
在分布上尾渐近独立。同样地,如果
存在,
时,则称
下尾相关;
时,称
在分布下尾渐近独立。我们把
统称为尾部相关系数,且
。
3. CPI与PPI相关性的实例分析
3.1. 边缘分布的确定
采用2011年1月至2016年12月全国月度同比
与
数据。令
分别表示CPI与PPI,为了确定
的分布类型,首先分别做出CPI与PPI的频率直方图,如图1所示。
![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x122_hanspub.png)
Figure 1. Curve: CPI and PPI frequency histogram
图1. CPI与PPI的频率直方图
表1给出了CPI与PPI的描述性统计量的值。通过图1和表1可以看出,CPI与PPI均呈现出非正态分布的特征,初步可以判断这两个变量不服从正态分布。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. Descriptive statistics of CPI and PPI
表1. CPI与PPI的描述性统计量
下面用jbtest、kstest和lillietest函数分别对
进行正态性检验,结果由表2给出。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 2.Test results of CPI and PPI normality
表2.CPI与PPI的正态性检验结果
对
进行检验的结果为:
,说明
的分布非正态,在已知的分布族中也难以找到适合者。因此,在估计
的分布时,采用核密度估计的方法。图2给出了CPI与PPI的核分布估计图。
3.2. Copula函数的选取及参数估计
在确定了
的边缘分布
和
的边缘分布
之后,根据
的直方图选取Copula函数。图3给出了CPI与PPI的二维频率直方图,即Copula密度函数的估计。
![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x134_hanspub.png)
Figure 2. Curve: The core distribution of CPI and PPI is estimated
图2. CPI与PPI的核分布估计图
![](//html.hanspub.org/file/6-2580460x135_hanspub.png)
Figure 3. Curve: Binary histogram of marginal distribution of CPI and PPI
图3. CPI与PPI的边缘分布的二元直方图
在选择Copula函数形式时,我们考虑选择用椭圆Copula函数族中的Gaussian Copula函数和t-Copula函数,或者选择Archimedean Copula函数族中的Frank Copula函数来刻画变量呈现对称尾部的特质;用Archimedean Copula函数族中的Gumble Copula和Glayton Copula,或者选择混合Copula函数来刻画非对称的尾部特质。图3可以看出,
的尾部较为对称,所以初次尝试选用椭圆族中的Gaussian Copula函数或t-Copula函数来拟合CPI与PPI的相关关系。随后再选取Archimedean Copula族中的Gumble Copula、Glayton Copula或Frank Copula来拟合CPI与PPI的相关关系。Copula模型中参数的估计值由极大似然估计得到。
估计的
代入(2)式,得到Gaussian Copula函数为:
估计的
代入(3)式,得到t-Copula函数为:
估计的
、
、
代入(4)式,得到Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula函数分别为:
计算CPI与PPI原始观测数据的
。同时,分别计算出Gaussian Copula、t-Copula、Gumble Copula、Glayton Copula、Frank Copula对应的
,对比结果如表3所示。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 3.Kendall’s rank correlation coefficient, Spearman’s rank correlation coefficient and tail correlation coefficient
表3. Kendall’s秩相关系数、Spearman’s秩相关系数、尾部相关系数
原始数据求得的
与五种常用Copula求得的
对比发现,在反映CPI和PPI的秩相关性上,Gaussian Copula的
与原始观测数据的
接近程度会更好些,说明Gaussian Copula能较好地刻画CPI与PPI之间的秩相关性。
在刻画尾部相关性时,Gumbel Copula在分布上尾处的相关系数
,Clayton Copula在分布下尾处的相关系数
,效果要优于t-Copula的尾部相关系数
。
3.3. Copula函数模型的评价
在建立好模型之后,要对Copula函数模型进行拟合优度的评价,所用的方法是基于欧式平方距离准则,选择与经验Copula之间距离最小的Copula函数作为最优。以Gaussian Copula为例:
其中,
为经验Copula函数。
表4给出了不同Copula函数在基于平方欧式距离下与经验Copula函数的距离。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 4. Fitting evaluation of Copula function of CPI and PPI
表4. CPI与PPI的Copula函数的拟合评价
基于距离评判准则给出了最优Copula是与经验Copula之间距离最短的。因为
,所以Gumble Copula更能拟合CPI与PPI的原始观测数据间的关系。
基金项目
本文受宁夏回族自治区研究生教育创新计划示范课程建设项目“数理统计引论”资助,项目编号为YKC201603。
NOTES
*通讯作者。