1. 引言
由于分数计算理论和应用的快速发展,分数阶微分方程引起数学爱好者的极大兴趣。其主要应用于流体力学、分数控制系统、神经分数模型、力学、物理学、黏弹力学、化学工程和经济等方面。分数计算理论是解决微分、积分方程及其它特殊方程的有效工具。
但是分数阶微分方程边值问题的研究还处于初级阶段,尤其是无穷区间上的分数阶微分方程边值问题尚不多见。在以往的参考文献中,多是以下积分边值条件的模型。 [1] 中,赵和葛研究了无穷区间上的分数阶边值问题
其中,
,
是Riemann-Liouvill分数阶导数。
[2] 中,Nieto研究了以下边值问题
其中,
。
分别是Riemann-Liouvill分数阶导数和Caputo分数阶导数。
然而,据作者所知,到目前还没有文献研究以下无穷区间上的分数阶边值问题
(1.1)
(1.2)
其中
。
。
和
分别是Riemann-Liouvill分数阶导数和分数阶积分。
当
时,问题(1.1) (1.2)是
阶多点边值问题,很多文献已做过研究,如 [3] [4] [5] [6] 。
本文应用非线性抉择定理和Banach压缩映像原理研究边值问题(1.1) (1.2)的解的存在性和唯一性。
本文结构如下:第二部分给出背景材料和预备知识;第三部分给出所研究问题(1.1) (1.2)的解的存在性和唯一性;最后给出例子说明我们的主要结论。
2. 预备知识
定义2.1 ( [7] )函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶积分为
其中
,
为gamma函数。
定义2.2 ( [7] )函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶导数为
其中
,
为gamma函数,
。
引理2.1 ( [7] )设
,则
引理2.2 ( [7] )若
,则分数阶微分方程
当且仅当
其中
,其中
是大于等于
的最小整数。
引理2.3 ( [8] )若
,存在
使得
其中
,
。
定义空间
模为
。
定理2.1 ( [9] )设
是一个实Banach空间,
是
中的有界开子集,
是一个全连续算子。则
,或存在不动点
。
引理2.4 ( [9] )
是Banach空间。
证明:设
是空间
中的Cauchy序列,则对
,
当
,
,有
,则
一致收敛于
及
。并且
一致收敛于
,并且
。
接下来证明
。
令
,则对于常数
,
当
时,有
令
,
,易得
。于是对
,有
其中,
是Beta函数。根据
的一致收敛性及Lebesgue控制收敛定理,可得
当
时,有
所以,
是Banach空间。
注意到Arzela-Ascoli定理不能在空间
中使用,为此,引入以下改进的紧凑型标准。
引理2.5 ( [10] )设
是有界集,那么,当下述条件成立时,
在
中是相对紧的:
(i) 对
,
和
在
的任何紧区间上是等度连续的。
(ii) 对于给定的
,
常数
,
对
,有
3. 主要结论
令
假设以下条件成立:
(H1)存在非负函数
(H2)假设
。
引理3.1 假设(H1) (H2)成立。问题(1.1) (1.2)等价于积分方程
(3.1)
证明:由条件(H1),
所以(3.1)定义有意义。
根据引理2.3,
(3.2)
由条件(1.2),可得
(3.3)
(3.4)
将(3.3) (3.4)带入(3.2),得
(3.5)
定义积分算子
(3.6)
引理3.1证明算子
的不动点就是问题(1.1) (1.2)的解。
引理3.2 假设(H1) (H2)成立。则
一致连续。其中
,
证明:第一步:证明
是相对紧的。
方便起见,在这一步中,记
设
是
中的子集,
是一个紧区间,
,则对
,有
且有
注意到对
,有
在
中有界。
故得
在
中一致连续。
接下来证明对
,有
满足引理2.5的条件(ii)。
根据条件(H1),
于是,对
,存在常数
,使得
(3.7)
另一方面,因为
,故
,有
(3.8)
类似地,因为
,故
,有
(3.9)
令
,则对
,根据(3.7)~(3.9),可得
且有
根据引理2.5知,
是相对紧的。
第二步:证明
连续。
设
,且当
时,有
,则
且有
根据Lebesgue控制收敛定理,
连续。
综上,
全连续。
定理3.1 设(H1),(H2)成立,则边值问题(1.1) (1.2)至少有一个解
。
证明:
如引理3.2中定义。设
,则
且有
故
得到
这与
矛盾。根据引理1.1,
中存在一个不动点。故问题(1.1) (1.2)在
中至少有一个解。
定理3.2 设(H1),(H2)以及下面的(H3)成立,则边值问题(1.1) (1.2)有唯一解
。
(H3)存在非负函数
使得
及
成立。其中
。
证明:对
,有
因为
,所以
收敛。根据Banach不动点定理,可得
有唯一不动点。故边值问题(1.1) (1.2)有唯一解。
4. 应用
例4.1 考虑边值问题
其中,
因为
通过简单计算可知,
故定理3.1的条件成立。所以边值问题(1.1) (1.2)至少有一个解。
基金项目
安徽省自然科学基金项目支持(KJ2016A071);校质量工程项目支持(2016xjjyxm04)。