1. 引言
不确定性广泛存在于如工程、社会、管理和经济等许多实际问题中。相较于概率论、模糊集 [1] 、粗糙集 [2] 和直觉模糊集 [3] 等传统解决不确定性问题的数学工具,软集合理论 [4] 在处理不确定性问题方面具有得天独厚的优势。目前,许多学者致力于软集理论和应用方面的工作。理论方面工作主要集中在软运算 [5] [6] [7] 、软关系 [8] 、相等测度 [9] [10] [11] ,和软代数结构 [12] [13] [14] 等。在应用方面,软集广泛被应用到决策 [15] 和预测 [16] 等。
近来,有学者将软集应用到R0-代数的滤子理论研究上 [17] 。众所周知,目前大多数学者都接受剩余格 [18] 是一种宽泛的模糊逻辑代数,R0-代数 [19] 等都可以看作是剩余格的特例。因此,本文将在剩余格上深入研究交软滤子的相关性质,如全体交软滤子的格结构,以及它们与全体交软同余之间的对应关系等。这些结论的获得不仅丰富了剩余格的滤子理论,而且扩大了软集的应用。
2. 预备知识
定义2.1 [18] :代数如果满足条件
(1)是有界格;
(2)是交换幺半群;
(3)构成伴随对,即当且仅当,则称为剩余格。
为了方便,约定。
定理2.1 [19] :设为剩余格。则对任意有
(1);
(2);
(3) 如果,那么且;
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10),其中。
设为论域上的参数集,称偶对为软论域。记为的幂集。
定义2.2 [4] :设为软论域,映射,如果对任意的,,都有,则称为是上的一个软集。
定义2.3 [4] :设和分别为上的软集。若,则称是的软子集。
定义2.4 [4] :设和分别为上的软集。和的交集和并集分别定义为:,。
3. 交软滤子及其格结构
本节引入剩余格上交软滤子的概念,验证所有交软滤子构成有界分配格。
以下假设为软论域上所有软集的集合,其中为剩余格,为论域。
定义3.1:设,如果
(2),
则称为剩余格上的交软滤子。
例3.1:设满足。定义上运算和如下:
,
设,定义满足且,则容易验证为交软滤子。
文献 [17] 给出交软滤子如下刻画,结合剩余格性质,不难发现其证明都是基于剩余格的基本性质,因此可以类似的推广到剩余格。
定理3.1:设,则为交软滤子当且仅当以下条件成立:
(1)蕴含;
(2)。
定理3.2:设,则为交软滤子当且仅当蕴含。
记软论域上的所有交软滤子的集合为。以下结果是显然的。
定理3.3:设为交软滤子,如果,那么。
定义3.2:设,称包含的所有交软滤子的交为由生成的交软滤子,记为。
定理3.4:设,定义,其中,则。
证明:设满足,由定义有。对,有如下包含关系:
因此为交软滤子。设为交软滤子满足。由交软滤子定义有
所以。
例3.2:从上述定理不难发现例3.1中。
定理3.5:设为交软滤子且。定义为
则为交软滤子。
证明:设。如果,那么。由的定义有
设。考虑如下情形:
情形1:。如果和之一等于1,不妨设,那么。所以
。
如果或者,矛盾。
如果,则有
情形2:。显然,不可能有。
如果或者,明显地,。
总之,有。所以为交软滤子。
定义3.3:设和为软集,定义如下:
定理3.6:设和为交软滤子。则有
证明:首先证明为交软滤子。
显然,是保序的。所以是交软滤子。
容易验证,因此有。
最后,假设是交软滤子,满足如果,则有;如果,则有
设为交软滤子,定义如下运算:
则有如下结果:
定理3.7:是有界分配格。
证明:只证分配性。
显然,,下证。设。如果,那么
设,容易验证,则上式可表示为
所以,即分配性成立。
4. 交软同余
本节引入交软同余概念,讨论其性质及其与交软滤子之间的关系。
定义4.1:设为上的软集,如果
(3);
(4),其中,
则称为上的交软同余。
给定交软滤子,定义
定理4.1:设是的交软滤子,则是交软同余。
证明:由容易验证,故略。
设为上交软同余且。定义
称其为的交软同余类。称为由确定的商集。
定理4.2:设为上交软同余,则为的交软滤子。
证明:由定义4.1(3)有
所以。由定义4.1(3)和(4)有
。所以为交软滤子。
定理4.3:设为的交软同余,那么对任何有
证明:由定义4.1(4)有
由定理2.1(1)和(10)有
因此。
类似地,。所以
因此等式成立。
定理4.4:设为的交软同余,那么
证明:由定理4.3有
定理4.5:设为的交软滤子,则。
证明:容易验证,故略。
由定理4.4和4.5不难验证如下结果:
定理4.6:交软滤子的全体和交软同余之间存在一一对应。
定理4.7:设为的交软滤子,那么当且仅当。
证明:对任意,假定,则有
特别地,令,有。
反之,由定理2.1(10)有
所以。类似地,。所以,即。
设为的交软滤子。对任意定义如下运算:
定理4.8:设为的交软滤子,则
为剩余格,称为由交软滤子诱导出的商剩余格。
5. 结束语
本文引入了剩余格上的交软滤子,讨论了它们的一些性质。特别地,证明了所有交软滤子构成有界分配格;在交软滤子和交软同余之间存在一一对应;剩余格相对交软滤子诱导出商剩余格。
作为本文的进一步研究,我们将结合文献 [20] 引入剩余格上各种类型具体的交软滤子,将软集应用到决策和数据分析上。
基金项目
临沂大学大学生创新创业训练项目(No. 201510452106);山东省自然科学基金(No. ZR2013FL006)。
参考文献