1. 引言
本文我们主要研究Banach空间E中P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:
(1)
其中,是E中的零元,是实数,记作实数的整数部分,是常数满足,,是P-Laplacian算子,即:,,,其中,是Caputo导数,,是连续的。
多孔介质中的湍流是一个基本力学问题,为研究此类问题,Leibenson引入了下列带有P-Laplacian算子的微分方程:
. (2)
对微分方程(2)的研究具有非常重要的理论和实际意义,因此受到了广大学者的广泛关注,得到了许多有关微分方程在具有不同边值条件下的显著结果(见文献 [1] [2] [3] [4] )。随着研究的深入,人们开始关注非整数阶微分方程的边值问题,但是有关带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究结果还是很少的。
2010年,文献 [5] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:
其中,利用上下解的方法,作者得到了至少一个正解的存在性结果。
2013年,文献 [6] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:
其中。由格林函数的性质及Guo-Krasnosel’Skii不动点定理,得到了正解的存在性及多重性的结果。
受以上文章启发,本文主要研究分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性。与以往研究成果相比,本文我们所考虑的边值问题具有以下创新点。第一,我们是在Banach空间中研究边值问题(1)解的存在性。第二,本文中使用的主要工具是Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理,得到了解的存在性结果。最后,我们研究的微分方程带有P-Laplacian算子,特别是在Banach空间中,此类问题的研究成果尚不多见,因此研究边值问题(1)解的存在性是必要的。
2. 预备知识及主要引理
首先定义以下空间:
,
.
易见,空间和分别赋予范数,时,是Banach空间,其中。
本文的基本空间是。
下面给出本文用到的一些概念和引理。
定义1 [7] 函数的阶Captuto导数定义为:
,
其中,是实数的整数部分,右端在上是逐点定义的。
定义2 [8] (Kuratowski非紧性测度)令E是实Banach空间,S是E中的有界集,称
为集合S的非紧性测度,其中是的直径。显然。
对Banach空间E中的任意有界集D,记为E的Kuratowski非紧性测度。下面分别记空间、、中的有界集的Kuratowski非紧性测度记作、和。
定义3 [8] 令和是实Banach空间,,是连续有界的算子,
1) 如果存在常数,对E中的任意有界集S,使得,则称A是k-集压缩映像。当时,则称A为严格集压缩映像。
2) 如果对E中任意非相对紧的有界集S,有,则称A是凝聚映像。
为描述方便,列出以下条件:
(H1) 存在非负函数,使得对任意,有
,
;
(H2)对任意,,在上是一致连续的,其中
;
(H3) 存在满足,使得对任意,E中的有界子集,有
其中
,
,
.
引理1 [8] (Schauder不动点定理) 令K是Banach空间E中的有界闭凸子集,T是K到其自身内的任一全连续映像,则T在K内至少有一个不动点。
引理2给定,若,则边值问题:
(3)
有唯一解
.(4)
证明:由(3)知。
对上式两边积分及得
, (5)
对上式求导得
因此
,
.
再由边值问题(3)的边界条件,可得
, (6)
. (7)
将(6)、(7)代入(5),可得(4)成立。
引理3假设条件(H1)成立,则边值问题(1)等价于下面的积分方程:
证明:引理3 的证明类似于引理2,在此略去。
对任意,定义算子T:
. (8)
注1:引理3 说明边值问题(1)解的存在性等价于算子T的不动点的存在性。
引理4假设条件(H1)和(H2)成立,则算子是连续有界的。
证明:首先,由(8)知
. (9)
由(H1)知,,因此在I中是有界的,即存在正常数A和B,使得,。,即:。再由(9)知
. (10)
由(8)知
. (11)
因此
.(12)
由(10)和(12)知,是良定义的并且。
其次,算子将中的有界集映成有界集。下面仅需证明对任意,存在正常数,使得对任意,其中,有。令
,
.
根据(H1)和(9)知
. (13)
根据(H1)和(12)知
. (14)
由(13)和(14)知,算子将中的有界集映成有界集。
最后证明算子在中连续。令,。因此是中的有界子集,即:存在常数,使得对任意,有,取极限得,。另外,由(8)知
. (15)
由(H2)知,对任意,存在,使得当时,有
, (16)
因此,对任意,,当时,有
. (17)
同理,对任意,,当时,有
.
所以
,
即:是连续的。引理得证。
引理5假设条件(H1)成立并且是中的有界集,则和在上是等度连续的。
证明:为了证明和在上是等度连续的,仅需证明下面的结论即可:
a) 对任意,,存在,使得对任意,当时,有
;
b) 对任意,,存在,使得对任意,当时,有
.
首先证明在上是等度连续的。事实上,由条件(H1)知
.
由的有界性,存在,使得对任意,有。对任意,不妨假设,再由(8)及关于的单调性知
.
令
,
因此对任意,,当时,有
.
当时,同理可证上式成立。所以在上是等度连续的。
其次证明在上是等度连续的。对任意,,不妨假设,由(11)知,
令
因此对任意,,当时,有
.
当时,同理可证上式成立。所以在上是等度连续的。
综上所述,引理得证。
引理6假设条件(H1)成立并且是中的有界集,则
.
3. 主要结果
下面给出边值问题(1)解的存在性。
定理1 假设(H1)-(H3)成立,则边值问题(1)在中至少有一个解。
证明:我们仅需证明算子在中至少有一个不动点即可。由(H1)知,我们可以选择实数,使得
.
令
.
首先证明。事实上,对任意,由(8)知
. (19)
同理可证,。由引理4知,。令,即:是在中的凸闭包。显然,是的非空有界凸闭包。由引理5知,和在上是等度连续的,再由的定义知,和在上是等度连续的。
下证算子是由映到的严格集压缩映像。由,,根据引理4知,是有界连续的。最后证明对任意,有成立,其中
.
事实上,由引理6知,我们仅需证明
, (20)
. (21)
先证(20)成立。由(H2)及的定义知在上是等度连续的。因此,由(H3)知,
.
因为是任意的,所以(20)成立。同理可证(21)成立。由引理6及(19),(20)知,是由映到的严格集压缩映像。显然,也是凝聚的。由引理1知,在中只有一个不动点,即:边值问题(1)在中至少有一个解。
4. 结论
本文主要利用Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理,在Banach空间中得到了带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性结果。
致谢
作者对审稿人提出的宝贵意见表示衷心的感谢。