摘要:
对于脉冲噪音和模糊图像,最常见的恢复方法是全变分加1范数,即TV/L1模型。但是,对于高噪音水平的情形,TVL1模型的恢复效果不太好。为解决上述问题,本文提出一种新的模型,即在TV/L1模型基础上,加上一个由反正切函数构造的线性的修正项。模型求解采用交替方向法。数值实验验证了本文所提出的新方法的有效性,尤其对于高噪音情形,去除脉冲噪音的效果明显优于TV/L1模型。
Abstract:
The total variation (TV) regularization term plus L1 norm, denoted by TV/L1 model, is widely used to the problem of image restoration where the observed images are corrupted by blur and impulse noise. However, TV/L1 model may produce a poor recovery solution, especially for high noise levels. In order to overcome the problem, we propose new modification of TVL1 (MTV/L1) which a linear correction term, constructed by an arc-tangent function, is added. Alternating di-rection method of multipliers (ADMM) is presented to solve the TV/L1 and MTV/L1 models. Nu-merical experiments verify that our proposed approach outperforms TV/L1 in terms of sig-nal-to-noise ratio (SNR) values and visual quality, especially for high noise levels.
1. 引言
图像去噪是图像处理的一个重要研究内容。图像在获取、传输和存储等过程中由于受到成像系统、存储介质以及环境因素的影响,会产生噪音和模糊等问题,从而导致图像质量下降。为改善图像质量,图像去噪去模糊至关重要。脉冲噪音是很常见的一种图像噪音,往往在图像的数据存储或信号传输中产生。脉冲噪音主要有椒盐噪音和随机值噪音。随机值噪音的去除比椒盐噪音的去除更加困难。
传统的中值滤波 [1] 能够较好的去除椒盐噪音,但是对噪音高的情况去噪效果不理想。针对图像去噪,Rudin,Osher和Fatemi [2] 提出的全变分(Total Variation, TV)正则化方法具有保留图像边沿性的优点,普遍用于图像去噪。对于脉冲噪音的去噪,普遍采用TV/L1模型,即全变分TV项加L1范数项 [3] [4] 。TV/L1模型不仅能有效去除脉冲噪音,还具有保边沿性,广泛应用于医学图像、计算机视觉等领域中 [5] [6] [7] [8] [9] 。然而,普遍使用的TV/L1模型在某些情况下会面临挑战 [10] [11] ,特别是对于高噪音情况,比如含90%的椒盐噪音图像,它只有10%的像素点的数据是真实的,其余部分像素点的数据全部被噪音污染而背离真实值,当采用TV/L1模型进行去噪,不论采用文献 [5] 的逼近算法还是文献 [10] 的交替方向算法,所恢复的图像都很不清晰,具体可见第3节数值仿真实验部分的图1的第三列。特别对于随机值噪音图像,目前看到的去除随机值噪音的研究文献 [8] [9] 最高只到60%的噪音水平。因此,研究高噪音下的脉冲噪音图像的恢复具有重要的意义。
Figure 1. Recovery images corrupted by 90% level salt-and-pepper noise and average blurring. (a) original image, (b) corruption image, (c) recovery image by TV/L1, (d) recovery image by MTV/L1
图1. 90%椒盐噪音的模糊图像的恢复图。(a) 原图,(b) 损坏的图像,(c) TV/L1的恢复图,(d) MTV/L1的恢复图
本文针对TV/L1模型提出一种新的修正模型,数值实验表明该方法能够有效提高图像的去噪音效果。
2. 修正模型和求解算法
脉冲噪音主要有椒盐噪音和随机值噪音。假设噪音水平为,则图像u被椒盐噪音干扰后在位置k处的图像值为
而图像u被随机值噪音干扰后在位置k处的图像值为
其中为区间[0,255]中均匀分布的数。
图像去脉冲噪音的TV/L1模型是经典的ROF (Rudin、Osher和Fatemi)模型,即一种基于全变分模型的去噪方法:给定带脉冲噪音图像的观察值,寻找图像满足
(1)
其中表示图像u在像素i处的水平方向和垂直方向的一阶有限差分,可以选取1-范数和2-范数,如果图像是各向异性的,则选择,如果是各项同性,则选择。TV/L1模型的优点是在去除噪音的同时很好地保留图像的边缘信息。但与此同时这种处理方法依然存在问题,那就是对于高噪音的去除效果不太理想。
针对上面问题,受文献 [11] 的启发,本文提出TV/L1的修正模型MTV/L1:
(2)
其中 是对原始图像的一个估计,函数 定义如下:
(3)
其中为参数,一般取 ,为符号函数
修正模型MTV/L1中线性项的加入,主要是对TV/L1模型1范数项的修正,能够提高图像恢复的质量和精度。不同于文献 [11] 的校正项含两个参数,本文的修正项(3)的构造,采用反正切函数,只含有一个参数,这使得该方法在实现时更方便于参数的调试,而且去噪效果好。
TV/L1模型的修正可以进行一步修正,也可以进行多步修正,初始的估计一般选取TV/L1模型的解,之后则选取修正模型MTV/L1的最新计算结果。
对于修正模型MTV/L1,可以采用交替方向法(Alternating direction method of multipliers, ADMM)进行求解。为讨论算法方便,下面主要讨论各项同性的,即全变分项采用2-范数。
令,则修正模型MTV/L1 (2)可以改写成
(4)
其增广拉格朗日函数为
其中乘子,罚函数。把w和v看成一组变量,u为另一组变量,则可采用2-块的交替方向(ADMM) [8] 求解。
算法1 (ADMM)
步骤0:输入,给定初值。
步骤1:交替求解
步骤2:如果终止条件满足,则输出结果,否则,转步骤1。
3. 数值仿真实验
本节针对具有椒盐噪音的模糊图像的恢复问题进行数值仿真实验,TV/L1模型以及其修正模型MTV/L1均采用ADMM算法进行求解。所有结果都是在Core i5的CPU及
4G
内存的Windows 7系统下的ASUS笔记本中运行MATLAB R2012b计算得出,算法的终止条件为:
这里为相对精度,本文取,采用信噪比signal-to-noise ratio (SNR)来衡量图像被恢复的质量:
其中表示原图像的期望值,而表示恢复后的图像。
图1中,第一列为原图,第2列为加入90%水平椒盐噪音且加入平均模糊9 (average blur 9)的图像,第三列是求解TV/L1得到的恢复的图像,第四列是求解5次修正模型MTV/L1得到的恢复图像。通过比较可以看出,采用修正模型MTV/L1的恢复效果不论是视觉效果还是信噪比SNR都明显优于TV/L1模型的恢复效果,尤其是第二行的Lena图像,MTV/L1恢复的图像的SNR比TV/L1恢复的图像的SNR提高了97%。这充分说明我们所提出的修正方法的有效性和优越性。
4. 总结
本文针对TV/L1模型的不足,构造了一个线性的修正项加入到TV/L1模型中,实现对TV/L1模型的修正,其中修正的线性项依赖于图像的估计值。通过估计值,不断地对解进行修正,使得图像的质量得到提高。数值仿真试验表明我们的方法对于脉冲噪音,特别是在高噪音水平时,效果显著。