1. 引言
积分–微分方程是积分方程与微分方程的交叉学科,在众多类型的积分–微分方程中,Fredholm积分–微分方程 [1] 常出现在数学物理应用问题中,如热–粘弹性力学问题以及三维薄翼理论相关问题 [2] ,因此,Fredholm积分–微分方程在理论上具有重要的研究意义,因这类积分–微分方程不仅包括未知函数的微分,还包括未知函数的积分,同时还满足多个边值条件,故求其精确解较困难,需采用适当的数值方法求其数值解。
数十年来,Fredholm积分–微分方程的高效数值解法一直是计算数学领域中的研究热点,同伦分析法 [3] 、配置法 [4] 、Galerkin法 [5] 及Nystörm法 [6] 等都是求Fredholm积分–微分方程的数值解有效的方法。在这些方法中,多项式是函数逼近的常用工具,近年来,Bessel多项式 [7] 、Legendre多项式 [8] 以及Chebyshev多项式 [9] 等正交多项式已被应用于构造Fredholm积分–微分方程的数值解。文献 [10] 将Fredholm积分–微分方程的求解问题转化为积分方程的求解问题,并运用正交Gegenbauer插值配置法求解了一类Fredholm积分–微分方程。文献 [11] 表明以Gauss-Gegenbauer节点为插值节点的Gegenbauer插值在数学意义上等价于Lagrange插值。Lagrange插值可改写为重心Lagrange插值,文献 [12] 提出了以Gauss-Gegenbauer节点为插值节点的Gegenbauer插值的重心形式——重心Gegenbauer插值,并将其应用于求解积分、微分以及积分–微分方程,同时表明以重心Gegenbauer插值为核心的求积方法是高阶、稳定且有效的伪谱方法。从目前的研究状况来看,重心型插值并未被广泛应用于求解Fredholm积分–微分方程,并且关于重心Gegenbauer插值中参数取值范围的问题并未被进一步研究。本文考虑扩大重心Gegenbauer插值中参数的取值范围,并基于重心Gegenbauer插值的一般形式,运用配置法求解一阶线性Fredholm积分–微分方程 [3] [4] [5]
(1)
其中,
与
分别是D和
上的已知连续函数,
是方程(1)的未知函数,且
的一阶导数
满足
。
本文共分为四节,其中,第一节的主要内容是证明重心Jacobi插值等价于以移位Gauss-Jacobi节点为插值节点的Jacobi插值,并阐明重心Jacobi插值配置法求解积分/微分方程的基本原理与步骤。第二节的主要内容是应用重心Jacobi插值以及Gauss-Legendre求积公式构造方程(1)的数值算法,算法的构造思路是将方程(1)转化为一个积分方程,然后应用重心Jacobi插值配置法将其离散为一个线性方程组。第三节的主要内容是对本文算法进行误差估计,并通过算法的误差估计式分析本文方法的收敛性质。第四节的主要内容是通过数值结果验证本文方法的有效性,并探究Jacobi多项式中两参数的取值对数值结果的影响。
2. 重心Jacobi插值
2.1. 重心Jacobi插值多项式
定义1 [13] 设
为任意实数,区间
上的
次Jacobi多项式为
,则任意区间
上的j次Jacobi多项式定义为
定义2 [14] 设
是定义在区间D上的实值函数,
是区间D上的节点且
已知,若存在实数
,使得函数
(2)
满足
,则称
是实值函数
在区间D上以
为插值节点的Jacobi插值多项式。
在定义2中,若插值节点是
的零点
,则系数
满足 [14]
(3)
其中,
是Gauss-Jacobi求积权,
是与
有关的正则化因子,满足 [14]
(4)
其中,
是定义在实数域
上的Gamma函数。将(3)式代入(2)式,令
(5)
则(2)式可记为
(6)
定理1 若
形如(6)式,且满足(4)式及(5)式,则(6)式是关于实值函数
的以
为插值节点的Lagrange插值多项式。
证明 利用定义1,在(5)式中,将区间D上的Jacobi多项式转换为区间
上的Jacobi多项式,可得
(7)
其中,
。由文献 [14] 中的Christoffel-Darboux定理,结合(4)式,则(7)式可化为
(8)
因为
是
的零点,故
,于是(8)式可化为
(9)
将节点
代入(9)式中,可得
(10)
(10)式中,当
时,因为
,故
;当
时,由洛必达法则 [8] ,对任意
,有
于是
(11)
由Gamma函数的基本性质,可得(11)式中
将该式以及Gauss-Jacobi求积权
的显式表达式 [15] 代入(11)式,可得
(12)
在Jacobi多项式三项迭代式 [15] 中令
,可得
(13)
将(13)式代入(12)式,可得
。
综上,
,其中
是Kronecker-Delta函数,满足当
时,
;当
时,
。结合(5)式、(7)式以及定义1可知,
,故(6)式满足
(14)
(14)式表明,(6)式是以
为插值节点的Lagrange插值多项式。□
以
表示Lagrange插值基函数
的重心形式,则实值函数
在D上的m次重心Jacobi插值多项式表示为
(15)
其中
(16)
是与定义1中
次Jacobi多项式
的零点
对应的重心插值权。
特别地,文献 [9] 中的重心Gegenbauer插值多项式是
时的重心Jacobi插值多项式。
定理2 [16] (16)式中,重心插值权
的显式表达式为
当m的取值较大时,该式中的
会受到舍入误差的影响,对其引入正弦变换
,可消除舍入误差的影响,此时
根据定理1以及(16)式可知,(15)式在数学意义上等价于(6)式。由于(15)式的插值节点是定义1中区间D上
次Jacobi多项式
的零点,与区间D上的Gauss-Jacobi求积节点(又称为移位Gauss-Jacobi节点)的含义相同 [13] ,所以(15)式是与区间D上以移位Gauss-Jacobi节点为插值节点的Jacobi插值多项式等价的重心Lagrange插值多项式。
2.2. 重心Jacobi插值配置法
配置法是一种全局数值方法 [14] ,它求解积分/微分方程的基本原理是运用全局插值函数逼近原方程的未知函数,并将原方程离散化。重心Jacobi插值配置法求解积分/微分方程的主要思路是首先运用满足(15)式的m次重心Jacobi插值多项式
逼近原方程的未知函数,得到原方程的近似方程,然后令原方程在(15)式的插值节点
处精确成立,并应用求积公式得到近似方程的离散方程组,最后求解离散方程组,该离散方程组的解是原方程的未知函数在节点
处的近似值,将求得的数值结果代入(15)式,即可得到原方程的重心Jacobi插值配置解。
3. 算法构造
以下详细阐述重心Jacobi配置法求解Fredholm积分–微分方程(1)的算法步骤。
第1步将原积分–微分方程改写为积分方程
结合初值条件,积分–微分方程(1)可变形为
(17)
第2步构造积分方程的近似方程
以(15)式近似积分方程(17)中的
,可得方程(17)的近似方程
(18)
第3步将近似方程离散化
令方程(18)在节点
处精确成立,则
(19)
第4步近似计算离散近似方程中的积分,并得到离散方程组
采用
个求积点的Gauss-Legendre求积公式计算方程(19)中的第二项与第三项,结合定理1,(19)式可转化为如下离散方程组
(20)
其中,
是
在节点
的近似值,且
其中,
是Gauss-Legendre求积点,
是Gauss-Legendre求积权。
第5步将离散方程组改写为矩阵形式,得到线性方程组
设
则方程(20)的矩阵形式为
(21)
(21)式是关于
的线性方程组。
第6步回代,得到原方程的数值解
求解线性方程组(21)并得到
,将其代入(15)式,可得方程(1)的重心Jacobi插值配置解为
(22)
4. 误差估计
本节在
(D上全体连续函数组成的完备空间)中对算法进行误差估计,其中,对任意
,范数
定义为
。另外,在本节中,记号
与D分别表示区间
与区间
。
将(22)式代入方程(17),并设余项为
,则有
(23)
以(17)式减(23)式,可得
(24)
引理1 [17] 设
,Gauss-Legendre求积权为
,Gauss-Legendre求积节点为
,若
为求积公式
的余项,则
推论1 若被积函数
在积分区间
内存在至多
阶导数,则
。
由(16)式可看出,重心Jacobi插值基函数
是m次多项式,因此结合推论1可知,采用不小于
个求积点的Gauss-Legendre求积公式计算方程(19)中的第二项与第三项时,相应的求积余项为0,此时,
由插值误差主导。
定理3 设
,若
满足(15)式,且是从
到
的插值投影算子,则
是线性有界的,且满足
,其中
证明 对任意
,
因此
是一个线性算子。由于
因此
。综上,
是一个线性有界算子。□
定理3中的
是与节点
对应的Lebesgue常数。结合(12)式,将
中的变量
运用变量代换转化为
,可以发现
该式表明,
也是与节点
对应的Lebesgue常数。此外,文献 [16] 表明,
有如下估计式成立
(25)
其中,
表示与
同阶的量。
引理2 [18] 设存在
,使得
。令
是
的m次最佳逼近多项式,则对任意
,有
定理4 (误差界)设方程(1)满足条件
(h为常量),
精确解
,
以(17)式~(22)式求解方程(1),设
是方程组(21)的解,
为方程(1)在节点
的精确值,若
且
,则对任意
,有
其中,
,
是Jacobi多项式中的参数且满足
。
证明 由(24)式以及范数的三角形不等式,可得
由于
,故
从而
对任意
,有
结合定理3与引理2,可得
对该式运用变量代换
,结合(25)式,可得
的重心Jacobi插值误差估计式为
(26)
由(22)式,对任意
,有
因为当采用
个求积点的Gauss-Legendre求积公式近似积分时,相应的求积余项为0,所以近似方程与原方程之间的误差主要是未知函数的重心Jacobi插值误差,从而结合(26)式可知
满足
于是
因此
□
根据定理4,可得到以下推论
推论2 (收敛性)若
,则当
时,
呈现指数收敛的特点:按m的
次幂收敛到0;此外,若
在D上充分光滑,且
,则当
时,
。
证明 由定理4,可知
,因此当
时,有
(27)
因此当
时,
,从而
,且
收敛到零的速率与m的
次幂收敛到零的速率相同,故此时
呈现指数收敛的特点。
若
在D上充分光滑,则
,若
,则
,从而仍有(27)式成立,故此时当
时,总有
成立。□
推论3 当
时,若
,则对任意
,
收敛到0的速率随
中最大值的增大而减小。
证明 由推论2可知,当
时,有
成立,此时
的收敛速率与
的收敛速率相同。固定p的取值不变,当
逐渐增大时,
逐渐增大,
的收敛速率逐渐减小,从而
的收敛速率逐渐减小。□
5. 数值算例
本节所给算例已知精确解,实验操作系统为MATLAB R2018a,机器精度
。数值实验中使用double类型的变量进行计算,并将得到的数值结果保留两位小数。设本文方法求得的数值解为
且满足(22)式,其中m表示(22)式中数值解
的次数,并将算例中的精确解与数值解在计算节点
的最大绝对误差可记为
(28)
在算例中,通过取不同的
并根据(28)式计算
以体现Jacobi多项式中参数
的取值对最大绝对误差的影响。
例 [3] [19] [20] 考虑一阶线性Fredholm积分–微分方程初值问题
(29)
其中,
,方程(29)的精确解为
。
运用(17)式~(20)式,将方程(29)离散为线性方程组,求解离散线性方程组并得到数值解,以(28)式计算精确解与数值解在计算节点的绝对误差与最大绝对误差。图1是本文方法在
时求得的数值解与方程(29)的精确解在等距节点的绝对误差分布图,表1比较了精确解与数值解在等距节点的计算结果。从图1及表1可看出,本文方法对方程(29)的求解有效。当计算节点为
上的等距节点时,表2列举了本文方法在
及
时的数值结果;在m相同的条件下,表3列举了本文方法在
时的数值结果。此两表中数据显示,当m相对较小时,随着m的增大,本文方法的收敛速率逐渐变大,且此时,随
中最大值的不断增大,本文方法的收敛速率不断减小。总之,通过大量的数值实验可以发现,对本例,最大绝对误差随m的增大而减小,且此时本文方法的收敛速率随
中最大值的增大而减小,但当m增大到某个范围内的值后,最大绝对误差不会再随m的增大减小,而是保持相对稳定,且此时本文方法的收敛速率的随
取值的变化规律并不明显。
Figure 1. The absolute error distribution of the presented method at equidistant nodes for
图1. 当
时,本文方法在等距节点的绝对误差分布
由(22)式可知,本文方法得到的数值解的展开式项数为
,与文献 [3] 方法中构造的同伦级数解的展开式的项数相同。当
时,在展开式项数以及计算节点类型、个数均相同的条件下,将本文方法所求的最大绝对误差与文献 [3] 方法比较,结果见表4。从表4可看出,与文献 [3] 方法相比,本文方法求得的最大绝对误差更小。
Table 1. The calculation result of the presented method at equidistant nodes for α = − 0.5 , β = − 0.6 , m = 15
表1. 当
时,本文方法在等距节点的计算结果
文献 [20] 在计算方程(29)的数值解时,生成一个维数为
的线性方程组,其中
与
分别表示Shannon缩放函数的项数与母波展开式的项数;本文方法在计算方程(29)的数值解时,由(20)式可知,生成一个
维的线性代数方程组。表5列举了本文方法在
时所求的数值解在Sinc节点 [19] 的最大绝对误差,并比较了本文方法与文献 [20] 方法的最大绝对误差为同一数量级时需计算的线性方程组的维数。从表5可看出,本文方法能更精确地计算方程(29)的数值解,且当这两种方法的最大绝对误差同阶时,本文方法需要计算的线性代数方程组维数更低,因此本文方法在计算时占用的内存更少,计算量更小。
Table 2. The calculation result of the presented method at different β , n for α = − 0.5
表2. 当
时,本文方法基于不同
的数值结果
Table 3. The calculation result of the presented method at different α , n for β = − 0.5
表3. 当
时,本文方法基于不同
的数值结果
Table 4. Numerical results of the method presented in this paper and the method presented in reference [3] for α = − 0.2 , β = − 0.5
表4. 当
时,本文方法与文献 [3] 方法的数值结果
Table 5. Numerical results of the method presented in this paper and the method presented in reference [20] for α = 0.2 , β = 0.5
表5. 当
时,本文方法与文献 [20] 方法的数值结果
6. 总结
本文探究了文献 [12] 中的重心Gegenbauer插值的一般形式——重心Jacobi插值,表明了它本质上是与插值节点为移位Gauss-Jacobi节点的Jacobi插值等价的重心插值,并基于重心Jacobi插值多项式,探究了一类一阶线性Fredholm型积分–微分方程初值问题的重心Jacobi插值配置法,给出了相应的误差估计式。数值算例中的数据验证了本文方法的有效性,并体现出当原方程未知函数的重心Jacobi插值多项式的次数在一定范围内变化时,本文方法求得的最大绝对误差随Jacobi多项式中参数
最大值的增大而增大。
基金项目
自然科学青年基金,项目批准号:11801456,项目名称:超奇异积分及其积分方程的数值算法和应用。