n-边形的中心化子代数

The Centralizer Algebra of the Ordinary n-Cycle

摘要: 用符号C_n表示顶点集为X的n-边形。任意取定顶点x∈X，用A:=A(x)表示关于点x的稳定子群(C_n的自同构群中的子群)的中心化子代数。在本文中，我们首先通过点x的稳定子群在集合X×X上的作用构造出A的一组基。然后，给出A的三个子代数使得它们的向量空间直和恰好是A。最后，我们证明代数A和代数T相等，这里T:=T(x)表示C_n的关于点x的Terwilliger代数。

Abstract: Let C_n denote the Ordinary n-cycle with vertex set X. Fix any vertex x∈X, and let A:=A(x) denote the centralizer algebra of the stabilizer of x in the automorphism group of C_n. In this paper, we first give a basis of A by this stabilizer acting on X×X. Moreover, we give three subalgebras of A such that their direct sum is just A as vector space of matrices. Finally, we show that the two algebras A and T coincide, where T:=T(x) denotes the Terwilliger algebra of C_n with respect to x.

1. 引言

设 $\Gamma =\left(Y,E\right)$ 为一距离正则图，其顶点集为Y，边集为E。取定顶点 $x\in Y$ ，则图Γ关于顶点x的稳定子群(Γ的自同构群中的子群)的中心化子代数是由在点x的稳定子群作用下的全体不变矩阵所组成的矩阵集合，这里矩阵的行标与列标由集合Y中元素所标定。一般来说，图Γ的中心化子代数 $\mathcal{A}$ 的一组基可以通过关于点x的稳定子群作用在集合 $Y\times Y$ 上得到，但有时也可能是比较困难的。

Terwilliger代数(或次成分代数)对于距离正则图的研究十分重要，并且已成为代数组合理论的重要研究内容 [1] [2] [3] 。我们知道代数Terwilliger代数是中心化子代数的子代数。一个重要的研究问题是对于哪些距离正则图其中心化子代数和Terwilliger代数相等。事实上，对于某些距离正则图，其中心化子代数和Terwilliger代数已经被证明是相等的。例如，对于Hamming图，A. Schrijver等人刻画了该图的中心化子代数的一组基，并证明了其中心化子代数和Terwilliger代数相等 [4] [5] ；对于Johnson图，谭莹莹等人证明了其中心化子代数和Terwilliger代数相等 [6] ；对于折叠n-立方图，侯利航等人刻画了该图的中心化子代数的一组基，并证明了其中心化子代数和Terwilliger代数相等 [7] 。基于上述文献，本文研究了n-边形的中心化子代数结构：刻画了n-边形的中心化子代数的一组基，并证明了其中心化子代数和Terwilliger代数相等。本文所用的方法可以看做是上述文献 [7] 中研究方法的一种推广。

n-边形是一类经典的有Q-多项式结构的距离可迁图 [8] 。但其中心化子代数还没有被完全刻画。在本文中，我们将刻画n-边形的中心化子代数结构。为了讨论方便，用符号C_n来表示n-边形，其顶点集为 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 。任取两个不同的顶点 $x_p,x_q\in X$ $\left(1\le p,q\le n\right)$，它们邻接当且仅当 $\left|p-q\right|=1$ 或 $n-1$ 。由此可得图C_n的距离函数：

$\partial \left(x_p,x_q\right)=\{\begin{array}{l}\left|p-q\right|如果0\le \left|p-q\right|\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,\\ n-\left|p-q\right|如果\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1\le \left|p-q\right|\le n-1.\end{array}\left(x_p,x_q\in X\right)$ (1)

这里 $\lfloor a\rfloor$ 为小于或等于a的最大整数。由(1)可知图C_n的直径为 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。

在本文中，取定 $x_1\in X$ 并把该点作为图C_n的基点。设 $\mathcal{A}:=\mathcal{A}\left(x_1\right)$ 是关于点x₁的稳定子群(C_n的自同构群中的子群)的中心化子代数。我们首先给出了点x₁的稳定子群作用在集合 $X\times X$ 的所有轨道，每个轨道只含有一个或两个元素。通过在每个轨道上定义相应的0-1矩阵，得到了 $\mathcal{A}$ 的一组基(见定理3.5)。然后，我们给出 $\mathcal{A}$ 的三个子代数并计算它们的维数(见命题3.6~3.8)。此外，这三个子代数的向量空间直和恰好是 $\mathcal{A}$ (见引理3.9)。最后我们证明代数 $\mathcal{A}$ 和代数T相等并得到了T的一组基，这里 $T:=T\left(x_1\right)$ 表示图C_n关于点x₁的Terwilliger代数(见定理3.11和定理3.12)。

为了更好地理解本文，在本节的最后给出一些主要符号的说明：

$ℂ$ ：复数域。

Y：有限非空集合。

$Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ ：复数域 $ℂ$ 上的全体 $\left|Y\right|$ 阶方阵构成的矩阵代数，其中矩阵的行标与列标Y的元素标定。

$\Gamma =\left(Y,E\right)$ ：有限无向的，没有环与重边的连通图， $Y,E$ 分别为其顶点集和边集。

$Au{t}_x\left(\Gamma \right)$ ：点x在图 $\Gamma$ 的自同构群中的稳定子群。

C_n：顶点集为X的n-边形，其中 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 。

$\mathcal{A}:=\mathcal{A}\left(x_1\right)$ ：图C_n关于点x₁的中心化子代数。

$T:=T\left(x_1\right)$ ：图C_n关于点x₁的Terwilliger代数。

2. 预备知识

在本节，我们将介绍有关距离正则图和中心化子代数的一些概念和基本事实。

设是 $ℂ$ 复数域，Y是一个非零有限集合。由域 $ℂ$ 上的全体 $\left|Y\right|$ 阶方阵构成的 $ℂ$ -代数记为 $Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ ，称为全矩阵代数，其中矩阵的行标与列标由Y的元素标定。

设 $\Gamma =\left(Y,E\right)$ 为一个有限无向的，没有环与重边的连通图。用 $\partial$ 表示图Γ的距离函数。设 $D:=\max \left\{\partial \left(x,y\right)|x,y\in Y\right\}$ ，称D为图Γ的直径。如果对于任意的整数 $i\left(0\le i\le D\right)$ 和任意顶点对 $\left(x,y\right)$ 和 $\left(u,v\right)$ 满足 $\partial \left(x,y\right)=\partial \left(u,v\right)=i$ ，存在图Γ的自同构映射把x映到u，y映到v，那么称图Γ是距离可迁的。对于任意的 $x,y\in Y$ 满足 $\partial \left(x,y\right)=h\left(0\le h\le D\right)$ ，如果整数 $p_{ij}^h:=\left|\left\{z\in Y|\partial \left(x,z\right)=i,\partial \left(z,y\right)=j\right\}\right|$ 与 $x,y$ 的选

取无关，那么我们称图Γ是距离正则的。注意到距离可迁图一定是距离正则图，反之不一定成立。在本节以下部分，假设图Γ是一距离正则图。

取定 $x\in Y$ ，并把点x作为基点。设 $Au{t}_x\left(\Gamma \right)$ 为点x在Γ的自同构群中的稳定子群。任取 $M\in Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ ， $\sigma \in Au{t}_x\left(\Gamma \right)$ 。如果对任意的 $y,z\in Y$ ，有 $M_{\left(\sigma y,\sigma z\right)}=M_{\left(y,z\right)}$ ，则称矩阵M在 $\sigma$ 的作用下是不变的。由 $Au{t}_x\left(\Gamma \right)$ 作用下的全体不变矩阵所组成的矩阵集合称为 $Au{t}_x\left(\Gamma \right)$ 的中心化子代数(作为集合)。接下来，我们将介绍中心化子代数的一些子代数：Bose-Mesner代数，对偶Bose-Mesner代数以及Terwilliger代数。

对于每一个 $i\left(0\le i\le D\right)$ ，设矩阵 $A_i\in Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ ，其 $\left(x,y\right)$ -位置元素 ${\left(A_i\right)}_{xy}=1$ ，如果 $\partial \left(x,y\right)=i$ ； ${\left(A_i\right)}_{xy}=0$ ，如果 $\partial \left(x,y\right)\ne i$ 。易知矩阵 $A_0,A_1,\cdots ,A_D$ 张成了全矩阵代数 $Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ 的一个交换子代数，我们称这个代数为图Γ的Bose-Mesner代数。事实上，Bose-Mesner代数可以由邻接矩阵A₁生成。

取定 $x\in Y$ ，并把点x作为基点。对于每一个。设 $E_i^{*}=E_i^{*}\left(x\right)$ 为 $Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ 中的对角矩阵，其 $\left(y,y\right)$ -位置元素 ${\left(E_i^{*}\right)}_{yy}=1$ ，如果 $\partial \left(x,y\right)=i$ ； ${\left(E_i^{*}\right)}_{yy}=0$ ，如果 $\partial \left(x,y\right)\ne i$ 。易知矩阵 $E_0^{*},E_1^{*},\cdots ,E_D^{*}$ 张成了全矩阵代数 $Ma{t}_Y\left(ℂ\right)$ 的一个交换子代数，我们称这个代数为图Γ关于点x的对偶Bose-Mesner代数。

图Γ的Bose-Mesner代数和对偶Bose-Mesner代数生成全矩阵代数的一个子代数，我们称这个子代数为图Γ关于点x的Terwilliger代数(或次成分代数)。

关于距离正则图和Terwilliger代数的更多知识，可参考文献 [1] [2] [3] [8] 。

3. C_n的中心化子代数

回顾第一节中n-边形C_n的定义。本节给出图 $C_n\left(n\ge 3\right)$ 的中心化子代数的一组具体的基。由于C_n是距离可迁图，因此可取定顶点 $x_1\in X$ 作为基点。用符号 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 表示点x₁在C_n的自同构群中的稳定子群。易知稳定子群由集合X上的两个变换组成：

$Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)=\left\{\left(1\right),\left(2n\right)\left(3n-1\right)\cdots \left(\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor +1n-\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor +1\right)\right\}.$ (2)

这里表示恒等变换： $x_i\mapsto x_i\left(1\le i\le n\right)$ ； $\left(in-i+2\right)$ 表示集合X上的一个变换：

$x_{n-i+2}\mapsto x_i$ , $x_{n-i+2}\mapsto x_i$ $\left(2\le i\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor +1\right)$.

对于每一个有序2-元组 $\left(x_p,x_q\right)\in X\times X$ $\left(1\le p,q\le n\right)$，定义相应的整数3-元组 $\left(i,j,t\right)$ 如下：

$\rho \left(x_p,x_q\right):=\left(i,j,t\right),这里i=\partial \left(x_1,x_p\right),j=\partial \left(x_1,x_q\right),t=\partial \left(x_p,x_q\right).$ (3)

注意到 $0\le i,j,t\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。易知所有满足(3)的整数3-元组 $\left(i,j,t\right)$ 构成如下集合 $\mathcal{I}$ ：

$\mathcal{I}=\left\{\left(i,j,t\right)|\rho \left(x_p,x_q\right):=\left(i,j,t\right),x_p,x_q\in X,1\le p,q\le n\right\}.$ (4)

对于 $\mathcal{I}$ 中任意整数3-元组 $\left(i,j,t\right)$ ，由(1)，(3)可知，满足 $\rho \left(x_p,x_q\right):=\left(i,j,t\right)$ 的 $p,q$ 可以分为如下四种情况：

(i) 如果 $p=i+1,q=j+1$ ，则 $0\le i,j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。由(1)式可知， $t=\partial \left(x_{i+1},x_{j+1}\right)=\left|i-j\right|$ 。

(ii) 如果 $p=i+1,q=n-j+1$ ，则 $0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ ， $1\le j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 。由(1)可知，当 $1\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 时， $t=\partial \left(x_{i+1},x_{n-j+1}\right)=i+j$ ；当 $\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le n-1$ 时， $t=\partial \left(x_{i+1},x_{n-j+1}\right)=n-\left(i+j\right)$ 。

(iii) 如果 $p=n-i+1,q=j+1$ ，则 $1\le i\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ ， $0\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。由(1)可知，当 $1\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 时，；当 $\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le n-1$ 时， $t=\partial \left(x_{n-i+1},x_{j+1}\right)=n-\left(i+j\right)$ 。

(iv) 如果 $p=n-i+1,q=n-j+1$ ，则 $1\le i,j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 。由(1)可知， $t=\partial \left(x_{n-i+1},x_{n-j+1}\right)=\left|i-j\right|$ 。

根据上述四种情况，定义 $\mathcal{I}$ 的三个子集：

$S_1=\left\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|i=0,0\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=0,0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

$\begin{array}{l}{S}_2=\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|1\le i,j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|且t=i+j,如果2\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,\\ t=n-\left(i+j\right),如果\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le 2\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \}.\end{array}$

$S_3=\left\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|i=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

命题3.1 对于 $n\ge 3$ ，我们有

$\mathcal{I}=\{\begin{array}{l}{S}_1\cup S_2\cup S_3如果n是偶数,\\ S_1\cup S_2如果n是奇数.\end{array}$ (5)

并且 $\mathcal{I}$ 的基数为

$\left|\mathcal{I}\right|={\lceil \frac{n+1}{2}\rceil }^2+{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }^2.$ (6)

这里的 $\lceil a\rceil$ 表示大于或等于a的最小整数。

证由集合 $S_2,S_3$ 的定义易知，当n为奇数时 $S_3\subseteq S_2$ ，即 $\mathcal{I}=S_1\cup S_2$ 。当n为偶数时， $\mathcal{I}=S_1\cup S_2\cup S_3$ 。所以有(5)成立。接下来，我们计算集合 $\mathcal{I}$ 的基数。由 $S_1,S_2,S_3$ 是两两互不相交的，所以有

$\left|\mathcal{I}\right|=\{\begin{array}{l}\left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|S_3\right|如果n是偶数,\\ \left|S_1\right|+\left|S_2\right|如果n是奇数.\end{array}$ (7)

通过计算可得

$\left|S_1\right|=2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1,\left|S_2\right|=2{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }^2,\left|S_3\right|=2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -1.$ (8)

将(8)代入到(7)中得到(6)。

对于每一个 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ ，定义如下集合：

$X_{i,j,t}=\left\{\left(x_p,x_q\right)\in X\times X|\rho \left(x_p,x_q\right)=\left(i,j,t\right),1\le p,q\le n\right\}.$ (9)

接下来，对于每一个 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ ，我们将给出集合 $X_{i,j,t}$ 的意义。为此，我们先分别给出集合S₁的一个子集：

$S_1{}^{\prime }=\{\begin{array}{l}\left\{\left(0,0,0\right),\left(0,\frac{n}{2},\frac{n}{2}\right),\left(\frac{n}{2},0,\frac{n}{2}\right)\right\}如果n是偶数,\\ \left\{\left(0,0,0\right)\right\}如果n是奇数.\end{array}$ (10)

和S₃ (n为偶数时)的一个子集： $S_3{}^{\prime }=\left\{\left(\frac{n}{2},\frac{n}{2},0\right)\right\}$ 。

命题3.2 对于每一个 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ ，以下(i)~(iii)成立。

(i) 对于 $\left(i,j,t\right)\in S_1$ ，我们有

(ia) 如果 $\left(i,j,t\right)\in S_1{}^{\prime }$ ，则 $X_{0,0,0}=\left\{\left(x_1,x_1\right)\right\}$ ；当n为偶数时，

$X_{0,\frac{n}{2},\frac{n}{2}}=\left\{\left(x_1,x_{\frac{n}{2}+1}\right)\right\},X_{\frac{n}{2},0,\frac{n}{2}}=\left\{\left(x_{\frac{n}{2}+1},x_1\right)\right\};$

(ib) 如果 $\left(i,j,t\right)\in S-S_1{}^{\prime }$ ，则

$X_{i,j,t}=\{\begin{array}{l}\left\{\left(x_1,x_{j+1}\right),\left(x_1,x_{n-j+1}\right)\right\}如果i=0,\\ \left\{\left(x_{i+1},x_1\right),\left(x_{n-i+1},x_1\right)\right\}如果j=0.\end{array}$

(ii) 对于 $\left(i,j,t\right)\in S_2$ ，我们有

$X_{i,j,t}=\{\begin{array}{l}\left\{\left(x_{i+1},x_{j+1}\right),\left(x_{n-i+1},x_{n-j+1}\right)\right\}如果t=\left|i-j\right|,\\ \left\{\left(x_{i+1},x_{n-j+1}\right),\left(x_{n-i+1},x_{j+1}\right)\right\}如果t=i+j或t=n-\left(i+j\right).\end{array}$

(iii) 对于 $\left(i,j,t\right)\in S_3$ 并且n为偶数，我们有

(iiia) 如果 $\left(i,j,t\right)\in S_3{}^{\prime }$ ，则 $X_{\frac{n}{2},\frac{n}{2},0}=\left\{\left(x_{\frac{n}{2}+1},x_{\frac{n}{2}+1}\right)\right\}$ 。

(iiib) 如果 $\left(i,j,t\right)\in S_3-S_3{}^{\prime }$ ，则

$X_{i,j,t}=\{\begin{array}{l}\left\{\left(x_{\frac{n}{2}+1},x_{j+1}\right),\left(x_{\frac{n}{2}+1},x_{j+1}\right)\right\}如果i=\frac{n}{2},\\ \left\{\left(x_{i+1},x_{\frac{n}{2}+1}\right),\left(x_{n-i+1},x_{\frac{n}{2}+1}\right)\right\}如果j=\frac{n}{2}.\end{array}$

证根据集合 $X_{i,j,t}$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 的定义，以及上述有关 $p,q$ 的四种情况的讨论可得。

命题3.3 集合 $X_{i,j,t}$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 是稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 作用在集合 $X\times X$ 上的所有轨道。

证由定义可知 $X_{i,j,t}$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 构成了集合 $X\times X$ 的一个分拆。任取 $x_p,x_q\in X$ ， $\left(1\le p,q\le n\right)$ ，设 $\rho \left(x_p,x_q\right)=\left(i,j,t\right)$ $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$，容易证明当映射 $\sigma$ 取遍稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 时， $\left(\sigma x_p,\sigma x_q\right)$ 能够取遍集合 $X_{i,j,t}$ 。事实上，任取 $\sigma \in Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ ， $x_i\in X$ $\left(1\le i\le n\right)$ 。由(2)可知，变换 $\sigma$ 为 $x_i\mapsto x_i$ $\left(1\le i\le n\right)$，或者 $\sigma$ 为 $x_i\mapsto x_{n-i+2},x_{n-i+2}\mapsto x_i$ $\left(2\le i\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor +1\right)$。基于此事实可知，对于给定的 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ ，稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 可迁地作用在集合 $X_{i,j,t}$ 上。

定义3.4对于每一个 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ ，定义矩阵 $M_{i,j}^t\in Ma{t}_X\left(ℂ\right)$ 如下：

${\left(M_{i,j}^t\right)}_{x_p,x_q}=\{\begin{array}{l}1如果\left(x_p,x_q\right)\in X_{i,j,t},\\ 0否则.\end{array}\left(x_p,x_q\in X\right).$

注意到矩阵 $M_{i,j}^t$ 的转置为 $M_{j,i}^t$ ，并且矩阵 $M_{i,j}^t$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 是线性无关的。由命题3.3可知，矩阵 $M_{i,j}^t$ 在 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 的作用下是不变的。以矩阵 $M_{i,j}^t$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 为一组基张成的域 $ℂ$ 上的线性空间记为 $\mathcal{A}$ 。事实上， $\mathcal{A}$ 就是稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_n\right)$ 的中心化子代数。因此， $M_{i,j}^t$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 构成了代数 $\mathcal{A}$ 的一组基。

定理3.5集合 $\left\{M_{i,j}^t|\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}\right\}$ 是代数 $\mathcal{A}$ 的一组基，其维数为

$\dim \left(\mathcal{A}\right)={\lceil \frac{n+1}{2}\rceil }^2+{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }^2.$

证由命题3.1和命题3.3可证。

接下来，我们将给出 $\mathcal{A}$ 的三个子代数，并计算它们的维数。为此，下面先给出 $\mathcal{A}$ 的三个子空间：以矩阵 $\left\{M_{i,j}^t|\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_1\right\}$ ，如果 ${\mathcal{I}}_1=\left\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|i,j都为偶数\right\}$ ，为一组基张成 $\mathcal{A}$ 的一个子空间，记为 ${\mathcal{A}}_1$ ；以矩阵 $\left\{M_{i,j}^t|\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_2\right\}$ ，如果 ${\mathcal{I}}_2=\left\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|i,j都为奇数\right\}$ ，为一组基张成 $\mathcal{A}$ 的一个子空间，记为 ${\mathcal{A}}_2$ ；以矩阵 $\left\{M_{i,j}^t|\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_3\right\}$ ，如果 ${\mathcal{I}}_3=\left\{\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}|i+j为奇数\right\}$ ，为一组基张成 $\mathcal{A}$ 的一个子空间，记为 ${\mathcal{A}}_3$ 。

命题3.6子空间 ${\mathcal{A}}_1$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数，其维数为

$\dim \left({\mathcal{A}}_1\right)=\{\begin{array}{l}\frac{n^2}{8}+2如果n\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right),\\ 2{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor }^2+2\lfloor \frac{n}{4}\rfloor +1如果n\cancel{\equiv }0\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$ (11)

证易知 ${\mathcal{A}}_1$ 对矩阵加法，数乘，共轭转置和矩阵乘法封闭。因此 ${\mathcal{A}}_1$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数。为了计算 ${\mathcal{A}}_1$ 的维数，只需计算 ${\mathcal{I}}_1$ 的基数。定义 ${\mathcal{I}}_1$ 三个的子集如下：

${\mathcal{I}}_1{}_1=\left\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_1|i=0,0\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=0,0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

$\begin{array}{l}{\mathcal{I}}_1{}_2=\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_1|1\le i,j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|且t=i+j如果2\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,\\ t=n-\left(i+j\right)如果\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le 2\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \}.\end{array}$

${\mathcal{I}}_1{}_3=\left\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_1|i=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

易知 ${\mathcal{I}}_1{}_1\subset S_1$ ， ${\mathcal{I}}_1{}_2\subset S_2$ ， ${\mathcal{I}}_1{}_3\subset S_3$ 。所以有

$\left|{\mathcal{I}}_1\right|=\{\begin{array}{l}\left|{\mathcal{I}}_1{}_1\right|+\left|{\mathcal{I}}_1{}_2\right|+\left|{\mathcal{I}}_1{}_3\right|如果n\equiv 0\left(mod4\right),\\ \left|{\mathcal{I}}_1{}_1\right|+\left|{\mathcal{I}}_1{}_2\right|如果n\cancel{\equiv }0\left(mod4\right).\end{array}$ (12)

通过计算得到

$\left|{\mathcal{I}}_1{}_1\right|=\{\begin{array}{l}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1如果n\equiv 0或1\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 如果n\equiv 2或3\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

$\left|{\mathcal{I}}_1{}_2\right|\text{=}\{\begin{array}{l}\frac{{\left(n-4\right)}^2}{8}如果n\equiv 0\left(mod4\right),\\ 2{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor }^2如果n\cancel{\equiv }0\left(mod4\right).\end{array}$

$\left|{\mathcal{I}}_1{}_3\right|=\frac{n}{2}-1,这里的n\equiv 0\left(mod4\right).$

将上述结果代入(12)中得到(11)成立。

命题3.7子空间 ${\mathcal{A}}_2$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数，其维数为

$\dim \left({\mathcal{A}}_2\right)=\{\begin{array}{l}\frac{n^2+4}{8}如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ 2{\lfloor \frac{n+1}{4}\rfloor }^2如果n\cancel{\equiv }2\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$ (13)

证类似于命题3.6的证明，可知 ${\mathcal{A}}_2$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数且

$\dim \left({\mathcal{A}}_2\right)=\left|{\mathcal{I}}_2\right|$

为了计算 ${\mathcal{I}}_2$ 的基数，定义 ${\mathcal{I}}_2$ 两个子集如下：

$\begin{array}{l}{\mathcal{I}}_{21}=\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_2|1\le i,j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|且t=i+j如果2\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,\\ t=n-\left(i+j\right)如果\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le 2\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \}.\end{array}$

${\mathcal{I}}_{22}=\left\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_2|i=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

由定义可知

$\left|{\mathcal{I}}_2\right|=\{\begin{array}{l}\left|{\mathcal{I}}_{21}\right|+\left|{\mathcal{I}}_{22}\right|如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \left|{\mathcal{I}}_{22}\right|如果n\cancel{\equiv }2\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

通过计算得到

$\left|{\mathcal{I}}_{21}\right|=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(n-2\right)}^2}{8}如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ 2{\lfloor \frac{n+1}{4}\rfloor }^2如果n\cancel{\equiv }2\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$ $\left|{\mathcal{I}}_{22}\right|=\frac{n}{2},当n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right)时.$

因此(13)成立。

命题3.8子空间 ${\mathcal{A}}_3$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数，其维数为

$\dim \left({\mathcal{A}}_3\right)=\{\begin{array}{l}\frac{n^2}{4}如果n\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \frac{n^2}{4}+1如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ {\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }^2+\lfloor \frac{n}{2}\rfloor 如果n\equiv 1或3\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$ (14)

证类似于命题3.6的证明，可知 ${\mathcal{A}}_3$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数且

$\dim \left({\mathcal{A}}_3\right)=\left|{\mathcal{I}}_3\right|$

为了计算 ${\mathcal{I}}_3$ 的基数，定义 ${\mathcal{I}}_3$ 三个子集如下：

${\mathcal{I}}_{31}=\left\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_3|i=0,0\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=0,0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

$\begin{array}{l}{\mathcal{I}}_{32}=\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_3|1\le i,j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|且t=i+j如果2\le i+j\le \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,\\ t=n-\left(i+j\right)如果\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \le i+j\le 2\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \}.\end{array}$

${\mathcal{I}}_{33}=\left\{\left(i,j,t\right)\in {\mathcal{I}}_3|i=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 且j=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,1\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,t=\left|i-j\right|\right\}.$

易知当 $n\equiv 1或3\left(\mathrm{mod}4\right)$ 时， ${\mathcal{I}}_{33}\subseteq {\mathcal{I}}_{32}$ ，所以我们有

$\left|{\mathcal{I}}_3\right|=\{\begin{array}{l}\left|{\mathcal{I}}_3{}_1\right|+\left|{\mathcal{I}}_3{}_2\right|+\left|{\mathcal{I}}_3{}_3\right|如果n\equiv 0或2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \left|{\mathcal{I}}_{31}\right|+\left|{\mathcal{I}}_3{}_2\right|如果n\equiv 1或3\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

通过计算得到

$\left|{\mathcal{I}}_{31}\right|=\{\begin{array}{l}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor 如果n\equiv 0或1\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1如果n\equiv 2或3\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

$\left|{\mathcal{I}}_{33}\right|=\{\begin{array}{l}\frac{n}{2}如果n\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right),\\ \frac{n}{2}-1如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

$\left|{\mathcal{I}}_{32}\right|=\{\begin{array}{l}\frac{n^2}{4}-n如果n\equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right),\\ {\left(\frac{n-2}{2}\right)}^2如果n\equiv 2\left(\mathrm{mod}4\right),\\ {\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }^2如果n\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right),\\ {\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }^2-1如果n\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right).\end{array}$

因此(14)成立。

引理3.9我们有 $\mathcal{A}={\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2+{\mathcal{A}}_3$ (向量空间直和)。

证由定理3.5和命题3.6~3.8可知， ${\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_3$ 是 $\mathcal{A}$ 的子代数，并且 $\dim \left(\mathcal{A}\right)=\dim \left({\mathcal{A}}_1\right)+\dim \left({\mathcal{A}}_2\right)+\dim \left({\mathcal{A}}_3\right)$ ，从而该引理成立。

对于图C_n，用 $A_k$ 和 $E_k^{*}:=E_k^{*}\left(x_1\right)$ $\left(0\le k\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)$ 分别表示它的第k个距离矩阵和第k个对偶幂等元，用 $T:=T\left(x_1\right)$ 表示由 $A_k$ 和 $E_k^{*}$ $\left(k=0,1,\cdots ,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)$ 生成的Terwilliger代数。

引理3.10以下(i)~(iii)成立。

(i) 对于每一个 $k,0\le k\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 有

$A_k={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}\\ t=k\end{array}}{\sum }{M}_{i,j}^t.}$ (15)

(ii) 任意 $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 有

$E_i^{*}{A}_t{E}_j^{*}=M_{i,j}^t.$ (16)

(ii) 对于每一个 $$ 有

$E_k^{*}=M_{k,k}^0.$ (17)

证(i)当 $0\le k\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 时，考虑等式(15)两端矩阵的 $\left(x_p,x_q\right)$ -位置元素。容易验证当 $\partial \left(x_p,x_q\right)=k$ 时， ${\left(A_k\right)}_{x_p{x}_q}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}\\ t=k\end{array}}{\sum }{\left(M_{i,j}^t\right)}_{x_p{x}_q}}=1$ ，否则 ${\left(A_k\right)}_{x_p{x}_q}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}\\ t=k\end{array}}{\sum }{\left(M_{i,j}^t\right)}_{x_p{x}_q}}=0$ 。

(ii) 在(15)式的等号两端左乘 $E_i^{*}$ ，右乘 $E_j^{*}$ 得到(16)。

(iii) 将 $i=j=k,t=\left|i-j\right|=0$ 代入(16)可得(17)。

定理3.11 代数 $\mathcal{A}=T$ 。

证要证明两个代数相等，只需证明这两个代数互相包含即可。因为 $M_{i,j}^t$ ， $\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}$ 是代数 $\mathcal{A}$ 的一组基，所有矩阵 $A_k,E_k^{*}$ $\left(k=0,1,\cdots ,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)$ 生成了代数T。一方面，由引理3.10 (i) (iii)可知代数T的每一个元素都属于代数 $\mathcal{A}$ ，因此有 $T\subseteq \mathcal{A}$ 。另一方面，由引理3.10 (ii)可知代数 $\mathcal{A}$ 的每一个元素都属于代数T，因此有 $\mathcal{A}\subseteq T$ 。所以，代数 $\mathcal{A}=T$ 。

定理3.12集合 $\left\{M_{i,j}^t|\left(i,j,t\right)\in \mathcal{I}\right\}$ 构成了代数T的一组基，其维数为

$dim\left(T\right)={\lceil \frac{n+1}{2}\rceil }^2+{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }^2.$

证由定理3.5和定理3.11得证。

接下来以5-边形C₅为例来说明本文的方法和结论。

对于C₅，顶点集为 $X=\left\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right\}$ 。由公式(2)可知图C₅顶点x₁的稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_5\right)=\left\{\left(1\right),\left(25\right),\left(34\right)\right\}$ 。根据(4)有

$\mathcal{I}=\left\{\left(0,0,0\right),\left(0,1,1\right),\left(0,2,2\right),\left(1,0,1\right),\left(1,1,0\right),\left(1,1,2\right),\left(1,2,1\right),\left(1,2,2\right),\left(2,0,2\right),\left(2,1,1\right),\left(2,1,2\right),\left(2,2,0\right),\left(2,2,1\right)\right\}.$

由此可以得到稳定子群 $Au{t}_{x_1}\left(C_5\right)$ 作用在集合 $X\times X$ 上的轨道

$\begin{array}{c}{X}_{i,j,t}=\{\left(x_1,x_1\right),\left(x_1,x_2\right),\left(x_1,x_3\right),\left(x_2,x_1\right),\left(x_2,x_2\right),\left(x_2,x_3\right),\left(x_2,x_4\right),\left(x_2,x_5\right),\\ \left(x_3,x_1\right),\left(x_3,x_2\right),\left(x_3,x_3\right),\left(x_3,x_4\right),\left(x_3,x_5\right)\}\end{array}$

由定理3.5可知，图C₅的中心化子代数 $\mathcal{A}:=\mathcal{A}\left(x_1\right)$ 的一组基为

$M_{0,0}^0,M_{0,1}^1,M_{0,2}^2,M_{1,0}^1,M_{1,1}^0,M_{1,1}^2,M_{1,2}^1,M_{1,2}^2,M_{2,0}^2,M_{2,1}^1,M_{2,1}^2,M_{2,2}^0,M_{2,2}^1.$

其维数为

$\dim \left(\mathcal{A}\right)={\lceil \frac{5+1}{2}\rceil }^2+{\lfloor \frac{5-1}{2}\rfloor }^2=13$

相应地，由命题3.6~3.8可知。

${\mathcal{A}}_1$ 的一组基为 $M_{0,0}^0,M_{0,2}^2,M_{2,0}^2,M_{2,2}^0,M_{2,2}^1$ ，其维数为 $dim\left({\mathcal{A}}_1\right)=2{\lfloor \frac{5}{4}\rfloor }^2+2\lfloor \frac{5}{4}\rfloor +1=5$ 。

${\mathcal{A}}_2$ 的一组基为 $M_{1,1}^0,M_{1,1}^2$ ，其维数为 $\dim \left({\mathcal{A}}_2\right)=2{\lfloor \frac{4+1}{4}\rfloor }^2=2$ 。

${\mathcal{A}}_3$ 的一组基为 $M_{0,1}^1,M_{1,0}^1,M_{1,2}^1,M_{1,2}^2,M_{2,1}^1,M_{2,1}^2$ ，其维数为 $\dim \left({\mathcal{A}}_1\right)={\lfloor \frac{5}{2}\rfloor }^2+\lfloor \frac{5}{2}\rfloor =6$ 。

另一方面，图C₅的所有距离矩阵为 $A_0,A_1,A_2$ 。所有对偶幂等元为 $E_0^{*},E_1^{*},E_2^{*}$ 。由引理3.10可知

$\begin{array}{l}{A}_0=M_{0,0}^0+M_{1,1}^0+M_{2,2}^0,\\ A_1=M_{0,1}^1+M_{1,0}^1+M_{1,2}^1+M_{2,1}^1+M_{2,2}^1,\\ A_2=M_{0,2}^2+M_{1,1}^2+M_{1,2}^2+M_{2,0}^2+M_{2,1}^2,\\ E_0^{*}=M_{0,0}^0,E_1^{*}=M_{1,1}^0,E_2^{*}=M_{2,2}^0,\end{array}$

并且

$E_0^{*}{A}_0{E}_0^{*}=M_{0,0}^0,E_0^{*}{A}_1{E}_1^{*}=M_{0,1}^1,E_0^{*}{A}_2{E}_2^{*}=M_{0,2}^2,E_1^{*}{A}_1{E}_0^{*}=M_{1,0}^1,E_1^{*}{A}_0{E}_1^{*}=M_{1,1}^0,E_1^{*}{A}_2{E}_1^{*}=M_{1,1}^2,$ $E_1^{*}{A}_1{E}_2^{*}=M_{1,2}^1,E_1^{*}{A}_2{E}_2^{*}=M_{1,2}^2,E_2^{*}{A}_2{E}_0^{*}=M_{2,0}^2,E_2^{*}{A}_1{E}_1^{*}=M_{2,1}^1,E_2^{*}{A}_2{E}_1^{*}=M_{2,1}^2,E_2^{*}{A}_0{E}_2^{*}=M_{2,2}^0,E_2^{*}{A}_1{E}_2^{*}=M_{2,2}^1.$

因此对于图C₅有代数 $\mathcal{A}=T$ ，这里 $T:=T\left(x_1\right)$ 表示图C₅关于点x₁的Terwilliger代数。