1. 引言
Nevanlinna值分布理论是研究复域方程解的性质的重要工具,我们假定读者已熟悉常用的Nevanlinna理论的标准符号,如
,
,
等,见文 [1] [2] ,为了简便,我们在本文用
表示f的单极点的计数函数,
表示f的多重极点的计数函数。一般地,我们用
表示
,
可能除去一个r的有限线测度集合。若亚纯函数
满足
,称a为f的小函数。此外,定义f的级
,零点收敛指数
如下
.
1964年,Hayman [1] 将Tumura-Clunie定理 [3] [4] 推广到了只含有一个主项
的微分方程
,其中
是f及其导数的微分多项式,其次数为d,系数为f的小函数,
为给定的整函数或亚纯函数。2004年,Yang-Li [5] 研究了一类更为具体的微分方程
,指出此方程具有三个非零整函数解
,
,
。由此,借助于三角函数与指数函数的关系,在过去二十年,许多学者开始广泛研究了以下形式的Tumura-Clunie型微分方程 [6] [7] [8] [9]
, (1)
其中
,
为非零有理函数且
,
为非常数多项式。
2013年,Liao-Yang-Zhang推广了Li [10] 的结论得到:
定理A ( [11] )设整数
,如果
且方程(1)存在仅有有限个极点的亚纯解f,则
为有理函数,进一步地,有下列情况之一成立:
1)
,
,其中
为有理函数,
为多项式且
;
2)
,
或
,其中
为有理函数,k为整数且
,
为多项式且
或
;
3) f满足
,
,或
,
,其中
为有理函数;
4)
,
,其中
,
为有理函数,
为多项式且
或
。
2018年,Zhang得到了如下结论:
定理B ( [12] )设整数
,
,若方程(1)存在仅有有限个极点的超越亚纯解f,则
为有理数且
,其中
为非零有理函数,
为非常数多项式,进一步有下列情况之一成立:
1)
,
且
;
2)
,其中t为整数且
,
,
,或者
,其中t为整数且
,
,
。
我们注意到(1)的右端是两个指数项,2020年,Chen-Lian研究了右端有三个指数项的情况:
定理C ( [13] )设整数
,
为f的次数
且系数为有理函数的微分多项式,设
为非零有理函数,
为使得
互异的非常数多项式,若
且微分方程
(2)
存在仅有有限多个极点的超越亚纯解f,则
为有理数且
,其中
为非零有理函数,
为非常数多项式。进一步地,存在正整数
满足
和不同的整数
满足
,使得
,
,且
。
受此启发,我们自然想知道如果把方程(2)右端指数项扩充成m项会有什么样的结果?如果减弱定理C中的条件
,
是否会有类似的结果出现呢?
定理1 设正整数
,
为f及其导数的微差分多项式满足
,
且
,其中
,
为不同的复常数,
为常数。设
为非零常数,
为不同的非零常数。若方程
(3)
存在有限级亚纯解f且
,则
且有以下两种可能:
1)
且
,
,且
,
.
2)
且
。特别地,当
并且
,
时,令
则有
,并且有以下式子成立:
,
.
(i)
,
,其中
为非零常数且
,
;
(ii) 若
为非常数亚纯函数则
。特别地,设
,且
,其中
为常数,
为多项式,则存在
,使得
且
,其中,
,
为常数。
下面的例子表明定理1的结果是精确的。
例1 方程
有解
。
此时
,
,
,
。满足定理1中的(1)。
例2 方程
有解
。
此时
,
,
,
。满足定理1中的(2) (i)。
例3 方程
有解
。
此时
,
,
。满足定理1中的(2) (ii)。
2. 主要引理
引理1 [4] 假设
是满足
的超越亚纯函数,其中
和
是关于f及其导数的多项式,系数为亚纯函数,记为
,对任意
,有
,且
的次数至多为n,则有
.
引理2 [14] 设
,
为不同的非零复常数,
为满足
的增长级小于q的亚纯函数。记
,则存在两个正常数
,使得对充分大的r有
。
引理3 [15] 设
为亚纯函数,
为整函数且满足
1)
;
2) 对于
,
不为常数;
3) 对于
,
,
;
则
。
引理4 [16] 设
,
,
为不同的非零常数,
为非零的亚纯函数。则方程
不存在任何满足
的亚纯解f。
引理5 设
,
,
,
为不同的非零常数,
为非零的亚纯函数。则方程
(4)
不存在任何满足
的亚纯解f。
证明:
时,Chen-Chen [17] 已证,下面我们考虑
的情况。
设(4)存在一个亚纯解
满足
,则
从而有
。对(4)改写有:
.
记
,
,显然
互异,从而
. (5)
注意到
,
所以有
. (6)
我们对(5)应用引理2,存在
,使得当r充分大时,
,从而结合
有
. (7)
又由引理3,有
. (8)
由(6),(7)及(8)和Nevanlinna亏值定理 [1] 有
,
这说明
,与
矛盾。
3. 定理1的证明
先证
。根据对数导数引理 [1] 和差分对数导数引理 [18] 我们有
.
又因为
,我们有
(9)
由于
,结合上式有
. (10)
另一方面,我们根据(3)有
,
即
. (11)
从而根据(10)和(11)我们可以得到
。
记
,
,改写(3)为
, (12)
对上式进行微分有
. (13)
由(12)及(13)消去
有
,
其中
,
。类似地,我们依次消去
有
. (14)
对于(14)我们分以下两种情况讨论:
情况1.
。由
,代入假设有
(15)
解得(15)的一般解为:
, (16)
其中
为常数。由
,引理4和引理5有
。显然满足
。
不妨设
, (17)
从而
, (18)
记
,从而
。则(3)可改写为
, (19)
其中
为常数。
由
,
,对(19)应用引理3有
,存在
个常数
,使得
。否则由引理3,至少存在一个
,这与定理的假设相矛盾。
同理有下式成立:
,
,且
情况2.
。由
及
,
为了方便我们改写上式为
(20)
其中
(21)
由(20),(21)及引理1有
, (22)
注意到G/f的项由以下式子线性组成:
其中
,
,
,
,
。从而
. (23)
由(21)及(22)有
(24)
显然当
时,上式不成立。
接下来,我们在
的条件下进一步考虑,当
时,有
, (25)
与(12)~(14)类似消去
有:
, (26)
其中
(27)
情况2.1.
。从而结合(27)有:
(28)
由
,设
为f的k重零点。由(27)及假设,可以得到
,在
的邻域有:
。对于(28),
为等式左端的3k重零点,而等式右端
的系数为
,显然
的系数不为零,矛盾。从而有
。
根据(27)及对数导数引理有
.
从而
(29)
由(27)及(29)有
(30)
情况2.2.
。由于
,设
为f的k重零点,则可以得到
,所以
,即f的所有零点都为单零点,由此我们有
. (31)
由于
,有
,即
(32)
由于
为f的单零点,所以
。
令
. (33)
情况2.2.1.
。在此假设条件下,由
的定义式(33)可得
,从而
, (34)
其中
为常数,显然它们非零,否则
。将(34)代入(25)有:
, (35)
其中
为常数。由引理3,有
,
,
。
情况2.2.2.
。由对数导数引理有
. (36)
由于f的零点只能为单零点,从而
的极点只能为f的极点,结合(36)有
. (37)
改写(33)有
, (38)
其中
,
。对上式微分有
, (39)
, (40)
将(38),(39),(40)代入(32)有
, (41)
其中
由于
及(41)有
. (42)
假设
,改写(42)有
. (43)
从而由(31)及(37)有
这与
矛盾,故
。所以
。假设
,同理得到矛盾。结合(42)有
,在定理条件下无解。
情况2.3.
是f的小函数且
不为常数。由(27)及(32)有
(44)
由于
以及
,所以可以令
为f的l重零点,并且它既不是
的零点,也不是(44)的系数的极点,从而由
的定义式有
。即f的零点都是单零点。同时又由(44),
也为
的零点。
令
. (45)
情况2.3.1.
。由对数导数引理有
,又因为
有
. (46)
根据(46)有
, (47)
其中
,
.
对(47)微分得
, (48)
(49)
将(47)和(48)代入(44)化简后有
, (50)
其中
假设
,改写(50)有
, (51)
由于
,
以及
,可假设
为f的k重零点,并且它不是
的零点和极点,从而由(51),有
。另一方面我们注意到
为(51)左端2k重零点,右端
重零点,这显然是矛盾的。所以
。同理有
。从而
,这在定理条件下无解。
情况2.3.2.
。使用与情况2.3.1类似的方法可以推得矛盾,在此简述方便理解。由假设及(46)有
, (52)
其中
。对(47)微分有
, (53)
, (54)
将(52),(53)及(54)代入(44)有
, (55)
其中
(56)
从而有
.
注意到f只有单零点,
,
,与对(50)的分析同理有
,从而
,这与
不为常数矛盾。
情况2.4.
,
。由
的定义及
,
为常数,
为多项式,显然
不全为常数,设Q为
中不为常数的多项式。因为
,
,所以
。不妨设前
个是非常数多项式,记
,则
,代入(26)有
, (57)
解(57)得
,
其中
为常数。从而结合(25)有
,
其中
。从而完成定理的证明。
4. 展望
1) 是否可在本文的基础上更深入地研究方程
,在
时给出更为具体的亚纯解的表达式。
2)
,考虑改变方程左边的主要部分,用
替换原方程的
,研究方程的亚纯解情况。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(12171050, 12071047),中央高校基本科研基金(500421126)。