1. 引言
本文将证明如下非线性Choquard方程存在无穷多解
,
(1)
其中
,
,且
是Riesz位势,定义如下
满足Berestycki-Lions条件且其为奇或偶的,
。
是Lagrange乘子。
表示径向对称Sobolev函数空间。
考虑如下非局部源方程存在无穷多解
,
(2)
其中
,且
是Riesz位势,定义如下
满足Berestycki-Lions条件且其为奇或偶的,
。
是Lagrange乘子。
表示径向对称Sobolev函数空间。其中具有非局部源的半线性方程(1)和(2)有一些物理动机,通常称之为非线Choquard方程。Choquard型方程有许多物理背景,例如Pekar用方程
(3)
描述了极子化的量子理论 [1] ,Choquard用方程(3)描述了电子阱模型 [2] 。
考虑(1)中G是具有如下一般假设的Berestycki-Lions型函数
(G1)
;
(G2) 存在
使得对任意
(G3)
(G4)
,即存在
,
使得
。
(G5) G是奇或偶的。
当
,
,
,则方程(2)可表示为如下形式
(4)
若u是(4)的解,则波函数
是时变Hartree方程
(5)
的孤立波。(5)规定u的质量
,即
满足下式
频率
是自由的,则该问题被称为约束问题。
约束问题在物理学中具有重要的相关性,体现在量子概率的归一化,由于质量有特定的意义,如非线性光学中的电源或Bose-Einstein凝聚中的原子总数。此外,对约束问题的研究可以了解其动力学性质,如(5)的解的轨道稳定性。在局部框架中,对约束问题的研究主要由Stuart [3] 和Cazenave和Lions [4] 等人做出了重要贡献。
Kirchhoff型方程逐渐引起学者们的广泛关注。该方程源于1883年德国物理学家Kirchhoff [5] 在研究弦振动时提出的一种弹性弦方程
(6)
其中
是质量密度,
是初始张力,h是截面面积,E是材料的杨氏模,L是绳的长度,
是时间,
表示横向位移,其最显著的特征是带有一个形如
的系数,该系数通常被称为非局部系数,该系数是依赖于运动的能量(即动能)
在区间
上的平均值
,同时
将带有非局部系数的方程称为非局部问题。这个方程考虑了可收缩弹性弦在横向振动过程中的长度变化影响,推广了D’Alembert的弹性管柱自由振动方程,在非牛顿力学、宇宙物理、弹性理论电磁学等诸多领域都有广泛的应用。除此之外,类似的非局部问题也用于模拟一些物理系统和生物系统,其中,u描述了一个依赖于其自身的平均过程。例如,在人口密度相关研究中,形如
的问题已经得到了广泛的研究,关于Kirchhoff型问题的更多数学和物理背景,我们参考 [6] [7] [8] 。
2010年,He和Zou [9] 应用变分法及Ljusternik-Schnirelman畴数理论研究了形如
的Kirchhoff型方程的多重性和集中性问题。
2022年,Cingolani,Gallo和Tanaka [10] ,在几乎最优假设下,利用构造奇维多路径和增广泛函,通过形变引理、山路引理、对称山路引理、临界点理论、亏格理论等方法得到如下具有L2-约束的非线性Choquard方程有无穷多解
假设G满足(G1),(G4)且满足L2次临界条件,即
(CG2) 存在
使得对任意
使得
(CG3)
受上述文献的启发,一个自然的问题是:带有Choquard型的Kirchhoff方程在L2-约束条件和Berestycki-Lions条件下能否得到无穷多解?查阅相关文献,似乎还没有学者做带有Choquard型的Kirchhoff方程(具有两个非局部源项)在L2-约束条件和Berestycki-Lions条件下得到无穷多解的相关工作。因此,考虑如下具有L2-约束的非线性Choquard方程,即
(7)
方程(1)和(2)都是非局部问题。一方面,非局部源
的存在,导致文献 [11] 中的结论不能直接应用于非线Choqquard方程,需要新的方法获得多维奇路径。为了达到这个目的,需要找到合适的环:利用对应于环上的特征函数来构造多维奇路径。另一方面,方程(1)有两个非局部源项,其中
表明(1)不是点态恒等式,这导致了无法直接应用弱收敛方法,并造成了分析上的困难。因此,利用Wu在文献 [12] 中的证明,将方程(1)转化为如下关于
的系统:
(8)
从而,只考虑卷积项带来的困难。因此,方程(7)可转化为求如下系统
(9)
由于Tananka [10] 中证明了方程(9)有无穷多个解。因此,方程(7)也具有无穷多解。
令
,考虑能量泛函
,定义如下
受Pohozaev恒等式的启发,引入Pohozaev泛函
,定义如下
并且Pohozaev水平集
注意到,
且
利用Palais-Smale条件 [4] 的一个变形,它考虑了Pohozaev恒等式,这将证明新的变形定理,使得能够在乘积空间
中应用极大极小原理。从而将证明在该乘积空间中具有极大极小结构的无穷多个L2-归一化解的存在性。
定理1 假设
且(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。
1) 对任意
,存在
使得对任意
,问题(7)至少有k对不同的非平凡径向对称解。
2) 此外,假设在0处L2次临界增长,即
(CG4)
此外,若G是奇的,存在
,假设
在
是不减的,则对任意
,有
,即对任意
,问题(7)有可数多对解
满足
。此外,当
时,有
定理2 假设
且(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。
1) 对任意
,存在
使得对任意
,问题(9)至少有k对不同的非平凡径向对称解。
2) 此外,假设在0处L2次临界增长,即
(CG4)
此外,若G是奇的,存在
,假设
在
是不减的,则对任意
,有
,即对任意
,问题(9)有可数多对解
满足
。此外,当
时,有
第二节是预备知识;第三节Palais-Smale-Pohozaev条件和形变定理相关结论;第四节关于极大极小方法,建立了多重奇路径并给出了非局部项的估计;第五节证明了主要结果。
2. 预备知识
在下文中,将使用如下记号:
,对任意
;
,对任意
且
;
,对任意
且
;
令
此外,记q为下临界指数,p为L2-临界指数,即
命题2.1 ( [13] ) 设
使得
,则映射
连续。特别地,若
,满足
,则存在一个常数
及对任意
和
使得
由于技术原因,令
,
。考虑能量泛函
,定义如下
其中
。
由命题2.1和(G1)-(G2)可得,D在
中连续,因此由嵌入定理,D在
中连续;若满足(CG2),则D在
中连续。因此,
。
定义C1-泛函
容易验证,对任意
对固定的
,u是
的临界点当且仅当u是
的解,其中u是弱解。
受Pohozaev恒等式的启发,引入Pohozaev泛函
,定义如下
考虑
和
上的
作用,即
在(G5)的假设下,
对于u是偶的,即
用
表示第二个分量的投影,即
3. Palais-Smale-Pohozaev条件和形变定理
对任意
,令
在(G1)-(G2)的条件下,对任意
,则
。在(G5)的条件下,
在
作用下是不变的,即
受 [3] 的启发,引入Palais-Smale-Pohozaev条件,它是比Palais-Smale条件更弱的紧性条件。应用新的紧性条件,将证明当
时,
时紧的。
定义3.1 若
被称为Palais-Smale-Pohozaev序列(简称
序列),对任意
,
在水平c满足如下条件
则
在
中有强收敛的子列。
命题3.2 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立且
。则
满足
条件。
推论3.3 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立且
。则
且
是紧的。
证明 若
,则
;由命题3.2知,在
处
不成立。事实上,当
时,由
的无界序列
可知,
是紧的。
由 [2] [3] ,定义
并且引入增广泛函
由
的伸缩性质可得
考虑在M上的
作用,即
并且由(G5)可知,
是
不变的,即
在M上引入一个度量
对任意
,M是Hilbert流形。用
表示
上的对偶模。
和
只依赖于
。
定义
是关于所有变量的梯度。直接计算可得
对任意
且
,因此
定义
是
在水平c的临界点集,并且可推出
引入两点之间的标准距离作为连接两点的曲线的长度,即
命题3.4 ( [14] ) 令
且假设(G1)-(CG2)-(CG3)成立。则
满足
,即对任意
,当
时,有
在子列意义下,
条件不同于标准Palais-Smale-Pohozaev条件并且经过适当放缩后保证了紧性。若
,则
不紧。
对
,记
命题3.5 ( [14] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)。令
且O为
具有
标准距离的领域。令
,则存在
和
连续,使得
1)
;
2) 对任意
,使得
;
3)
沿着
不增并且对任意
,
;
4) 若
,则
;
5) 若
,则
并且
6) 若(G5)成立,则
是
等变的,即令
,
关于u是偶的,
关于u是奇的。
命题3.6 ( [14] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)。令
且
为
具有
标准距离的领域。令
,则存在
和
连续,使得
1)
;
2) 对任意
,使得
;
3)
沿着
不增并且对任意
,
;
4) 若
,则
;
5) 若
,则
并且
6) 若(G5)成立,则
是
等变的,即令
,
关于u是偶的,
关于u是奇的。
4. 极大极小方法
对于
且
,引入奇路径的集合
和极大极小值
命题4.1 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)成立。令
且
。则
,因此
有定义。此外,
且
。
定理4.2 ( [10] ) 令
是径向的且
。则
是径向的且
其中
且存在
,使得
且
其中
令
对任意
。
引理4.3 ( [10] ) 当
时,
引理4.4 ( [10] ) 当
,则
命题4.5 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)成立且令
。
1) 若(CG3)成立,则
。
2) 若(CG4)成立,则
。
考虑Pohozaev水平集
在(G5)的假设下,
关于轴
对称,即
引理4.6 ( [10] )
。
命题4.7 ( [10] ) 假设(G1)-(G4)。则下列性质成立
1) 若
,则
。
2) 若
,则
。
3) 假设(CG3)。对任意
,令
则
。特别地,
且对
,则
。
令
且
,
且
是
等变的,即
是偶的,
是奇的,此外,
蕴含着
。
命题4.8 ( [10] ) 假设(G1)-(G2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。则下列性质成立:
1) 对任意
,
,则
且
时,
此外,
关于n递增。
2) 对任意
,存在
,其中
,使得对
此外,
关于k递增。
3) 若(CG4)成立,则对任意
有
。即对任意
,
,有
。
推论4.9 ( [10] ) 对任意
,则
。
对
,
满足
条件且形变引理成立。令
,当
时,
是
的临界值。为了解决
时,
的情况,引入了亏格理论。
设X为Banach空间,集合
称为关于原点对称的,是指若
,则
。记N为X中关于原点对称的闭子集的全体。非负整值函数
称为N上的
亏格,是指g满足
1) 当
时,
;
2) 当
时,
;
3) 若对任何自然数m,都不存在连续奇映射
,则
。
对任意
,定义
且
命题4.10 ( [10] ) 假设(G1)-(G2)-(CG3)-(G4)成立。令
且
。则
1)
;
2)
,且
;
3)
;
4)
。
令
且
是
等变,闭的,使得
且
。则
。
命题4.11 ( [10] ) 假设(G1)-(CG2)-(CG3)-(G4)-(G5)成立。固定
且假设
。则
是
的临界值。此外
1) 存在
,使得
则有
个非零临界值,因此(7)有
对不同的非平凡解。
2) 存在
,使得
则
且
,这蕴含着(7)有无穷多对不同的解。
5. 主要定理证明
定理1的证明 根据命题4.11可推出(1)。通过(1)可证明(2)成立。在条件(G4)的假设下,对任意
,则有
。因此,对任意
,
是
的临界点且
。由于
是递增列,则当
时,
。
现在证明
。假设
。由推论3.3,命题3.5,命题4.11以及
,则
(10)
且当
时,
(11)
对充分大的
,使得
。令
使得
。则
由(10)和(11)可得
,矛盾。
定理2的证明 一方面,若方程(8)有无穷多解
,则在弱意义下,
且
令
,则
则蕴含方程(1)有无穷多解
。
另一方面,若方程(1)有无穷多解
,则在弱意义下,
令
且
,则
且
则蕴含方程(1)有无穷多解
。此外
具有相同的径向对称性。因此,定理2的证明可从定理1的证明与上述结论得到。