1. 引言
纽结(链环)多项式是一个纽结不变量,且是以系数符合给定纽结(链环)性质的多项式。其中重要的纽结多项式有:Alexander,Alexander-Conway,Jones多项式等,其均为定向纽结和链环的单变量Laurent多项式不变量。HOMFLY多项式是定向纽结和链环的双变量Laurent多项式不变量。Kauffman多项式F是纽结和链环的双变量的半定向多项式不变量,他可以更好地区分纽结(链环)和他的镜像。根据纽结或链环的Kauffman多项式F可以得出该纽结或链环的Jones多项式和BLM/Ho多项式等。Kauffman多项式F的原始版本是不定向纽结和链环图的正则合痕不变量,用L表示。
2014年,Berceanu B,Nizami A R利用简单递归关系,给出计算闭辫子Jones多项式的新方法,得出Jones多项式的一般展开式和有理生成函数 [1] 。2015年,Duzhin S,Shkolnikov M给出有理链环(纽结) HOMFLY多项式的详细公式 [2] 。Taşköprü K,Altıntaş İ研究了作为广义Fibonacci多项式的环面链环的HOMFLY多项式,给出环面链环的HOMFLY多项式和广义的Fibonacci多项式之间的矩阵表示 [3] 。2018年,Ismet Altintas,Kemal Taşköprü,Merve Beyaztaş证明环面链环的尖括号多项式的递归关系式与Fibonacci多项式相似,给出其一些基本性质 [4] 。2019年,Altıntaş İ,Taşköprü K研究了可以作为Fibonacci类型多项式的环面链环的Kauffman多项式和BLM\Ho多项式,借助BLM\Ho多项式来解释Kauffman多项式 [5] 。在此基础上,本文研究了一类n分支不定向直线型链环和复叠链环,并计算其Kauffman多项式。为实现此类链环Kauffman多项式的计算,第一部分介绍了纽结理论相关的基础知识和基本概念;第二部分计算n分支直线型链环的Kauffman多项式;第三部分借助n分支直线型链环的Kauffman多项式计算n分支复叠链环的Kauffman多项式。
2. 预备知识
2.1. 纽结与链环
[6] 纽结:设K为S3中的一个简单闭曲线,且,则称K为一个纽结,如果给定K一个定向,则称K为一个定向纽结。图1为平凡结。
[7] 链环:将若干个互不相交的圆嵌入到三维欧氏空间R3中,这些圆形成的空间图称为链环,记,每个纽结为链环L的一个分支,在此之中n为链环L的分支数。如果给每个链环的每一个分支一个固定的方向,则称这个链环为一个定向链环。
[6] 注1:纽结为分支数为1的链环。
[6] 注2:若链环L所有的分支都是平凡结,则称链环L为平凡链环。如图2所示。
2.2. [8] 纽结(链环)的投影图
对于一个纽结(链环),选取一个合适的平面,选择一个合适的方向对其进行投影,把三维空间中的纽结(链环)正则投影到这个平面上,得到的投影图中只有有限多个交叉点;每个交叉点都是二重点,在上下线处的投影都是互相穿越交叉的。则称其为纽结(链环)投影图。
注:投影图会因为选取平面的不同而不同。
2.3. [9] [10] Reidemeister Move (R变换)
R变换是纽结理论中最基本的变换,它可以概括三维空间中纽结所有的拓扑情形。R变换是改变纽结的正则投影图的三种方式,其中每一种方式都会改变交叉点之间的关系。Reidemeister变换有三种变换方式,分别为R1变换、R2变换、R3变换。如图3所示。
2.4. [11] 纽结的分离并
在链环L的补空间中,存在一个二维球面S,将其嵌入可以将链环L分为不同的连通分支,并且这两个分支分布在球面S的两侧,则称链环L为可分离的。如果将所得的这两个不同的连通分支记为,则此时,称L为L1和L2的分离并,记作。
2.5. [5] Kauffman多项式定义
Kauffman多项式是不定向链环投影图K的一个双变量的Laurent多项式,Kauffman多项式是链环K的合痕不变量。并且Kauffman多项式的特殊化是链环的尖括号多项式,其也是BLM/Ho多项式的双变量推广。
2.6. [5] Kauffman多项式的计算满足如下几个规则
1)
其中、、、是如图4所示的不定向图。
2),其中O为平凡结。
3)。
4)
其中、、是如图5所示的不定向图。
2.7. [5] Kauffman多项式的性质
1)或,,其中OO为2分支的平凡链环。
2)是一个平凡的m分支链环,。
3),其中表示链环K的镜像。
4),其中为链环和的组合。
5),其中为链环和的不相交并。
3. 一类特殊链环的Kauffman多项式L
n分支直线型链环Ln的Kauffman多项式L(Ln)
[11] 定义3.1 n分支直线型链环Ln:由n个分支所构成,且是由n个平凡结按照特定方式并在一起,如图6所示。
注1:最简单的非平凡的直线型链环为2个分支的直线型链环,即Hopf链环。
注2:规定1分支的直线型链环为平凡结。
[12] 定义3.2 n分支复叠链环Kn:由n个分支构成,是由n个平凡结两两相扣所得。如图7所示。
Figure 7. The covering links of n components link Kn
图7. n分支复叠链环Kn
定理3.1 n分支直线型链环Ln,其Kauffman多项式表达式为
.
证明 对于n分支直线型链环Ln,对其左下角交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其生成链环分别为,如图8所示。
即拆接关系式为
,
其中链环为平凡结与分支直线型链环的并;对应用一系列R1变换得到链环。可以得到如下关系式
,
,
.
即拆接关系式等价于
,其中
对其进行整理,得到的递归关系式
,
则有
,
,
由于L1为1分支的直线型链环,为平凡结,则。
对上述等式进行合并整理,有
.
定理得证。
定理3.2 n分支复叠链环Kn的Kauffman多项式的递归关系式为
初值为,,,其中。
证明 下面对一类不定向n分支复叠链环Kn的Kauffman多项式进行研究,首先对链环Kn左上角的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其生成的三个链环分别为,拆接关系式如图9所示。
即拆接关系式为
(3.1)
而对链环应用一系列R2变换,其可看作n分支直线型链环Ln;对链环应用一系列R1变换,其可看作分支复叠链环。
则3.1式等价于
. (3.2)
观察发现,为分支链环,令其为。接着对链环左上角的交叉点A应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其所生成的链环分别为,拆接关系如图10所示。
即拆接关系式为
, (3.3)
而对链环应用一系列R1、R2变换,其可看作分支直线型链环;对链环应用一系列R1变换,其可看作分支链环;链环为分支链环,令其为。
则3.3式等价于
. (3.4)
下面对分支的链环的Kauffman多项式进行研究,对链环的交叉点B应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其生成的链环分别为,如图11所示。
即拆接关系式为
, (3.5)
而对链环应用一系列R2变换,其可看作分支复叠链环;对链环应用一系列R1变换,其可看作分支直线型链环;链环为分支链环。
则3.5式等价于
. (3.6)
对3.2、3.4、3.6式进行合并、整理,可得时,Kn的Kauffman多项式的递归关系式为:
(3.7)
初值的计算分别如下:
1)
.
2)
.
3)
对链环K2的左上方的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式,令生成的链环分别为,如图12所示。
则有如下表达式
而对链环应用一系列R2变换,其可看作2分支直线型链环L2;对链环应用一系列R1变换,其可看作1分支链环L1。
即
(3.8)
接着对链环的右上方的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其生成的三个链环分别为,拆接关系式如图13所示。
则有
而对链环应用一系列R1、R2变换,其可看作平凡结;对链环应用一系列R1变换,其可看作平凡结。即
(3.9)
接着对链环的左侧的交叉点应用Kauffman多项式的拆接关系式,令其生成的链环分别为。如图14所示。
则有如下表达式
而对链环应用一系列R2变换,其可看作两个平凡结的并;对链环应用一系列R1变换,其可看作平凡结。即
(3.10)
对3.8~3.10式进行合并整理,得到链环的表达式为:
其中。
综上所述,定理得证。
注:全文k均为。
定理3.3 n分支复叠链环的Kauffman多项式所对应特征多项式的特征根为
其中
证明 由定理3.2可知,链环Kn的Kauffman多项式的递归关系式为
则其对应的特征多项式为
即
则该特征多项式的三个特征根分别为
.
定理得证。
推论3.4
其中
证明 将、、的值带入即可得到。
性质3.5 序列对应的生成函数为
其中。
证明的生成函数的形式如下:
分别对乘以
则有
由序列的递归关系式可知
,
则
则原式等价于
将三个初值、、的值依次代入上述等式,即可得到序列所对应的生成函数为
命题得证。
定理3.6 序列的通解为,其中,,
其中
其中
证明 序列的通项公式为
则分别令,有
(1)
(2)
,其中. (3)
解系数分别如下:
首先对系数C进行求解。对(1)式分别左右乘以、、有(4)式,对(1)式分别左右乘以、、有(5)式。
则有如下等式
(4)
(5)
则将上述(4)、(5)两式分别与(2)、(3)式作差,有(6)式和(7)式:
(6)
(7)
对上述(6)、(7)两式进行合并整理,得到C的表达式为:
同理可以求出
将、、的值带入上述三个式子即可得到
定理得证。
4. 结语
本文主要研究一类特殊不定向链环——复叠链环的Kauffman多项式。借助直线型链环的Kauffman多项式对复叠链环的Kauffman多项式进行研究。利用Kauffman多项式的拆接关系式推出其递归关系式,进而研究了这个递归关系式的生成函数。为研究定向复叠链环的Kauffman多项式以及BLM/Ho多项式奠定基础。