1. 引言
新课标中三维目标被核心素养所取代,数学核心素养被提升到了新的高度 [1] 。以核心素养目标取代三维目标,使学生获得基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,发展发现、提出、分析和解决问题的能力 [2] 。培养学生以数学的角度来思考转化问题,通过数学方法分析解决问题,以及积极处理问题的习惯和品质。平面几何是初中数学的核心模块 [3] ,是培养理性思维的主要载体,所体现的是学生直观想象的核心素养。
中点问题贯穿初中平面几何,含有一个或多个线段中点的几何问题称为中点问题。本文选取2022年天津市中考平面几何作为问题对象,它虽然图形简单,但内涵丰富,解法灵活多样,易于学生理解掌握。通常中点问题涉及的知识点较多,与不同的图形结合考察。所以通过对本中考题解法的学习有助于学生当面对中点与三角形、四边形、圆等结合考察时能够游刃有余,不同的题目会用所对应的方法 [4] 。有助于提高学生的模型思想和触类旁通的能力,培养学生的转化思想,提升学生的数学核心素养 [5] 。基于此,本文拟借助问题解决归纳一些中点问题常见的方法。
2. 原题呈现
如图1,已知菱形ABCD的边长为2,,E为AB的中点,F为CE的中点,AF与DE相交于G,则GF的长等于。
Figure 1. Question (1)
图1. 问题(1)
试题分析:这道中点问题是平行四边形上的中点,可将其转化到三角形上。当学生面对两个中点时,会自然的想到三角形的中位线。所以此题根据三角形中位线的性质,通过已知的条件来构造辅助线 [6] 、构造相似、构造全等,以及正余弦定理、勾股定理、解析法来对此题进行求解,相似是解决此题的关键。
3. 解法探析
3.1. 构造相似
解法1 已知一个中点,再找到一个中点,就可以利用中位线的性质对问题就行简化从而进行求解。如图2,因此按照这样的思路,要用构造相似求GF的长,连接BD,作CD的中点H连接BH,就要证明点F在BH上,RtΔAEG和RtΔABF相似,然后根据勾股定理和相似性质即可求出。
Figure 2. Question (2)
图2. 问题(2)
连接BD,作CD的中点H连接BH,因为ΔABD为等边三角形,所以,。HF为ΔCDE的中位线,所以,即F在BH上。根据勾股定理得,即,因为,且,所以,根据勾股定理得,所以。
解法2 如图3,按照解法1的思路如图,向外作辅助线,找到另外一个中点B,再根据中位线的性质将问题进行简化。利用构造出来的相似三角形的性质和勾股定理即可求出线段GF的长。
Figure 3. Question (3)
图3. 问题(3)
如图3,连接BF,作的延长线于点H,连接BD。,。即B为EH的中点,BF为ΔCEH的中位线。有,,,所以,即。因为,所以有,,即。由勾股定理得,即。
解法3 如图4,要求GF的长,连接BF,BD,作,只需证明RtΔFGI和RtΔFAB相似,再根据勾股定理和三角形相似的性质即可求出GF的长。
Figure 4. Question (4)
图4. 问题(4)
连接BD,BF,过点G作AB的平行线交BF于点I,因为,,,根据余弦定理得,因为,所以,所以,四边形BEGI是矩形。因为,,即,由勾股定理得,所以。
解法4 如图5,要求GF的长,过C点作AB的垂线交于AB的延长线于点M,AF的延长线交CM于点L,连接BD,只需证RtΔAEG和RtΔAML相似,再根据勾股定理和三角形相似的性质即可求出。
Figure 5. Question (5)
图5. 问题(5)
过C点作AB的垂线交于AB的延长线于点M,AF的延长线交CM于点L,因为,,,所以。根据勾股定理可得,。因为,,所以。不妨设,则,根据三角形相似性质有,即,解得,即,根据勾股定理得,即。
3.2. 构造全等
解法5 如图6,要求GF的长,过点F作DE的垂线交DE于H,只需构造全等证RtΔAEG和RtΔFHG全等,再根据勾股定理即可求出。
过点F作DE的垂线交DE于H,因为,所以,即H是DE的中点。在RtΔAEG和RtΔFHG中,,,,所以,G为EH的中点,即,,根据勾股定理可得。
Figure 6. Question (6)
图6. 问题(6)
3.3. 正余弦定理
解法6 如图7所示,要求GF的长,先要求出的余弦,根据余弦定理求出AF的长度,再根据余弦定理求得的正余弦,再根据正弦定理即可求出GF的长。
Figure 7. Question (7)
图7. 问题(7)
根据勾股定理得,因为,,,。所以,根据余弦定理,得。根据余弦定理得,,即,
因为,由正弦定理,得。
3.4. 勾股定理
解法7 如图8所示,要求GF的长,连接BF,BD,利用勾股定理和中点的性质可求出EF的长,通过勾股定理的逆用可证明,再配合中点由勾股定理即可得到GF的长。
Figure 8. Question (8)
图8. 问题(8)
连接BF,BD,由勾股定理得,,,即,根据余弦定理得,在ΔBEF中,,所以。因为,所以,又因为E为AB的中点,所以G是AF的中点。根据勾股定理得,即。
3.5. 解析法
解法8 如图9所示,要求GF的长,连接BD,BF,建立直角坐标系,利用待定系数法求出直线AF的解析式,可得EG的长度,利用勾股定理可得AF,AG的长度,进而求得GF的长。
Figure 9. Question 9)
图9. 问题(9)
则,,,,,F为EC中点,则。所以轴,设直线的解析式为,则,解得,即,根据勾股定理得,,所以。
4. 小结
中点问题贯穿于初中平面几何。若问题中出现中点,尤其是出现多个中点,则往往考虑构造中位线,利用三角形的中位线定理进行边和角的转换,从而达到解决问题的目的。当中点遇到直角三角形时,往往连接斜边中线,利用直角三角形斜边中线性质解决问题。有时条件比较隐蔽,需要自行取斜边中点。当中点遇到垂直时,可利用线段垂直平分线的性质定理解决问题。当中点遇到等腰或等边时,往往利用等腰三角形三线合一的性质解决问题。在初中平面几何中与中点有关的模型还有倍长中线模型、等腰三角形三线合一模型、直角三角形斜边中线定理模型、三角形中位线定理模型,都是进行边和角的转换,这里不再赘述。
构造相似在初中平面几何中比较常见,当问题有中点、直角,要证明是线段的倍数关系,或者给出一定条件让求角度,长度时,构造相似三角形的方法会更加简单。构造全等三角形是八年级数学内容中重要的章节,也是初中几何中的重要内容,中考对全等三角形的要求比较高,并且三角形全等的应用也比较广泛,主要用于证明几何问题中线段相等,线段之间的数量关系等问题。不过,往往在应用全等三角形的时候会出现各种各样的难点,需要学生大胆尝试,小心验证。通常用作平行或者截长补短法去构造全等三角形来解决问题。利用正余弦定理解决平面几何问题范围较窄,需要把所求问题转化为三角形,在三角形中求对应的角度和长度。利用勾股定理解决问题,通常情况下如果所给平面几何所含有直角三角形,或者通过做辅助能够得到直角三角形,就要考虑能否利用勾股定理或者逆定理将所给问题解决。常常需要通过勾股定理来建立三角形三条边之间的关系,这个过程通常也会运用到方程思想,通过设未知数求出待求线段的长。利用解析式法求平面几何问题时,要能够找到两条相互垂直的线段,建立适当的平面直角坐标系,将所求线段在平面直角坐标系中表示出来。利用待定系数法求出所求直线解析式再配合其他方法将问题解决,这种在平面几何中应用一次函数的方法比较简单,能够培养学生的函数思想和问题解决能力。
上述的五种类型的八种方法不仅用到了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、而且使用了辅助线、勾股定理的逆用、以及正余弦定理。在解决此类问题的同时可以让学生将这些知识联系起来,加以巩固,并且对培养学生的直观想象和发散性思维有很大帮助。解决此类问题的过程中应该聚焦于中点,用中点简化图形。总之,2022年天津市中考第17题图形简单,但内涵丰富,值得分享。
参考文献
NOTES
*第一作者。
#通讯作者。