1. 引言
经典Morrey空间在研究二阶椭圆偏微分方程解的正则性时被首次定义 [1] 。这类函数空间作为经典Lebesgue空间的推广,在调和分析本身及偏微分方程等领域有着重要应用。分数次极大算子作为现代多元调和分析基本的理论工具,其在各类函数空间上的有界性一直受到众多学者的广泛关注。1974年,Muckenhoupt和Wheeden研究了分数次极大算子在加权Lebesgue空间上的有界性 [2] ;1987年,Chiarenza和Frasca获得了分数次极大算子在Morrey空间上的有界性 [3] ;1996年,Ding研究了一类粗糙核极大算子交换子的有界性 [4] ;2016年,Wang和Zhu研究了分数次极大算子在加权变指标空间上的有界性 [5] 。2020年,Duoandikoetxea和Rosenthal引入一类新的加权Morrey空间 [6] ,这类空间是经典Morrey空间的推广并且受到了广泛的关注。2022年,Zhou和Zhao证明了分数次极大算子在这类加权Morrey空间上的有界性 [7] 。受以上启发,本文主要研究分数次极大算子及其交换子在这类加权Morrey空间上的加权估计。关于加权Morrey空间还有更多的结果 [8] [9] [10] [11] [12] 。在叙述本文主要结果之前,首先引入需要的概念和记号。
设
,f为Rn上局部可积函数,分数次极大算子定义为
, (1)
其中,B为Rn中的球体。相应地,给定一个局部可积函数b,由b和
生成的交换子定义为
. (2)
设
,
,Rn上的非负局部可积函数
称为
权,如果存在常数
,使得
. (3)
定义1 [13] BMO空间定义为
, (4)
其中
,
当
时,对任意的
,有
. (5)
定义2 [4] 设
,
,f为可测函数,加权Morrey空间定义为
, (6)
其中,
表示球心为x、半径为r的球;
表示的是非负局部可积函数w在
上的积分。
定义3 [4] 设
,
,f为可测函数,弱加权Morrey空间定义为
, (7)
2. 主要定理
定理1 设
,
由式(2)所定义,那么当
,
,并且
,
时,存在一个与f无关的常数C,使得
.
定理2 设
,
由式(2)所定义,那么当
,
,并且
,
时,存在一个与f无关的常数C,使得
.
定理3 设
, ,
由式(3)所定义,那么当
,
,
,
,
,并且
,
,
时,存在一个与f无关的常数C,使得
.
本文中,
表示p的共轭,即
;
代表集合E的特征函数;C是和主要函数和参量无关的常数,在不同行中甚至在同一行中可以不同。
3. 定理的证明
在证明定理之前,先给出以下引理。
引理1 [8] 设
,
,
,当
时,存在一个与f无关的常数C,使得
.
引理2 [8] 设
,
,
,当
时,对任意的
,存在一个与f无关的常数C,使得
.
引理3 [14] 如果
,则对任意的
,
以及任意球
,当
时,有
.
定理1的证明 设
为局部可积函数,给定任意的球
,分解f为
,其中
,
,则
对于
,利用引理1,有
利用Hölder不等式,当
时,有
. (8)
通过式(8),不难得到
. (9)
显然
, (10)
所以
. (11)
同理,对于
,利用引理1,有
利用
、引理3,有
. (12)
结合式(11)、(12),定理1证毕。
定理2的证明 结合定理1的证明,我们只需考虑
的情况便可证明定理2。对局部可积函数
,给定任意的球
,分解f为
,其中
,
,则
,从而
,
显然,
对于
,利用引理2,有
利用
、引理3,得到
. (13)
对于
,利用引理2,有
利用
、引理3,得到
. (14)
结合式(13)、(14),定理2证毕。
定理3的证明 同理,分解f为
,其中
,
,则
对于
,有
对于
,利用Hölder不等式、引理1,有
利用
、引理3,得到
. (15)
对于
,利用引理1、Hölder不等式,有
注意到
,结合引理3,有
. (16)
对于
,首先
因此,有
对于
,利用Minkowski不等式、Hölder不等式,有
利用
,得
. (17)
同理,对于
,利用Minkowski不等式、Hölder不等式,有
对于
,利用Hölder不等式,有
根据
,结合引理3,有
. (18)
对于
,由于
因此,利用Hölder不等式,有
根据
,利用引理3,有
. (19)
结合式(15)~(19),定理3证毕。