基于数字孪生航空发动机的数学建模综述

Overview of Mathematical Modeling Based on Digital Twin Aviation Engines

摘要: 在航空工业中，航空发动机可以说是飞机中最为重要的一部分，承担着产生推力、提供电力和气源等重要任务。因此，对于发动机的性能表现和工况分析十分关键，而数学建模技术是一种有效的分析工具，具有十分广泛的应用前景。航空发动机模型是航空工业中不可或缺的工具，通过该模型可以进行发动机设计、性能优化和工况仿真分析等，对于提高发动机性能和降低运营成本具有十分重要的作用。本文将以航空发动机为研究对象，探讨建立数学模型进行发动机性能、燃油消耗和排放等方面的分析和优化，并对其运用的算法进行归纳整理。

Abstract: In the aviation industry, aircraft engines can be said to be the most important part of the air-plane, responsible for generating thrust, providing power and air supply, and other important tasks. Therefore, the performance and operating condition analysis of the engine are crucial, and mathematical modeling is an effective analytical tool with a wide range of applications. The engine model is an indispensable tool in the aviation industry. Through this model, engine design, performance optimization, and simulation analysis of operating conditions can be performed, which plays a sig-nificant role in improving engine performance and reducing operational costs. This article will focus on aircraft engines as the research object, exploring the establishment of mathematical models to analyze and optimize engine performance, fuel consumption, and emissions. We will also summarize and organize the algorithms used in the process.

1. 引言

数字孪生航空发动机是通过将航空发动机的数字孪生模型与实际发动机的数据相结合 ‎[1] ，进行性能预测、状态监测以及故障诊断等分析。具体而言，数字孪生航空发动机可以实现以下功能：

性能预测：通过数字孪生模型，可以对发动机在不同工况下的性能参数进行预测，如推力、油耗等。这可以帮助设计师更好地了解发动机性能特点，优化设计方案。

状态监测：数字孪生航空发动机可以采集实际发动机的实时运行数据，并与数字孪生模型进行比对和分析，实现发动机状态的监测和评估。这有助于预测发动机的维修周期、提高运行效率等。

故障诊断：通过数字孪生模型，可以模拟发动机的故障情况，并进行诊断和排查。这可以帮助维修人员准确定位故障原因，提高故障排除效率，数字孪生航空发动机的各功能及其组成见图1。

Figure 1. Steps of digital twin aviation engines

图1. 数字孪生航空发动机步骤

数字孪生航空发动机技术的应用，可以提高发动机的安全性、可靠性和经济性。通过模拟和仿真分析，可以更好地了解发动机的运行状态，及时进行维护和保养，提高发动机的使用寿命和性能，航空孪生航空发动机工艺各孪生模块见图2。

Figure 2. Aviation twin aerospace engine manufacturing process twin module

图2. 航空孪生航空发动机工艺孪生模块

2. 航空发动机性能模型

航空发动机的性能模型是用来预测发动机在不同工作状态下的性能指标，如推力、比油耗等。该模型可以帮助工程师和设计师更好地了解发动机的性能特点，从而进行优化设计和工况分析。

一般来说，航空发动机性能模型包括基础模型和高级模型两个部分。基础模型考虑较少的参数，适用于粗略计算或初步设计阶段；而高级模型则考虑更多的参数，并采用更复杂的计算方法，适用于详细设计和性能仿真分析阶段。

在基础模型中，最常用的模型是实验法，即基于实验数据建立模型，通过回归分析等统计方法得到性能指标与工况参数之间的关系。根据不同的工况参数，可以建立不同的回归模型，如静态推力模型、巡航油耗率模型等。

在高级模型中，常用的方法包括计算流体力学(CFD)、有限元分析(FEA)等。这些方法基于物理学和力学原理，将工况参数、燃油热力学特性等因素融合到模型中，从而得到更精确的性能预测。

总之，航空发动机性能模型是航空工业中不可或缺的工具，通过该模型可以进行发动机设计、性能优化和工况仿真分析等，对于提高发动机性能和降低运营成本具有十分重要的作用。

航空发动机的性能主要包括推力、燃油消耗率、比油耗等指标，这些参数具有相互耦合的特征。因此，我们需要建立一个综合考虑各种影响因素的性能模型来进行分析。

在性能模型的建立中，结合气流在内部的分布、速度、压力等参数变化的影响、利用力学方法分析离心力、轴向力、弯曲力等作用在转子部件上的载荷，结合计算流体力学的方法，考虑各种流场分析、动力学计算和燃油热力学特性等因素，建立发动机推力与燃油消耗率之间的关系。

在对航空发动机的性能仿真问题上，S. Kiakojoori和K. Khorasani利用计算智能方法解决了飞机燃气涡轮发动机的健康监测和预测问题。为此，开发和设计了两种不同的动态神经网络，即具有外生输入的非线性自回归神经网络和Elman神经网络。所提出的动态神经网络旨在捕获燃气涡轮发动机中两种主要退化的动力学，即压缩机结垢和涡轮侵蚀。然后根据涡轮输出温度(TT)预测发动机的健康状态和状况，具体取决于这些恶化的发生。考虑了分别和组合的结垢和侵蚀的各种情况。对于每个场景，训练几个神经网络，并评估它们在预测前方多次飞行TT方面的性能。最后，利用归一化贝叶斯信息准则模型选择，选择最适合实现最佳预测的神经网络，从而达到对航空发动机性能变化的预测 ‎[2] 。南京航空航天大学民航学院的孙绍辉，王华伟等认为航空发动机的可靠性评估和预测，应当是基于大量监测数据及少量故障数据基础上的，他们通过将监测到的多性能参数退化信息通过信息融合模型，对航空发动机进行可靠性预测，可以实现对航空发动机机队健康状态的准确判断，为有效地预防和排除故障提供了充分时间和决策依据，进而能够提高管理效率和降低维修成本 ‎[3] 。XGBoost (extreme gradient boosting)算法是在GBRT (gradient boosting regression tree)的基础上对boosting算法的一种改进。Chen等详细说明了XGBoost算法的原理，并证明了XGBoost计算速度优于传统的GBRT算法 ‎[4] 。除此之外，很多学者将XGBoost与传统的SVM、ANN等方法进行比较，结果表明XGBoost预测准确性更高，在相对较少的调参时间下就可以得到较高预测准确率 ‎[5] 。

2.1. XGBoot算法

XGBoost的亮点之一是定义一种分裂准则，使每次最优分割点的分裂都能比没有分裂时损失减少最大 ‎[6] 。这也是XGBoost高效的原因之一。因此，找到了一种方法：定义分裂前的结构分减去分裂后的结构分作为分割点的增益，然后找到增益最大的分割点作为该次分裂的最优分割点。结构分的意义：当已知树的结构时的损失函数的最小值。在已知g_i、h_i的条件下，结构分就可以求解。

结构分的意义：当已知树的结构时的损失函数的最小值。XGBoost的增益定义就是分裂前的结构分减去分裂后的结构分，选择增益最大的分割点作为最优分割点，其意义为使分裂后模型损失比分裂前损失减小最大的那个分割点。这样的增益定义方法拟合的该轮残差树效果很优。

损失函数表达

第k轮迭代时模型表达式：

$f^{\left(k\right)}\left(x_i\right)=f^{\left(k-1\right)}\left(x_i\right)+h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)$ (1)

其中，表示第k轮拟合的残差树。

第k轮时模型的损失函数为：

$L^{\left(k\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}L\left(y_i-f^{\left(k\right)}\left(x_i\right)\right)+\Omega \left(h^k\left(x_i\right)\right)}$ (2)

其中， $\Omega \left(h^k\left(x_i\right)\right)$ 表示第k轮的正则化项，这是XGBoost与GBDT的其中一个区别。

$\Omega \left(h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)\right)=\Upsilon T+\frac{1}{2}\lambda \times {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{T}{\sum }}{w}_j^2}$ (3)

由公式可知，在每轮迭代之前，每个样本的一、二阶残差已经可以确定。注意g_i和h_i是在每轮迭代之前就已经可知确定的了。

综上所述，该公式中损失函数的泰勒二阶展开表达式为：

$L^{\left(k\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(L\left(y_i-f^{\left(k-1\right)}\left(x_i\right)\right)+g_i\times h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)+\frac{1}{2}{h}_i\times {\left(h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)\right)}^2\right)}+\Omega \left(h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)\right)$ (4)

其中：

$L\left(y_i-f^{\left(k-1\right)}\left(x_i\right)\right)$ (5)

为常数项，不影响最优解的求取，所以损失函数的二阶泰勒展开可以简化为：

$L^{\left(k\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(g_i\times h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)+\frac{1}{2}{h}_i\times {\left(h^{(k)}\left(x_i\right)\right)}^2\right)}+\Omega \left(h^{\left(k\right)}\left(x_i\right)\right)$ (6)

流程图见图3：

Figure 3. Model flowchart of XGBoost algorithm

图3. XGBoost算法的模型流程图

2.2. 基于XGBoot的航空发动机性能模型

Figure 4. Overall performance model structure of the engine

图4. 发动机总体性能模型结构

中国民航大学樊智勇等人创新性地提出了基于XGBoost的飞机发动机的性能参数预测模型 ‎[7] ：航空发动机总体性能模型主要基于油门杆位置(TLA)作为控制输入，并考虑了多个影响发动机性能的因素，包括马赫数(Mach)、外界大气总温度(TAT)、飞机总重(GW)、飞行高度(ALT)和飞行阶段。该模型包括控制输入、环境条件输入、发动机内部状态和性能参数输出四个主要模块。控制输入模块以油门杆位置为输入，可以通过人工或自动控制方式来实现对发动机的推力控制。环境条件输入模块则包括飞机所处的马赫数、外界大气总温度、飞机总重和飞行高度等条件，这些条件会直接影响发动机和飞机的性能表现。发动机内部状态模块则考虑了发动机内部各组件之间相互作用的问题，将发动机划分为若干个子系统，并对每个子系统进行建模，以得到更加精确的发动机内部状态信息。最后，性能参数输出模块会根据发动机内部状态和环境条件，计算出发动机的推力、燃油消耗率和比油耗等性能指标，并将结果输出给控制系统或飞机操作员。

需要注意的是，在不同的飞行阶段下，自动推力系统会采用不同的推力控制模式，其控制律也会相应地发生变化。因此，飞行阶段作为额外的影响因素进行考虑，以保证总体性能模型的准确性和可靠性，发动机总体性能模型结构如图4所示。

其方法在构建模型训练数据库时，考虑了飞行阶段对预测精度的影响，对不需要的数据进行缩放，且其精度更高。采用XGBoost建立发动机主要性能参数的流程如图5所示，具体步骤如下：

1) 从真实飞行数据中选取油门杆的位置、标准气压高度、空速、大气总温及飞机总重作为输入。

2) 采用小波变换和系数相关性原理相结合的方法对原始数据进行滤波处理以剔除其中的野值，并实现数据平滑。

3) 采用模糊推理对预处理后的数据进行状态划分，并对其进行标准化，然后分别构建爬升阶段数据集、巡航阶段数据集、阶梯平飞阶段数据集、下降阶段数据集。

4) 对每一飞行阶段的数据集，按照7:3:2的比例来随机构建训练集、验证集和测试集。

5) 使用训练集数据训练模型得到一个XGBoost模型。采用交叉验证的方式，使用验证集对该XGBoost模型进行评估，最后得到一个近似最优的XGBoost模型。

6) 将测试集数据输入到步骤5得到的模型，检验其拟合精度。若模型精度不满足误差要求，则重返第4步，重新划分数据集进行训练。

Figure 5. XGBoot engine performance parameter modeling process

图5. XGBoot发动机性能参数建模流程

支持向量回归(SVM)预测曲线用附带实心小黑圆的实线表示、线性回归模型(LR)预测曲线在图中用附带实心黑三角的实线表示、BP神经网络预测曲线在图中用附带实心小黑矩形的实线表示、XGBoost算法的预测曲线用附带实心的黑五角星实线表示 。预测结果见图6、图7 ‎[8] 。

Figure 6. Comparison of predicted results of N1 parameters during climb phase of the engine

图6. 爬升阶段发动机N1参数预测结果对比

Figure 7. Comparison of predicted results of fuel burn parameters during climb phase of the engine

图7. 爬升阶段发动机燃油浏览参数预测结果对比

通过对比图像可以得出XGBoost模型预测曲线更接近观测值，预测结果更好

3. 航空发动机燃油消耗模型

发动机燃油消耗是影响航空业运行成本的一个重要因素。燃油消耗的建模需要考虑到多种因素，包括飞机的速度、高度、气温、大气压力以及发动机的功率输出等。为了提高建模效果，C. Wang等人已经开发出了一种基于组件间体积法的燃气轮机燃料系统仿真方法。使用基于物理的模型，该方法可以模拟燃油系统每个液压组件的性能，相比使用传递函数的模型，可以提供更准确的结果 ‎[9] 。

在建立燃油消耗模型时，常常采用统计学和机器学习的方法，结合实验数据和工况参数，构建预测模型，实现高精度的燃油消耗估计和优化方案。反向传播(BP)神经网络算法是一种根据误差反向传播算法训练的多层前馈网络，是应用最广泛的神经网络模型之一 ‎[10] 。BP网络可以用来学习和存储大量的输入输出模型的映射关系。在国内，陶理等人通过BP神经网络作为模型应用于飞机爬升阶段的燃油消耗预测中，其模型具有较高的预测精度，能为节能减排提供一定的参考 ‎[11] 。

3.1. BP神经网络算法模型

BP神经网络模型：

◆BP神经网络分类算法

BP神经网络的基本结构由三部分组成：隐藏层、输入层(传输信息)和输出层，分为两个过程：前向传播输出过程和后向传播调整过程。BP神经网络的拓扑结构图如图8所示。

Figure 8. Topology diagram of the BP neural network

图8. BP神经网络拓扑结构图

在输入传输过程中，样本数据经过了隐藏层的传递输入，如果输出的期望与实际不相符，那么转向反向过程，系统调节各层的连接权值使误差不断减小，直到满足精度要求才会停止下来。所以，BP神经网络可以修正误差，到达更高的精度。用其进行学习的过程如下：

$y_{ip}=f\left[x_{ip}\left(t\right)\right]=f\left[{\displaystyle \underset{j}{\sum }{w}_{ij}\left(t\right)I_{jp}}\right]$ (7)

其中，I_jp是在第p组样本输入时，节点i的第j个输入，y为输出向量， $f(\cdot )$ 取可微的S型作用函数，即：

$f\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ (8)

设E_p为在第p组样本输入时网络的目标函数，则：

$E_p=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\left[d_{kp}-y_{kp}\left(t\right)\right]}^2=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{k}{\sum }{e}_{kp}^2\left(t\right)}}$ (9)

所以，BP神经网络的总目标函数为：

$J\left(t\right)={\displaystyle \underset{p}{\sum }{E}_p\left(t\right)}$ (10)

将BP神经网络作为模型可以为航空公司节约燃料和减少排放提供理论指导。同时，该模型在识别故障类样本方面还有一定的改进空间。

3.2. 基于BP神经网络算法的航空发动燃油消耗模型

广州民航职业技术学院的陶理等人创新性地提出了基于BP神经网络的发动机燃油消耗模型 ‎[11] ，其流程结构见图9：

具体流程如下：

步骤一：数据预处理，对样本数据进行归一化处理。

步骤二：初始化设置，输入训练样本。

步骤三：输入测试样本，计算误差，如果满足误差则继续传递样本数据，否则进行误差调整。

步骤四：调整误差，通过逆梯度下降修正权值和阅值。

步骤五：检查全局误差，满足要求，执行步骤六否则重复步骤四。

步骤六：计算输出层，完成预测。

BP模型预测值与期望值图及其期望误差见图10，图11。

Figure 9. Algorithm flowchart of the BP neural network

图9. BP神经网络算法流程图

Figure 10. Graph of predicted values and expected values in the BP model

图10. BP模型预测值与期望值图

Figure 11. Graph of errors between predicted values and expected values in the BP model

图11. BP模型预测值与期望值误差图

根据图10和图11，可见预测的燃料流量与实际值之间的误差很小，变化趋势是一致的；相对误差在2%以内，在合理范围内。确认该模型能够监测飞机燃料流量，并为确定发动机健康状况提供依据

4. 基于高斯扩散理论的航空发动机排放模型

随着环保意识的提高，航空发动机的排放成为一个备受关注的问题。因此，建立发动机排放模型，对于实现航空产业的可持续发展具有十分重要的意义。目前来说许多项目已经对全球范围内的排放进行了预测，这种排放未来将由各种组织定期预测，特别是NASA (Wilkerson等人，2010)，Eurocontrol，欧盟委员会等(Eyers等人，2004)。Masiol和Harrison (2014)在机场周围空气质量的研究中发表了关于这个问题较为全面的分析之后 ‎[12] ，Yize Liu等概括了当前主要的高科技准备水平(TRL)技术：包括富燃快速淬火稀薄燃烧(RQL)，双环形燃烧器(DAC)，双环形预混涡流燃烧器(TAPS)，稀薄直喷(LDI)。它进一步回顾了较低TRL的一些先进技术。其中包括NASA多点LDI，稀薄预混预汽化(LPP)，轴向分级燃烧室(ASC)和可变几何燃烧室 ‎[13] 。

在排放模型的建立中，我们将采用多元统计分析和污染物物理化学成分分析的方法，考虑车速、负荷、发动机转速等因素，建立发动机排放模型，实现对于排放物质的准确预测和控制，飞机在巡航阶段排放扩散情况见图12。

来自中国民航大学的曹慧玲等人研究了飞机航空发动机在巡航阶段的污染物排放扩散模型 ‎[14] 。其中使用MATLAB进行二氧化碳的排放扩散分布并对后续飞行过程中污染物浓度进行了精准的预测。

民航发动机中的二氧化碳排放量可以用排放指数、排放强度来表示

$E\left({\text{CO}}_{\text{2}}\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{T}{\sum }}n{F}_{i}EI}$ (11)

$E\left({\text{CO}}_{\text{2}}\right)=\frac{E\left({\text{CO}}_{\text{2}}\right)}{T}$ (12)

I为飞行时刻；T为飞机巡航阶段飞行总时间；n是指的飞机所带发动机的个数，EI为CO₂的排放指数；同时该文章中通过高斯扩散理论确定飞机发动机污染物的排放强度：

Figure 12. Schematic diagram of aircraft emission dispersion during cruise phase

图12. 飞机在巡航阶段排放扩散示意图

无限空间点源浓度计算式为：

$C\left(x,y,z\right)=\frac{Q}{2\pi \bar{u}{\sigma }_y{\sigma }_z}\exp \left\{-\left[\frac{y^2}{2\sigma y^2}+\frac{z^2}{2\sigma z^2}\right]\right\}$ (13)

将其沿Y轴积分得连续排放的无限长线源下风向航线浓度计算公式为：

$C\left(x,y,z\right)=\frac{Q}{2\pi \bar{u}{\sigma }_y{\sigma }_z}\exp \left(-\frac{z^2}{2{\sigma }_z^2}\right){\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\left(-\frac{y^2}{2{\sigma }_y^2}\right)}\text{d}$ (14)

其中u为空间内任意点平均风速，σ_y为垂直于主流风向的横向扩散参数，与到线源的下风向距离x有关；σ_z为竖直方向扩散参数，与到线源的下风向距离相关；

该文献中采用09年某月上海到北京的某航班的QAR数据根据上述公式进行MATLAB数值模拟，CO₂浓度分布情况见图13、图14、图15。

Figure 13. Distribution of CO₂ concentration at the same height as the line source

图13. 与线源等高度处CO₂浓度分布

Figure 14. Distribution of CO₂ concentration at a height of 10 m from the line source

图14. 距线源高度10 m处CO₂浓度分布

Figure 15. Distribution of CO₂ concentration at a height of 20 m from the line source

图15. 距线源高度为20 m处CO₂浓度分布

文章通过MATLAB实际的仿真计算了二氧化碳的浓度扩散分布，通过相关模块获取了其扩散分布图。其中利用高斯扩散理论，从机载QAR数据中提取了相关数据，建立了航空发动机巡航阶段排放的线源扩散模型。

然而，这种扩散模型仍然存在不足，例如，只考虑风向与线源垂直的情况，不考虑高空湍流等情况；该文献中没有考虑路线交叉或重叠时污染物的积累，因此需要根据巡航阶段的实际扩散情况进行更深入的研究。

5. 总结

本文针对航空发动机的性能、燃油消耗与排放等问题，建立了相应的数学模型，并采用多种方法实现了分析和优化。通过模型的研究和应用，可以为数字化孪生航空发动机的进一步发展提供参考依据。

Table 1. Summary of the three main models in this article

表1. 本文三大模型总结

航空发动机数学模型建模是将实际的物理系统通过数学手段进行抽象，以求得其性能表现和故障预测等目的的一种技术手段。本文在梳理现有相关文献的基础上对航空发动机数学模型建模的方法、步骤和应用进行了深入探讨。

首先，本文总结了现有的航空发动机数字孪生建模技术，包括动力学模型、状态空间模型、传递函数模型和神经网络模型等。这些模型都在不同层次上对航空发动机的运行特性进行了描述，可以用于性能评估、故障诊断等方面。

接着，本文详细介绍了航空发动机几个阶段数学模型建模的步骤和方法，包括发动机性能、燃油消耗、排放模型等。其中，数据采集是数学模型建模过程中至关重要的一步，需要结合实际情况选择恰当的采样频率和参数，以充分反映发动机的运行状态；在模型选择方面，需根据具体问题选择适当的数学模型，并对模型进行优化和精确度评估，所介绍的三大模型总结见表1。

最后，在应用航空发动机数学模型建模技术时，需要注意模型的实时性、准确性和可靠性，并结合监测系统进行综合分析，以提高发动机的安全性、可靠性和经济性。

综上所述，航空发动机数学模型建模技术是一种重要的应用技术，可以有效提高航空发动机的性能和运行效率。未来，随着计算机技术的不断发展和数据采集技术的进步，航空发动机数学模型建模技术将有望得到更广泛的应用和发展。