调和Fock空间上Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子间的乘积的有界性

Boundedness of the Products of Toeplitz Op-erators, Hankel Operators and Dual Toeplitz Operators on the Harmonic Fock Space

摘要: 本文主要刻画调和Fock空间上两个Toeplitz算子的乘积，Hankel算子与Toeplitz算子的乘积和对偶Toeplitz算子与Hankel算子的乘积的有界性。

Abstract: In this paper, we mainly characterize the boundedness of the product of two Toeplitz opera-tors, the product of Hankel operator and Toeplitz operator, and the product of dual Toeplitz operator and Hankel operator on harmonic Fock space.

1. 引言

Sarason问题在函数空间上的算子理论研究中具有十分重要的意义。随着对Sarason问题研究逐渐深入，许多学者将Sarason问题推广得到Sarason衍生问题：Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Toeplitz算子之间的乘积的有界性问题。此外，Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子在除数学外等许多领域上也扮演着十分重要的角色。本文的主要研究内容是调和Fock空间上Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子间乘积的有界性。

令 $H\left(ℂ\right)$ 代表复平面 $ℂ$ 上全体整函数构成的空间，则

$F_{\alpha }^2=L^2\left(ℂ,d{\lambda }_{\alpha }\right)\cap H\left(ℂ\right),$

称为Fock空间。调和Fock空间 $F_h^2$ 是由 $L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 中所有调和函数构成的闭子空间，并且有 $F_h^2=F_{\alpha }^2\oplus \overline{F_0^2}$，其中 $\overline{F_0^2}=\left\{f\in F_{\alpha }^2:f\left(0\right)=0\right\}$，即对任意 $f\in F_h^2$，存在 $f_1\in F_{\alpha }^2$， $f_2\in F_0^2$，使得 $f=f_1+\overline{f_2}$。 $F_h^2$ 的再生核为 $R_z\left(w\right)=K_z\left(w\right)+\overline{K_z\left(w\right)}-1$，正规化再生核为 $r_z\left(w\right)=\frac{K_z\left(w\right)+\overline{K_z\left(w\right)}-1}{\sqrt{2{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}-1}}$，正规正交基为 ${\left\{e_n\right\}}_{n=0}^{+\infty }\cup {\left\{\overline{e_n}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$，其中 $e_n\left(z\right)=\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n!}}{z}^n$。从 $L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 到 $F_h^2$ 的正交投影记为Q，Q也是积分算子，进一步可以表示为带核的积分算子

$Qf\left(z\right)=\langle f,R_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right)}\overline{R_z\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right),\forall f\in L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right).$ (1.1)

设D由 $F_h^2$ 中核函数的全体有限线性组合构成的线性子空间，明显D在 $F_h^2$ 中稠密 [1]。假设f是 $ℂ$ 上满足

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|f\left(w\right)\right|}{\left|R_z\left(w\right)\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)<+\infty \left(z\in ℂ\right)$ (1.2)

的Lebesgue可测函数。根据(1.1)和Cauchy-Schwarz不等式，可以稠定义两个算子

$T_f:F_h^2\to F_h^2;H_f:F_h^2\to L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right),$

$T_f\left(g\right)=Q\left(fg\right),H_f\left(g\right)=\left(I-Q\right)\left(fg\right),$

其中I是 $L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 上恒等算子， $g\in D$，分别称 $T_f$ 和 $H_f$ 为以函数f为符号的Toeplitz算子和Hankel算子。进而以函数f为符号的对偶Toeplitz算子 $S_f:{\left(F_h^2\right)}^{\perp }\to {\left(F_h^2\right)}^{\perp }$ 被定义为

$S_f\left(h\right)=\left(I-Q\right)\left(fh\right),h\in {\left(F_h^2\right)}^{\perp }.$

Sarason [2] 提出这样一个问题：刻画Hardy空间中一对外函数f和g，使得 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 在Hardy空间上有界，即Sarason乘积问题。由于内函数很容易被处理，所以在Hardy空间上，只需要考虑外函数。同样地，在Bergman空间上也提出类似问题：刻画Bergman空间中函数f和g，使得 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 在Bergman空间上有界。目前，Sarason乘积问题已经受到了许多学者的关注，人们对Sarason乘积问题及其衍生问题的研究也取得了一定的成果。在Hardy空间中有许多结果，见 [3] [4] [5] [6]。在Bergman空间中，Sarason乘积问题及其衍生问题同样也是众多学者研究的重点问题，见 [7] [8] [9]。Fock空间上的Sarason乘积问题及其衍生问题得到了系统且完整的刻画，见 [10] [11] [12] [13]。

参考文献 [10] 中刻画了Fock空间上两个Toeplitz算子乘积 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 有界当且仅当下列条件至少有一个成立：

a) f和g至少有一个等于零；

b) $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{a}}$， $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha z\bar{a}}$。

参考文献 [12] 中刻画了Fock空间上Hankel算子与Toeplitz算子的混合乘积 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 有界等价于下列条件至少有一个成立：

a) f是常值函数；

b) $g=0$ ；

c) f是线性多项式函数，g是非零常数；

d) 存在常数 $a,b,c,A$ 使得 $f\left(z\right)={\text{e}}^{az+b}+A$， $g\left(z\right)={\text{e}}^{-az+c}$。

本文在以上基础上研究调和Fock空间上两个Toeplitz算子的乘积 $T_f{T}_{\bar{g}}$，Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 和对偶Toeplitz算子与Hankel算子乘积 $S_g{H}_{\bar{f}}$ 的有界性。

2. 两个Toeplitz算子的乘积 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 的有界性

这一部分研究了调和Fock空间 $F_h^2$ 上两个Toeplitz算子的乘积 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 的有界性的充分条件。以下是一些准备工作。

引理2.1 [14] 设 $f\in F_{\alpha }^p$，并且 $0<p\le \infty$。则

$\left|f\left(z\right)\right|\le {\Vert f\Vert }_{p,\alpha }{\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2/2}$

对于所有 $z\in ℂ$。

下面为本节的主要结果。

定理2.2 假设 $f,g\in F_{\alpha }^2$，如果下列条件之一成立：

a) f和g至少有一个等于零；

b) $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{a}}$, $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha z\bar{a}}$。

则 $T_f{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

证明：如果条件(a)成立，那么 $T_f{T}_{\bar{g}}=0$。显然， $T_f{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

如果条件(b)成立，那么对任意 $h\in F_h^2$，有 $h=h_1+\overline{h_2}$，其中 $h_1,h_2\in F_{\alpha }^2$ 并且 $h_2\left(0\right)=0$，有

$\begin{array}{c}{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{g\left(w\right)}}h\left(w\right)\overline{R_z\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{-\alpha \bar{w}a}}\left[h_1\left(w\right)+\overline{h_2\left(w\right)}\right]\left[{\text{e}}^{\alpha \bar{z}w}+{\text{e}}^{\alpha z\bar{w}}-1\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right).\end{array}$

由再生核性质和平均值定理，可以得到上述等式为

$T_{\bar{g}}h\left(z\right)=h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}+h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}.$

记 ${\left(T_{\bar{g}}h\right)}_1\left(z\right)=h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)$ 和 $\stackrel{¯}{{\left(T_{\bar{g}}h\right)}_2\left(z\right)}=h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}+\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}$。利用上述方法，同样可以得到

$\begin{array}{c}{T}_{f}h\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right)h\left(w\right)\overline{R_z\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\alpha \bar{a}w}}\left[h_1\left(w\right)+\overline{h_2\left(w\right)}\right]\left({\text{e}}^{\alpha \bar{z}w}+{\text{e}}^{\alpha z\bar{w}}-1\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ =h_1\left(z\right){\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}+\overline{h_2\left(z+a\right)}+\overline{h_2\left(a\right)}{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}-\overline{h_2\left(a\right)}.\end{array}$

综合上述两个等式，由此得到

$\begin{array}{c}{T}_f{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)={\left(T_{\bar{g}}h\right)}_1\left(z\right){\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}+\stackrel{¯}{{\left(T_{\bar{g}}h\right)}_2\left(z+a\right)}+\stackrel{¯}{{\left(T_{\bar{g}}h\right)}_2\left(a\right)}{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}-\stackrel{¯}{{\left(T_{\bar{g}}h\right)}_2\left(a\right)}\\ =\left[h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right]{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}+\overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}\\ +h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left({\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}-1\right)+\overline{h_2\left(a\right)}{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left({\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}-1\right).\end{array}$

为了方便，记

${\lambda }_1\left(z\right)=\left[h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right]{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}+\overline{h_2\left(a\right)}{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left({\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}-1\right)-h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2},$

$\overline{{\lambda }_2\left(z\right)}=\overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}+h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}.$

这样就有

$T_f{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)={\lambda }_1\left(z\right)+\overline{{\lambda }_2\left(z\right)}.$

进而

$\Vert T_f{T}_{\bar{g}}h\Vert =\Vert {\lambda }_1\Vert +\Vert \overline{{\lambda }_2}\Vert .$

首先，估计 $\Vert \overline{{\lambda }_2}\Vert$，由三角不等式可以得到

$\begin{array}{c}\Vert \overline{{\lambda }_2}\Vert =\Vert \overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}+h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}\Vert \\ \le \Vert \overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}\Vert +\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\Vert {\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}\Vert .\end{array}$

根据点赋值泛函的有界性得到

$\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\Vert {\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}\Vert \le \Vert h_1\Vert {\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}=\Vert h_1\Vert \le \Vert h\Vert .$ (2.1)

又由变量替换得到

$\begin{array}{c}\Vert \overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|\overline{h_2\left(z+a\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\left(\bar{z}+\bar{a}\right)}\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }}\left(z\right)\right)}^{1/2}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|\overline{h_2\left(z\right)}\right|}^2{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ ={\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h_2\Vert \\ \le {\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert .\end{array}$ (2.2)

由(2.1)和(2.2)估计，可以得到

$\Vert \overline{{\lambda }_2}\Vert \le \Vert h\Vert +{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert =\left({\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+1\right)\Vert h\Vert .$ (2.3)

其次，估计 $\Vert {\lambda }_1\Vert$，由三角不等式和数学归纳法得到

$\begin{array}{c}\Vert {\lambda }_1\Vert =\Vert \left[h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right]{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}\\ +\overline{h_2\left(a\right)}{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left({\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}-1\right)-h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\Vert \\ \le \Vert h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}\Vert +\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\\ +\left|\overline{h_2\left(a\right)}\right|{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+\left|\overline{h_2\left(a\right)}\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}+\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}.\end{array}$

根据变量替换有

$\begin{array}{c}\Vert h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ ={\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}{\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|h_1\left(z\right)\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ ={\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h_1\Vert \\ \le {\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert .\end{array}$ (2.4)

由点赋值泛函的有界性得到

$\begin{array}{l}\left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\le {\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2}\Vert h_1\Vert \le {\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert ,\\ \left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\le \Vert h\Vert ,\\ \left|\overline{h_2\left(a\right)}\right|{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\le \Vert h\Vert ,\\ \left|\overline{h_2\left(a\right)}\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\le {\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert ,\\ \left|h_1\left(-a\right)\right|{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\le {\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert .\end{array}$ (2.5)

结合(2.4)和(2.5)可以得到

$\Vert {\lambda }_1\Vert \le \left({\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+3{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+2\right)\Vert h\Vert .$ (2.6)

最后，根据(2.3)和(2.6)得到

$\Vert T_f{T}_{\bar{g}}h\Vert \le \left({\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+3{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+3\right)\Vert h\Vert =C\Vert h\Vert .$

其中， $C={\text{e}}^{\alpha {\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+3{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+3$。

所以， $T_f{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

3. Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 的有界性

这部分介绍了调和Fock空间 $F_h^2$ 上Hankel算子与Toeplitz算子的乘积 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 的有界性的充分条件。

引理3.1 [14] 若 $\phi$ 为整函数，则 $H_{\bar{\phi }}$ 为有界算子当且仅当 $\phi$ 为线性解析多项式函数。

定理3.2 假设 $f,g\in F_{\alpha }^2$。如果下列条件之一成立：

a) f是常值函数；

b) $g=0$ ；

c) f是线性多项式函数，g是非零常数；

d) $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{a}}$, $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha z\bar{a}}$。

则 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

证明：如果f是常值函数，显然 $H_{\bar{f}}=0$，进而 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}=0$。

如果 $g=0$。显然 $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}=0$。

如果f是线性多项式函数，那么对任意 $h\in F_h^2$，有 $h=h_1+\overline{h_2}$，其中 $h_1,h_2\in F_{\alpha }^2$ 并且 $h_2\left(0\right)=0$，有

$H_{\bar{f}}h=H_{\bar{f}}\left(h_1+\overline{h_2}\right)=H_{\bar{f}}{h}_1+H_{\bar{f}}\overline{h_2}=H_{\bar{f}}{h}_1.$ (3.1)

根据引理3.1和(3.1)得到 $H_{\bar{f}}$ 在 $F_h^2$ 上有界；又由g是非零常数，那么有 $T_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。因此， $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

如果 $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}$， $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha \bar{a}z}$，那么对任意 $h\in F_h^2$，有 $h=h_1+\overline{h_2}$，其中 $h_1,h_2\in F_{\alpha }^2$ 并且 $h_2\left(0\right)=0$，有

$\begin{array}{c}{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{g\left(w\right)}}h\left(w\right)\overline{R_z\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{-\alpha \bar{w}a}}\left[h_1\left(w\right)+\overline{h_2\left(w\right)}\right]\left[{\text{e}}^{\alpha \bar{z}w}+{\text{e}}^{\alpha z\bar{w}}-1\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right).\end{array}$

由再生核性质和平均值定理，可以得到上述等式为

$T_{\bar{g}}h\left(z\right)=h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}+h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}.$ (3.2)

进一步得到

$\begin{array}{c}{H}_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)=\left(I-Q\right)\left(\bar{f}{T}_{\bar{g}}h\right)\left(z\right)\\ =\overline{f\left(z\right)}\left[h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}+h_1\left(z-a\right)-h_1\left(-a\right)+\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{z}}\right]-Q\left(\bar{f}{T}_{\bar{g}}h\right)\left(z\right).\end{array}$ (3.3)

再次根据再生核性质核和平均值定理以及(3.2)得到

$\begin{array}{c}Q\left(\bar{f}{T}_{\bar{g}}h\right)\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{f\left(w\right)}}{T}_{\bar{g}}h\left(w\right)\overline{R_z\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\alpha a\bar{w}}}\left[h_1\left(-a\right){\text{e}}^{-\alpha a\bar{w}}+h_1\left(w-a\right)-h_1\left(-a\right)+\overline{h_2\left(w\right)}{\text{e}}^{-\alpha a\bar{w}}\right]\left({\text{e}}^{\alpha \bar{z}w}+{\text{e}}^{\alpha z\bar{w}}-1\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ =h_1\left(-a\right)+h_1\left(0\right){\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}+h_1\left(z\right)-h_1\left(0\right)-h_1\left(-a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}+\overline{h_2\left(z\right)}.\end{array}$ (3.4)

将(3.4)代入(3.3)得到

$H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)=h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}}+\overline{h_2\left(z\right)}-h_1\left(0\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}}-h_1\left(z\right)+h_1\left(0\right)-h_2\left(z\right).$

为了叙述简单，令

$\begin{array}{l}{t}_1\left(z\right)=-h_1\left(z\right)-h_2\left(z\right)+h_1\left(0\right)+\overline{h_2\left(z\right)}-h_1\left(0\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}},\\ t_2\left(z\right)=h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}}.\end{array}$

则有

$H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}h\left(z\right)=t_1\left(z\right)+t_2\left(z\right).$

进而

$\Vert H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}\Vert =\Vert t_1+t_2\Vert \le \Vert t_1\Vert +\Vert t_2\Vert .$ (3.5)

首先，估计 $\Vert t_2\Vert$，由变量替换可以得到

$\begin{array}{c}\Vert t_2\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|h_1\left(z-a\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}}\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ ={\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}{\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|h_1\left(z\right)\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ ={\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h_1\Vert \le {\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h\Vert .\end{array}$ (3.6)

其次，估计 $\Vert t_1\Vert$，由再生核性质和点赋值泛函的有界性得到

$\begin{array}{c}\Vert t_1\Vert =\Vert -h_1\left(z\right)-h_2\left(z\right)+h_1\left(0\right)+\overline{h_2\left(z\right)}-h_1\left(0\right){\text{e}}^{\alpha a\bar{z}}\Vert \\ \le 2\Vert h_1\Vert +2\Vert h_2\Vert +{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\Vert h_1\Vert \\ \le \left(4+{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\right)\Vert h\Vert .\end{array}$ (3.7)

最后，将(3.6)和(3.7)代入(3.5)得到

$\Vert H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}\Vert \le \left(4+2{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}\right)\Vert h\Vert =M\Vert h\Vert .$

其中 $M=4+2{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}$。

因此， $H_{\bar{f}}{T}_{\bar{g}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

4. 对偶Toeplitz算子与Hankel算子的乘积 $S_g{H}_{\bar{f}}$ 的有界性

这部分刻画以 $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{a}}$ 和 $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha z\bar{a}}$ 为符号函数的对偶Toeplitz算子与Hankel算子乘积的有界性。

定理4.1假设 $a\in ℂ$， $f\left(z\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{a}}$ 和 $g\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha z\bar{a}}$，那么 $S_g{H}_{\bar{f}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

证明：对任意 $h\in F_h^2$，有 $h=h_1+\overline{h_2}$，其中 $h_1,h_2\in F_{\alpha }^2$ 并且 $h_2\left(0\right)=0$，有

$H_{\bar{f}}h\left(z\right)=\left(I-Q\right)\left(\bar{f}h\right)\left(z\right)=\overline{f\left(z\right)}h\left(z\right)-Q\left(\bar{f}h\right)\left(z\right).$

根据再生核性质和平均值定理有

$\begin{array}{c}Q\left(\bar{f}h\right)\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{f\left(u\right)}h\left(u\right)\overline{R_z\left(u\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\alpha \bar{a}z}}\left[h_1\left(u\right)+\overline{h_2\left(u\right)}\right]\left({\text{e}}^{\alpha z\bar{u}}+{\text{e}}^{\alpha \bar{z}u}-1\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)\\ =h_1\left(z+a\right)+h_1\left(a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}-h_1\left(a\right)+\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}.\end{array}$

进而

$H_{\bar{f}}h\left(z\right)=\overline{f\left(z\right)}h\left(z\right)-h_1\left(z+a\right)-h_1\left(a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}+h_1\left(a\right)-\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{\alpha \bar{z}a},$

再进一步计算

$S_g{H}_{\bar{f}}h\left(z\right)=g\left(z\right)\left[\overline{f\left(z\right)}h\left(z\right)-h_1\left(z+a\right)-h_1\left(a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}+h_1\left(a\right)-\overline{h_2\left(z\right)}{\text{e}}^{\alpha \bar{z}a}\right]-Q\left(g{H}_{\bar{f}}h\right)\left(z\right),$

再次利用再生核性质和平均值定理得到

$\begin{array}{c}Q\left(g{H}_{\bar{f}}h\right)\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}g\left(u\right)H_{\bar{f}}h\left(u\right)\overline{R_z\left(u\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{-\alpha \bar{a}u}}\left[{\text{e}}^{\alpha a\bar{u}}\left(h_1\left(u\right)+\overline{h_2\left(u\right)}\right)-h_1\left(u+a\right)-h_1\left(a\right){\text{e}}^{\alpha \bar{u}a}+h_1\left(a\right)-\overline{h_2\left(u\right)}{\text{e}}^{\alpha a\bar{u}}\right]\\ \times \left({\text{e}}^{\alpha z\bar{u}}+{\text{e}}^{\alpha \bar{z}u}-1\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)\\ =\left(1-{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right){\text{e}}^{-\alpha \bar{a}z}\left[h_1\left(a\right)-h_1\left(z+a\right)\right].\end{array}$

那么

$S_g{H}_{\bar{f}}h\left(z\right)={\text{e}}^{-\alpha \bar{a}\left(z+a\right)}\left[h_1\left(a\right)-h_1\left(z+a\right)\right].$

利用变量替换和再生核性质有

$\begin{array}{c}{\Vert S_g{H}_{\bar{f}}h\Vert }^2={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|{\text{e}}^{-\alpha \bar{a}\left(z+a\right)}\left[h_1\left(a\right)-h_1\left(z+a\right)\right]\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}\\ ={\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left[{\left|h_1\left(a\right)\right|}^2-h_1\left(a\right)\overline{h_1\left(0\right)}-\overline{h_1\left(a\right)}{h}_1\left(0\right)+{\Vert h_1\Vert }^2\right].\end{array}$

根据点赋值泛函的有界性，三角不等式以及数学归纳法得到

$\begin{array}{c}{\Vert S_g{H}_{\bar{f}}h\Vert }^2\le {\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\left[{\left|h_1\left(a\right)\right|}^2+\left|h_1\left(a\right)\overline{h_1\left(0\right)}\right|+\left|\overline{h_1\left(a\right)}{h}_1\left(0\right)\right|+{\Vert h_1\Vert }^2\right]\\ \le \left(1+2{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right){\Vert h_1\Vert }^2\\ \le \left(1+2{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}\right){\Vert h\Vert }^2\\ =M{\Vert h\Vert }^2.\end{array}$

其中 $M=1+2{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|a\right|}^2}+{\text{e}}^{-\alpha {\left|a\right|}^2}$。

因此， $S_g{H}_{\bar{f}}$ 在 $F_h^2$ 上有界。

本文仅研究了调和Fock空间上Toeplitz算子，Hankel算子和对偶Toeplitz算子间乘积的有界性的充分条件。调和Fock空间结构比较复杂，研究充分必要条件是需要十分具有创新性的技术。在其它空间中，例如Fock空间，Bergman空间和Hardy空间上刻画Sarason乘积问题的衍生问题的充分必要条件也十分困难。