三维可压缩磁流体力学方程组大解时间导数的衰减率

Decay Rates of Time Derivatives of Large Solutions of 3D Compressible Magnetohydrodynamics Equations

摘要: 本文主要研究三维等熵可压缩磁流体力学方程组大解(σ,u,B)的时间导数的大时间渐近行为。在大解本身及其一阶和二阶导数在L²中的衰减率分别为的基础上，本文证明了大解(σ,u,B)的时间导数的衰减率分别为。

Abstract: In this paper, we study the large time asymptotic behavior of the time derivatives of the large so-lutions (σ,u,B) for the 3D isentropic compressible magnetohydrodynamic system. On the basis of the decay rates of the large solutions and also their first order and second order spatial derivatives in L² are respectivelywe prove that the decay rates of the time derivatives of the large solutions (σ,u,B) arerespectively.

1. 引言

本文，我们关注以下可压缩磁流体力学(MHD)方程组的大解的时间导数的衰减率：

$\{\begin{array}{l}{\sigma }_t+div\left(\sigma u\right)=0,\\ {\left(\sigma u\right)}_t+div\left(\sigma u\otimes u\right)-\theta \Delta u-\left(\theta +\eta \right)\nabla divu+\nabla P=\left(\nabla \times B\right)\times B,\\ B_t-\nabla \times \left(u\times B\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B\right),divB=0,\\ \underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\left(\sigma ,u,B\right)\left(0,x\right)=\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\left({\sigma }_0,u_0,B_0\right)\left(x\right)=\left(1,0,0\right),\left(t,x\right)\in R^{+}\times R^3.\end{array}$ (1.1)

其中，未知函数 $\sigma =\sigma \left(t,x\right)\in R^{+}$， $u=\left(u^1,u^2,u^3\right)\left(t,x\right)\in R^3$， $B=\left(B^1,B^2,B^3\right)\left(t,x\right)\in R^3$ 以及 $P=P\left(\sigma \right)={\sigma }^{\gamma }\left(\gamma \ge 1\right)$ 分别表示密度、速度、磁场和压强。压强 $P\left(\sigma \right)$ 是一个光滑函数满足 $P^{\prime }\left(1\right)=1$。 $\theta ,\eta$ 是粘性系数满足 $\theta >0$ 和 $2\theta +3\eta \ge 0$。

$\nu$ 是磁扩散系数满足 $\nu >0$。

在(1.1)中磁场 $B=0$ 时，可压缩MHD方程组转变为可压缩Navier-Stokes (N-S)方程组。最近，He，Huang和Wang [1] 证明了可压缩N-S方程组大解的全局稳定性。同时，如果初值 $\left({\sigma }_0-1,u_0\right)\in L^p\left(R^3\right)\cap H^2\left(R^3\right)$，其中， $p\in \left[1,2\right)$，他们建立了解的衰减率：

${\Vert \left(\sigma -1,u\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}\left(\frac{2}{p}-1\right)}.$ (1.2)

随后，在 [1] 工作的基础上，Gao，Wei和Yao [2] 建立了以下的衰减率， $\forall t\ge T^{*}$，

${\Vert \nabla \left(\sigma -1,u\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}+{\Vert {\partial }_t\left(\sigma -1,u\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}\left(\frac{2}{p}-1\right)-\frac{1}{2}}\text{,}p\in \left[1,2\right)$ (1.3)

对三维可压缩MHD方程组，如果 ${\Vert \left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^3}$ 充分小，Chen和Tan [3] 证明了光滑解的全局存在性。进一步，如果 ${\Vert \left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\Vert }_{L^p}<\infty ,p\in \left[1,\frac{6}{5}\right)$，他们还得到了解的空间导数的衰减率：

$\begin{array}{l}{\Vert \left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{L^q}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)},\forall q\in \left[2,6\right],\\ {\Vert {\nabla }^k\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}},k=1,2,3.\end{array}$ (1.4)

Li和Yu [4] 证明了 $p=1$ 的情况。此外，Zhang和Zhao [5] 估计了解的时间导数的衰减率，

${\Vert {\partial }_t\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}},p\in \left[1,\frac{6}{5}\right).$ (1.5)

随后，Gao，Chen和Yao [6] 改进了Chen和Tan [3]，Li和Yu [4] 的工作，建立了解的高阶空间导数和混合时空导数的衰减率：

$\begin{array}{l}{\Vert {\nabla }^2\left(\sigma -1,u\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-1},{\Vert {\nabla }^{s}B\left(t\right)\Vert }_{H^{3-s}}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-\frac{s}{2}},\\ {\Vert {\nabla }^l{\left(\sigma -1\right)}_t\left(t\right)\Vert }_{H^{2-l}}+{\Vert {\nabla }^l{u}_t\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-\frac{l+1}{2}},{\Vert {\nabla }^l{B}_t\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)-\frac{l+2}{2}}.\end{array}$ (1.6)

其中 $s=2,3,l=0,1,p\in \left[1,\frac{6}{5}\right)$。如果初值 $\left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\in H^N\cap {\stackrel{\dot{}}{H}}^{-k}\left(k\in \left[0,\frac{3}{2}\right)\right)$，受Guo和Wang [7] 的启发，Tan和Wang [8] 得到了解的空间导数的衰减率，

${\Vert {\nabla }^r\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{N-r}}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{r+k}{2}},0\le r\le N-1.$ (1.7)

对于完全可压缩MHD方程组，Pu和Guo [9]，Gao，Tao和Yao [10] 分别证明了(1.4)和(1.6)。对可压缩Hall-MHD方程组，如果 ${\Vert \left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^2}$ 充分小，Gao和Yao [11] 证明了解的全局存在性。进一步，如果 ${\Vert \left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\Vert }_{L^1}<\infty$，他们建立了如下的衰减率：

$\begin{array}{l}{\Vert {\nabla }^m\left(\sigma -1,u\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{2-m}}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3+2m}{4}},{\Vert {\nabla }^{l}B\left(t\right)\Vert }_{H^{2-l}}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3+2l}{4}},\\ {\Vert {\left(\sigma -1\right)}_t\left(t\right)\Vert }_{H^1}+{\Vert u_t\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}},{\Vert B_t\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}},\end{array}$ (1.8)

其中， $m=0,1,l=0,1,2$。此外，他们还在 $H^3$ 框架下得到了与可压缩MHD方程组相似的结论。

对于三维可压缩MHD方程组的大解，Chen，Huang和Xu [12] 研究了解在整个空间中的全局时间稳定性。如果初值 $\left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\in L^1\left(R^3\right)\cap H^2\left(R^3\right)$，他们证明了解的衰减率，

${\Vert \left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}}.$ (1.9)

在 [12] 的基础上，Gao，Wei和Yao [13] 证明了磁场 $B$ 的空间和时间导数的衰减率，

${\Vert \nabla B\left(t\right)\Vert }_{H^1}+{\Vert B_t\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}},\forall t\ge T^{**}.$ (1.10)

在 [14] 中，Wang，Chen和Wang得到了大解的时间和空间导数的衰减率：

${\Vert {\partial }_t\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla \left(\sigma -1,u,B\right)\Vert }_{H^1}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}},\forall t\ge T_1.$ (1.11)

然后，在没有给出大解时间导数衰减率的情况下，他们在 [15] 中进一步得到大解较高空间导数的衰减率：

${\Vert {\nabla }^k\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}},\forall t\ge T,k=0,1,2.$ (1.12)

因此，本文致力于得到比(1.11)更好的大解的时间导数衰减率。在陈述本文定理之前，强调一些后面将用到的符号和定理。

定义：常数C是与时间t无关的正常数，在不同的位置可能代表不同的数值。 $H^k\left(R^3\right)$ 和 $L^p\left(R^3\right)$ 分别表示带有范数 ${\Vert ·\Vert }_{H^k}$ 的Sobolev空间以及带有范数 ${\Vert ·\Vert }_{L^p}$ 的Lebesgue空间。为了简单起见，我们定义 ${\Vert \left(A,B\right)\Vert }_Y={\Vert A\Vert }_Y+{\Vert B\Vert }_Y$。

本文的主要目的是得到大解的时间导数的衰减率，这取决于解和它们的空间导数。因此，首先引入如下定理。

定理1.1 ( [12])：设 $\theta >\frac{1}{2}\eta$， $\left(\sigma ,u,B\right)$ 是(1.1)的一个光滑解满足 $0\le \sigma \le \bar{\sigma }$， ${\sup }_{t\ge 0}{\Vert B\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }}+{\sup }_{t\ge 0}{\Vert \sigma \left(\cdot ,t\right)\Vert }_{C^{\alpha }}\le M$ $\left(0<\alpha <1\right)$。初值 $\left({\sigma }_0,u_0,B_0\right)$ 满足 ${\sigma }_0\ge a>0$ 和相容性条件：

$\{\begin{array}{l}{u_t|}_{t=0}=-u_0\cdot \nabla u_0+\frac{1}{{\sigma }_0}\left(\theta \Delta u_0+\left(\theta +\eta \right)\nabla \text{div}{u}_0+B_0\cdot \nabla B_0-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B_0\right|}^2\right)-\nabla {\sigma }_0^{\gamma }\right),\\ {B_t|}_{t=0}=\nu \Delta B_0+B_0\cdot \nabla u_0-u_0\cdot \nabla B_0-div\left(u_0\right)B_0.\end{array}$

如果 $\left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\in L^1\left(R^3\right)\cap H^2\left(R^3\right)$，那么 $\forall t\ge 0$，有：

$\underset{\_}{\sigma }\le \sigma \left(x,t\right),\left(\underset{\_}{\sigma }>0是一个常数\right)$ (1.13)

${\Vert \left(\sigma -1,u,B\right)\Vert }_{H^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left({\Vert \nabla \left(\sigma -1\right)\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}^2+{\Vert \nabla \left(u,B\right)\left(\tau \right)\Vert }_{H^2}^2\right)\text{d}\tau }\le C_1,$ (1.14)

${\Vert \left(\sigma -1,u,B\right)\Vert }_{H^1}\le C_2{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}},$ (1.15)

其中， $C_1$ 和 $C_2$ 是依赖于 $\sigma ,M$ 和 ${\Vert \left({\sigma }_0-1,u_0,B_0\right)\Vert }_{L^1\cap H^2}$ 但与时间t无关的正的常数。

定理1.2 ( [15])：在定理1.1的假设下，(1.1)的大解 $\left(\sigma -1,u,B\right)$ 有如下的衰减率：

${\Vert {\nabla }^k\left(\sigma -1,u,B\right)\left(t\right)\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}},k=0,1,2,\forall t\ge T,$ (1.16)

其中，T表示足够大的时间。

最后，本文主要结论如下：

定理1.3：在定理1.1的假设下，(1.1)的大解 $\left(\sigma -1,u,B\right)$ 的时间导数有如下的衰减率：

${\Vert {\left(\sigma -1,u\right)}_t\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}},{\Vert B_t\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}},{\Vert \nabla {\left(\sigma -1\right)}_t\Vert }_{L^2}\le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}},\forall t\ge T,$ (1.17)

其中，时间T如定理1.2的定义。

注：由于质量方程是双曲方程， ${\sigma }_t$ 的衰减估计受到 $\nabla u$ 衰减率的影响。同时 $u_t$ 也受 $\nabla \sigma$ 的限制。

注：与 [14] 相比，我们得到 $B_t$ 的衰减率是 ${\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}}$，这优于 ${\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}}$。此外，我们得到了密度 $\sigma$ 的混合时空导数的衰减率。

本文内容如下：第2节重新表述了方程组(1.1)并引入一些将会用到的引理。第3节证明了主要结果定理1.3。

2. 准备工作

在本节中，我们将重新表述方程组(1.1)。首先我们引入以下等式。

$\begin{array}{l}\left(\nabla \times B\right)\times B=B\cdot \nabla B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right),\\ \nabla \times \left(\nabla \times B\right)=-\Delta B,\\ \nabla \times \left(u\times B\right)=\left(divB\right)u-\left(divu\right)B+B\cdot \nabla u-u\cdot \nabla B=-\left(divu\right)B+B\cdot \nabla u-u\cdot \nabla B.\end{array}$

定义 $n=\sigma -1$，(1.1)可表述为：

$\{\begin{array}{l}{n}_t+divu=I_1,\\ u_t-\theta \Delta u-\left(\theta +\eta \right)\nabla divu+\nabla n=I_2,\\ B_t-\nu \Delta B=I_3,\\ \underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\left(n,u,B\right)\left(0,x\right)=\left(0,0,0\right).\end{array}$ (2.1)

其中，非线性项 $I_1,I_2,I_3$ 的定义如下：

$\{\begin{array}{l}{I}_1=-ndivu-u\cdot \nabla n,\\ I_2=-u\cdot \nabla u-\frac{n}{n+1}\left[\theta \Delta u+\left(\theta +\eta \right)\nabla divu\right]-\left(\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)}{n+1}-1\right)\nabla n+\frac{1}{n+1}\left[B\cdot \nabla B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right)\right],\\ I_3=-\left(divu\right)B+B\cdot \nabla u-u\cdot \nabla B.\end{array}$ (2.2)

事实上，将(1.1)₁中的 $\sigma$ 替换为 $n+1$，得到：

${\left(n+1\right)}_t+div\left[\left(n+1\right)u\right]=0,$ (2.3)

借助 $div\left[\left(n+1\right)u\right]=div\left(nu\right)+divu=ndivu+u\cdot \nabla n+divu$，整理得：

$n_t+divu=-ndivu-u\cdot \nabla n=I_1.$ (2.4)

对(2.1)₂，应用 $div\left(\sigma u\otimes u\right)=div\left(\sigma u\right)u+\sigma u\cdot \nabla u$ 和(1.1)₁，容易得到：

$\sigma u_t+\sigma u\cdot \nabla u-\theta \Delta u-\left(\theta +\eta \right)\nabla divu+\nabla P\left(\sigma \right)=\left(\nabla \times B\right)\times B.$ (2.5)

(2.5)两边同时乘 $\frac{1}{n+1}$ (即 $\frac{1}{\sigma }$ )，我们有

$u_t+u\cdot \nabla u-\frac{1}{n+1}\left[\theta \Delta u+\left(\theta +\eta \right)\nabla divu\right]+\frac{1}{n+1}\nabla P\left(n+1\right)=\frac{1}{n+1}\left[B\cdot \nabla B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right)\right].$ (2.6)

将 $\frac{1}{n+1}=1-\frac{n}{n+1},\frac{1}{n+1}\nabla P\left(n+1\right)=\frac{1}{n+1}{P}^{\prime }\left(n+1\right)\nabla n=\left[1+\left(\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)}{n+1}-1\right)\right]\nabla n$ 代入(2.6)，把线性项放在左边非线性项放在右边，

$\begin{array}{l}{u}_t-\theta \Delta u-\left(\theta +\eta \right)\nabla divu+\nabla n\\ =-u\cdot \nabla u-\frac{n}{n+1}\left[\theta \Delta u+\left(\theta +\eta \right)\nabla divu\right]-\left(\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)}{n+1}-1\right)\nabla n+\frac{1}{n+1}\left[B\cdot \nabla B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right)\right]\\ =I_2.\end{array}$ (2.7)

(2.1)₃可以从(1.1)₃直接推导出。

接下来，给出关于n的一些重要的非线性函数。为了方便起见，定义

$\phi \left(n\right)=\frac{n}{n+1},\varphi \left(n\right)=\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)}{n+1}-1,\psi \left(n\right)=\frac{1}{n+1}.$ (2.8)

引理2.1：(2.8)定义的函数满足如下不等式：

$\begin{array}{l}\left|\phi \left(n\right)\right|\le C\left|n\right|,\left|\varphi \left(n\right)\right|\le C\left|n\right|,\left|\psi \left(n\right)\right|\le C,\\ \left|{\phi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|\le C,\left|{\varphi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|\le C,\left|{\psi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|\le C,\forall k\ge 1.\end{array}$ (2.9)

证明：由定理1.1知 $\underset{\_}{\sigma }\le \sigma \left(x,t\right)\le \bar{\sigma },\left(\underset{\_}{\sigma }>0\right)$，这意味着 $\underset{\_}{\sigma }\le n+1\le \bar{\sigma }$。因此，可以推出

$\left|\phi \left(n\right)\right|=\left|\frac{n}{n+1}\right|\le C\left|n\right|,\left|\psi \left(n\right)\right|=\left|\frac{1}{n+1}\right|\le C.$ (2.10)

因为 $P\left(\sigma \right)={\sigma }^{\gamma }$ 是定义在1的某邻域上的光滑函数，故

$P^{\prime }\left(n+1\right)=P^{\prime }\left(1\right)+P^{″}\left(\xi \right)n,\left(1<\xi <n+1\right).$ (2.11)

$\left|\varphi \left(n\right)\right|=\left|\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)}{n+1}-1\right|=\left|\frac{P^{\prime }\left(n+1\right)-P^{\prime }\left(1\right)\left(n+1\right)}{n+1}\right|=\left|\frac{\left(P^{″}\left(\xi \right)-P^{\prime }\left(1\right)\right)n}{n+1}\right|\le C\left|n\right|.$ (2.12)

对于 $\phi \left(n\right),\varphi \left(n\right)$ 和 $\psi \left(n\right)$ 的导数，通过计算有：

$\left|{\phi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|=\left|{\left(-1\right)}^{k+1}\frac{k!}{{\left(n+1\right)}^{k+1}}\right|\le C.$ (2.13)

$\left|{\varphi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|=\left|\frac{{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}{C}_i}{P}^{\left(i+1\right)}\left(n+1\right){\left(n+1\right)}^i}{{\left(n+1\right)}^{k+1}}\right|\le C.$ (2.14)

$\left|{\psi }^{\left(k\right)}\left(n\right)\right|=\left|{\left(-1\right)}^k\frac{k!}{{\left(n+1\right)}^{k+1}}\right|\le C.$ (2.15)

最后引入一些将在后面用到的Sobolev不等式。

引理2.2：( [16] [17]) $\forall p\in \left[2,6\right]$，如果 $f\in H^2\left(R^3\right)$，那么

${\Vert f\Vert }_{L^p}\le C{\Vert f\Vert }_{H^1},{\Vert f\Vert }_{L^6}\le C{\Vert \nabla f\Vert }_{L^2},{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}\le C{\Vert \nabla f\Vert }_{H^1}\text{.}$ (2.16)

3. 定理1.3的证明

证明：借助(2.1)，(2.2)，Holder不等式，(2.16)和(1.16)，我们有：

$\begin{array}{c}{\Vert n_t\Vert }_{L^2}={\Vert divu+ndivu+u\cdot \nabla n\Vert }_{L^2}\\ \le {\Vert divu\Vert }_{L^2}+{\Vert n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert divu\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{L^3}{\Vert u\Vert }_{L^6}\\ \le C\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}}.\end{array}$ (3.1)

(2.1)₁取一阶空间导数，类似于(3.1)，得到：

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla n_t\Vert }_{L^2}={\Vert \nabla divu+\nabla \left(ndivu\right)+\nabla \left(u\cdot \nabla n\right)\Vert }_{L^2}\\ \le C\left({\Vert \nabla divu\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}+{\Vert n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C\left({\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}}.\end{array}$ (3.2)

通过(2.2)，Holder不等式，引理2.1，(2.16)和(1.16)，容易推出：

$\begin{array}{c}{\Vert I_2\Vert }_{L^2}={\Vert -u\cdot \nabla u-\phi \left(n\right)\left[\theta \Delta u+\left(\theta +\eta \right)\nabla divu\right]-\varphi \left(n\right)\nabla n+\psi \left(n\right)\left[B\cdot \nabla B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right)\right]\Vert }_{L^2}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}+{\Vert \phi \left(n\right)\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \varphi \left(n\right)\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla n\Vert }_{L^6}+{\Vert \psi \left(n\right)\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert B\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla B\Vert }_{L^6}\right)\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert n\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}+{\Vert B\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}B\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{10}{4}}.\end{array}$ (3.3)

因此，利用(2.1)，(3.3)和(1.16)可以得到：

$\begin{array}{c}{\Vert u_t\Vert }_{L^2}={\Vert \theta \Delta u+\left(\theta +\eta \right)\nabla divu-\nabla n+I_2\Vert }_{L^2}\\ \le C\left({\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{L^2}+{\Vert I_2\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}}.\end{array}$ (3.4)

最后，再次使用(2.1)，(2.2)，Holder不等式，(2.16)和(1.16)，我们有：

$\begin{array}{c}{\Vert B_t\Vert }_{L^2}={\Vert \nu \Delta B-\left(divu\right)B+B\cdot \nabla u-u\cdot \nabla B\Vert }_{L^2}\\ \le C\left({\Vert \Delta B\Vert }_{L^2}+{\Vert B\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}+{\Vert u\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla B\Vert }_{L^6}\right)\\ \le C\left({\Vert {\nabla }^{2}B\Vert }_{L^2}+{\Vert B\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}+{\Vert u\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{2}B\Vert }_{L^2}\right)\\ \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{7}{4}}.\end{array}$ (3.5)

致谢

作者衷心感谢陈菲老师的指导和建议。

基金项目

国家自然科学基金(项目编号：12101345)；山东省自然科学基金(项目编号：ZR2021QA017)。

NOTES

^*通讯作者。