1. 引言
近年来,自1991年Kováčik和Rákosník [1] 给出了变指标Lebesgue空间和Sobolev空间的完备性,连续性及等价范数后,变指标函数空间得到了迅速的发展。众所周知,Herz空间是Lebesgue空间的加幂权形式。随着2010年Izuki [2] 引入了变指标Herz空间并研究了该空间的性质,建立了次线性算子在该空间的有界性之后,越来越多的学者开始关注并研究变指标Herz型空间。先后定义了变指标Herz-Morrey空间 [3]、变指标Herz-Hardy空间 [4]、变指标Herz-Besov空间 [5] 和变指标Herz Triebel-Lizorkin空间 [5]。最近,韦营营等 [6],Fang等 [7] 利用Peetre极大算子和Hardy-Littlewood极大算子在向量值空间的有界性,建立了变指标Herz Triebel-Lizorkin空间的等价范数刻画。
另一方面,关于交换子的研究也取得了很大进展。如2015年,王洪斌 [8] 证明了次线性算子的交换子在变指标Herz-Hardy空间的有界性。2017年,王立伟等 [9] 得到了次线性算子的多线性交换子在变指标Herz空间的有界性结果。2022年,彭珊珊等 [10] 证明了Calderón-Zygmund算子的多线性交换子在极大变指标Herz空间的有界性。受文献 [6] 和文献 [9] 研究结果的启发,本文主要讨论次线性算子与Lipschitz函数生成的多线性交换子在变指标Herz Triebel-Lizorkin空间的有界性问题,对变指标函数空间理论做了进一步的推广。
本文结构安排如下:将在第二节给出与本文相关的定义、引理,在第三节给出本文的主要结果与相关证明。
2. 预备知识
在这篇文章中,我们引入次线性算子T和
与局部可积函数
构成的多线性交换子
和
,
和
分别定义如下:
,
,
在这里,假设
是固定在
上的局部可积函数,
,
都定义在
上,
,
,
且
,
。
,
分别满足以下条件:对给定的
,
,(1)
, (2)
和当
时,
,
。
同样的,也可以定义
,
。
对于变指标Herz Triebel-Lizorkin空间,有如下重要性质:
对
,
,
,
,齐次变指标Herz Triebel-Lizorkin空间的等价范数刻画如下:
,
非齐次变指标Herz Triebel-Lizorkin空间的等价范数刻画如下:
,
其中
。
下面介绍一些定义、引理:
定义1 [6] 设
是在
上的一个可测子集且
。令
是可测函数。变指标Lebesgue空间
定义为:对于某个
,使得
,
成立的
上的可测函数f全体。其范数可以表示为:
。
设
是
上所有局部可积函数的集合,给定一个函数
,则Hardy-Littlewood极大算子M被定义为:
,
,
这里
。
令
,
,记
是满足
的所有
的全体,
是满足
的所有
的全体。
是
的共轭指数,即
。用
表示满足
且使得Hardy-Littlewood极大算子M在
上有界的全体。若
满足
,
,
,
,
则
。
接下来给出一些记号以及Lipschitz函数的相关性质:
对
,
表示由
中l个不同元素构成的有限子集族
。对任意
,用
表示
的补序列。如果
,
及
,
,记
,
。并记
。特别地,
。
引理1 [11] 对
,
,有
,
当
时,上式做相应修改。
引理2 [12] 设
,则
。
目前,关于极大算子和次线性算子在变指标Herz空间的有界性结果有:
引理3 [5] 令
,
,
。若
且
。则存在一个正常数C使得对
上所有局部可积的函数序列
,有
。
引理4 [2] 令
,
且
。若
且
。假设T是一个次线性算子,满足尺寸条件(1)。若T在
上有界,那么T在变指标Herz空间有界。
引理5 [7] 令
,
,
,
且
。若
且
。假设
是一个次线性算子,满足尺寸条件(2)。若
从
到
有界,那么
是从齐次变指标Herz空间
到齐次变指标Herz空间
有界的,并且
在非齐次变指标Herz空间的有界性也同样成立。
引理6 [7] 令
且
。若
是固定在方体Q上的函数,那么对于
,有
,
且
,
这里的常数C仅仅与
和n有关。
3. 主要结果及证明
本文的主要结论如下:
定理1 令
,
且
。假设
,
且
,
,
,
。对任意的具有紧支集的局部可积函数f,若次线性算子T满足尺寸条件(1)且T在
上有界,那么
(a)
是从
到
有界的;
(b)
是从
到
有界的。
定理2 令
,
,
,
且
。假设
,
且
,
,
,
。对任意的具有紧支集的局部可积函数f,若次线性算子
满足尺寸条件(2)且
从
到
有界,那么
(a)
是从
到
;
(b)
是从
到
。
定理1的证明:令
,
,
。对
做如下分解:
,
。有:
因此
那么
首先估计
,根据引理1,可以得到
对于
,选取
并令
,
为整数,使得
,
,
。根据Hölder不等式,次线性算子T在
上的有界性以及引理1,可以得到
接下来,继续估计
。
的估计与
的估计类似,通过Hölder不等式,有
对于
,因为
,
。根据引理1,引理2,可以得到
所以,
。
结合上面对
,
,
,
的估计,对所有满足
的方体Q取上确界,可以得到
.
再根据引理3,引理4,可以得出
.
对于
在非齐次变指标Herz Triebel-Lizorkin空间上有界性的证明与上述方法相似,故此处略去证明。
定理1至此估计完毕,接下来继续证明定理2。
定理2的证明:定理2的证明与定理1类似,所以令
,
,
。对
做如下分解:
,
。有:
那么
先估计
。
的估计与
类似,并由引理3,引理5可以得到
.
接下来,继续估计
。选取
并且
,
,
。并令
为整数,使得
,
,
。根据Hölder不等式以及引理6、引理1、引理5,存在
,使得
所以
.
对于
,
的估计与
类似。使用引理2能够得出
.
最后估计
,
的估计与
类似。因为
,
。根据引理1,引理2可以得到
进而,由引理6,引理2及引理5,可以得到
.
结合上面对
,
,
,
的估计,对于所有满足
的方体Q选取上确界,可以得出
.
对于
在非齐次变指标Herz Triebel-Lizorkin空间上有界性的证明与上述方法相似,故此处略去证明。
基金项目
新疆维吾尔自治区自然科学基金(2021D01C463)。