1. 引言
四元数体上矩阵方程的Hermite最小二乘问题及最佳逼近问题的研究目前已经取得较多成果,例如Cao W S [1] 给出了四元数矩阵方程AXB = D的Hermite解的充要条件;袁仕芳等 [2] 得出四元数矩阵方程AXB = C的三对角Hermite极小范数最小二乘解;Zhou S等 [3] 讨论矩阵方程AX = B,XC = D的Hermitian Reflexive (Anti-Hermitian Reflexive)矩阵最小二乘解及其最佳逼近;袁仕芳等 [4] 研究了分裂四元数矩阵方程AXB + CXD = E的Hermitian解;黄敬频等 [5] 给出四元数Lyapunov方程
的双自共轭解,Wang等 [6] 讨论四元数域上连续Lyapunov矩阵方程
的三对角箭形矩阵约束问题;张奇梅 [7] 给出了矩阵方程组AX = Z,Y*A = W*的埃尔米特反自反矩阵反问题的最小二乘解的一般表达式。但在四元数体上方程组AX = Z,Y*A = W*的双Hermite矩阵反问题的最小二乘解问题未见研究报道。
本文的目的是讨论四元数体上的方程组
,
(1)
的双Hermitan矩阵反问题最小二乘解及最佳逼近,这里所提的反问题是指当矩阵X,Z,Y,W已知的情况下,反求矩阵A。显然当
,
,
,
,上述问题就是双Hermitan矩阵的左右特征对反问题。四元数双Hermitan矩阵是实数域上双对称矩阵的推广。
定义1 [5] 设
,如果
且
,则称A为n阶四元数双Hermite矩阵,其中
表示反对角线元素全为1的n阶方阵。全体n阶四元数双Hermite矩阵的集合表示为
。
为讨论方便,四元数的全体记为Q,即
其中
,
,
,
。用
,
,
,
分别表示
对称、反对称、自共轭矩阵和双自共轭矩阵的集合;
,
,
,
分别表示矩阵A的共轭、转置、共轭转置和酉矩阵,本文具体研究如下问题。
问题I 给定
;
,求
,使得
问题II 设
是问题I的解集合,给定
,求矩阵
使得
2. 问题Ⅰ的解
引理1 [8] 设
,
,则对任意
,有
,
其中
表示矩阵的Hadamard积,
,
,
。于是
存在唯一极小F范数自共轭解:
。
设
,且
(2)
显然
,
。于是有
引理2 [6] 设
如(2)所示酉阵,则双自共轭四元数矩阵的集合可表示为
(3)
(4)
下面讨论问题I的解。当m = 2k时,令
,
,
,
, (5)
其中
,
,
,
,设分块矩阵
,
,
,
的奇异值分解分别为
,
, (6)
,
,(7)
其中
(8)
当
时,由引理2可得
所以
等价于
(9)
利用
的奇异值分解(6)和(7)代入(9)可得
(10)
定理1 给定
;
,则问题I的双自共轭反问题解可以表示为
(11)
其中
,(12)
,(13)
且
为列正交矩阵。
证明 由上面讨论知
有解
(9)式有解
(10)式有解。
由引理2知
,故由引理1知,(10)式可写为
故
当且仅当
又因为
令
,
,于是有
所以有
其中A11,A22如(12),(13)所示。
对于
的情形,当
时,由引理2有
其余过程及记号完全类似
的情形,可证当
时,定理1结论成立。
3. 问题Ⅱ的解
设
是给定的四元数矩阵,问题I的解集为
,求矩阵
使得
。设
如(2),当
时,记
(14)
(15)
(16)
当
时,记
(17)
有
(18)
于是,关于问题II有以下结果:
定理2 设
是问题3-I的解集合,给定
,则问题II存在唯一最佳逼近解,且解可表示为
(19)
当
时,
如(14)式,
如(16)的形式;当
时,
如(18)的形式,
如(6)(7)式。
证明根据F范数性质及定理1的双自共轭最小二乘解表达式可得
因此
等价于
(20)
(21)
又因为
所以
等价于
(22)
上式成立当且仅当
。
类似的(20),(21)成立当且仅当
。代入(11),并且由奇异值分解式(6)有
,
, (23)
因此得到
,
其中A0为(14)或(3.2.14)式中的形式。证毕。
4. 数值算例
算法步骤求问题I的解的步骤
1) 计算
;
2) 对矩阵
作奇异值分解;
3) 按(8)式构造
和
;
4) 利用定理1求得问题I的解A。
算例 当m = 4时,给定四元数矩阵
按步骤(1)计算
可得
的奇异值分解分别为
按(8)式构造
和
得
问题I的解
5. 全文内容和创新点的总结
本文利用双Hermite矩阵的结构特性及奇异值分解定理,将原问题转化为Hermite矩阵方程问题,得出该问题解的表达式。本文对相关定理的证明过程比较完整和合理,文章创新性较好和技术含量较高,同时通过数值分析进一步证实了本文的研究结论。
基金项目
贺州学院校级科研项目(2020ZC12)。