1. 引言
正规算子在算子理论研究中具有十分重要的意义。随着对正规算子的研究逐渐深入,许多学者将正规性的概念推广得到亚正规性等概念。此外,Toeplitz算子在除数学外等许多领域上也扮演着十分重要的角色。本文的主要研究内容是Fock空间上亚正规Toeplitz算子符号函数的零点分布。
设
为复数域
上的Lebesgue面积测度,可以用极坐标表示为
Math_16#。
对于
,记
是
上所有满足下式的Lebesgue可测函数f构成的Hilbert空间,且
,
其中
。对于
,其上的内积定义为
。
Fock空间
由
中所有整函数构成,是
的闭子空间。
是
空间的正规正交基,其中
,
。对于任意的
,
空间上的再生核定义为
。
令P为
到
的正交投影。对任意
和
,
。
记
为由
空间中所有再生核函数的有限线性组合张成的线性子空间,显然有
在
中稠密。假设f是
上满足
Math_45#
的Lebesgue可测函数。以
为符号的Toeplitz算子
可以被稠定义为
Math_49#。
如果Hilbert空间上的有界线性算子S满足
,那么称算子S是亚正规的。目前,Toeplitz算子的亚正规性已经受到了许多学者的关注,人们对亚正规Toeplitz算子的研究也取得了一定的成果。在Hardy空间中有许多结果,见 [1] [2] [3] [4] 。其中,Cowen利用符号函数的性质得到了著名的Cowen定理。定理刻画了Toeplitz算子的亚正规性,见 [4] 。此外,Zhu通过Toeplitz算子符号函数的零点也描述了其亚正规性,见 [5] 。2008年,Nakazi利用符号函数零点得出了一个亚正规Toeplitz算子的充分必要条件,见 [6] 。在Bergman空间中,亚正规Toeplitz算子同样也是众多学者研究的重点问题,见 [7] - [14] 。特别的,1992年,Sadraoui根据符号函数边界条件给出了亚正规Toeplitz算子的必要条件,见 [7] 。除此之外,Ahern和Cuckovic探究并得到了以调和函数为符号函数的亚正规Toeplitz的必要条件,见 [12] 。对于Fock空间上亚正规Toeplitz算子的研究,目前也有一些成果,见 [15] [16] [17] [18] [19] 。
参考文献 [19] 中给出了在Fock空间中以
,
为符号的Toeplitz算子亚正规的充分必要条件为
。此外还分别给出了Fock空间中以
和
为符号的Toeplitz算子亚正规的充分条件和必要条件。本文在此基础上进一步刻画
和
的特征。
2. 一个充分必要条件
这一部分研究了Fock空间
上以
为符号的Toeplitz算子的亚正规性。以下是一些准备工作。
引理2.1 设
为非负整数,则有
证明由简单计算可得。
下面为本文的主要结果。
定理2.2 设
,其中。则
作用在
空间上是亚正规的当且仅当
。
证明:当
时,则有
。显然
是自伴的,特别的,
是正规的,进而是亚正规的,充分性得证。
假设
是亚正规的,运用Toeplitz算子的基本性质,直接计算得到
(2.1)
任取
,则f有幂级数展开式
。再根据引理2.1,得到以下两个等式
,
。
将上面两个等式带入(2.1)式得到
(2.2)
由于
是亚正规的,则有
(2.3)
特别地,取
(
为任意复数,k为任意自然数)带入(2.3)式得
(2.4)
将上述不等式左端整理成关于
的二次函数,并化简得
(2.5)
若
,此二次型的对称轴为
,可得
对任意
成立。当
时,有
。
若
,对称轴为
,由
的任意性,(2.5)式左端小于0。综合以上讨论得,
。
3. 两个必要条件
这部分介绍了Fock空间
上以
和
为符号的亚正规Toeplitz算子的必要条件。
定理3.1 设
,其中
。如果
在
空间上是亚正规的,
则
。
证明:由引理2.1可得,
其中
。
如果
是亚正规的,则
(3.1)
特别的,令
,其中。代入上式化简得
(3.2)
此外,(3.2)式等价于
(3.3)
进一步可以将(3.3)式写成
,
等价于
,
特别地,当
时,计算可得
。
此定理得到的必要条件比参考文献 [19] 的结果更精细。
下面将符号函数换成
,并探究Toeplitz算子
为亚正规的必要条件。
定理3.2 设
,其中
。如果
在
空间上是亚正规的,
则
。
证明:同定理2.2相似的计算方法,可以得到
。
令
,其中
。应用引理2。1通过简单计算可以得到,当
时,
;
当
时,
,
,
。
由此可以得到算子
的矩阵表示,并将其记作A,那么有
如果
在
空间上是亚正规的,那么矩阵A是正定矩阵。矩阵A的任意顺序主子式都是非负的。特别地,矩阵A的一阶顺序主子式和三阶顺序主子式非负,所以有
,
以及
。
结合两个不等式得到
。
相同的,这个必要条件也比参考文献 [19] 更接近于充分必要条件。定理3.1和定理3.2的充分必要条件解决起来是需要十分具有创新性的技术。