1. 引言
本篇论文研究完全可压缩磁流体力学(MHD)方程组的柯西问题,主要如下表示:
(1)
其中,
。
分别代表流体的密度、速度、温度以及磁场。
和
是粘性系数并满足
与
。
和
分别表示热传导和磁场扩散系数。此外,
为绝热指数,理想气体常数
,内能e和比热容常数
,压力P可以表示为
粘性压力张量
表达式为
在连续性假设下,流体的运动满足质量守恒、动量守恒和能量守恒。从方程组的结构看,磁流体力学(MHD)方程组是Navier-Stokes方程组耦合磁场形成的新的方程组,也使得在研究这两种方程组问题时使用类似的方法成为可能。但是由于速度场和磁场的强耦合,磁场方程和温度方程的出现,导致MHD方程组的处理与分析要更加复杂,这也使得MHD方程组成为近些年来偏微分方程研究的重点与热点问题。
关于降低此类方程组解的正则性的相关研究,也引起了许多学者的广泛关注。在研究等熵情况下解的存在性的基础上(参见 [1]),Huang和Li [2] 建立了在真空以及大震荡初值情形下Navier-Stokes方程组的经典解的整体存在唯一性,并且得到了弱解的全局存在性。后来,对比Valli [3] 研究完全可压缩Navier-Stokes方程组结果的基础上,并且借助于 [4] 中的先验估计,当初始速度和初始温度在比H2正则性更低的空间中,Xu和Zhang [4] 建立了整体解的存在唯一性。近期,基于 [5] [6] 的结果,Zhang [7] 进一步研究了等熵可压缩MHD方程组的相关问题,降低了方程组中关于初始速度的正则性。
本文的主要内容是建立关于完全可压缩MHD方程组(1)的先验估计。基于本文的研究成果,后续我们将进一步研究其整体适定性。即关于方程组(1)中的初始速度,初始磁场和初始温度,在这三项的低正则空间中,建立全局解的存在唯一性。其主要难点,进行方程组(1)的随体导数,有效粘性通量和涡度的能量估计,以及低阶的先验估计的导出。
记初始能量为:
方程组(1)的随体导数,有效粘性通量和涡度的定义分别如下:
(2)
由此可推出
(3)
关于以上三个物理量的定义,可参考 [2] [8] [9]。
本文的结构如下:首先介绍证明需要用到的两个引理;重点在第二部分,建立时间独立的先验估计;最后,会给出本文的主要结论。
2. 预备知识
2.1. Gagliardo-Nirenberg不等式
引理2.1 (参见 [10]) 假设
以及
且满足
(4)
其中
。则存在依赖于
的常数C,使得对于任意的
,
(5)
2.2. 随体导数,有效粘性通量和涡度的Lp估计
接着介绍从参考文献 [5] [7] 推广而得的
估计,将用于后续的证明。
引理2.2令
是方程组(1)的一组光滑解,存在仅依赖于
和R的正常数C,使得对于任意的
,得到以下估计:
(6)
(7)
(8)
(9)
3. 先验估计
通过引理2.2的结论以及参考文献 [4] 中第三部分的相关证明,最终我们可以得到一组低阶的时间独
立的先验估计,具体验证过程如下:令
,接着定义
分别如下:
命题3.1对于给定的正常数
,
以及
(不必小),假设初值
满足:
(10)
若存在仅依赖于
和
的正常数Q和
,使得初始能量满足
且方程组(1)的一组光滑解
满足
(11)
则可获得如下估计:
(12)
证明:详见下列引理3.2与引理3.3。
另外在进行接下来的证明之前,我们规定
并且C是大于0的正常数。
引理3.1 (参见 [2] [5])在命题1的条件下,存在仅依赖于
和
的正常数
,使得
是方程组(1)在
的一组光滑解,且满足
,则对于任意的
可得到如下估计:
(13)
和
(14)
3.1.
的估计
引理3.2在命题1的条件下,存在仅依赖于
和
的正常数Q与
,并且满足
与
,使得
是方程组(1)在
上的一组光滑解满足:
(15)
则对于任意的
与
可获得以下估计:
. (16)
证明:首先由方程组(2)2易得
(17)
接着将(1)2乘以
,(1)4乘以
,分别在
上积分后相加,分部积分之后可得
(18)
然后,利用(15),(5)和(11),对于
可得
(19)
再结合(9)和(5),可推出
(20)
由椭圆系统的
标准估计与(1)4,可得出
(21)
接着,利用Hölder不等式和Young不等式可以发现,
类似地,
其中
,而且通过能量估计得到的“
”与“
”能够被左端吸收。综上所得,即有
(22)
紧接着,从方程组(1)可以推出
(23)
做好这些准备工作之后,我们开始分析(18)的右端各项。类似于 [2] 中(3.27)的推导,由(23),(15),(5),(6),(7),(19),(22)和(13)可以得到
(24)
同理,
接下来再结合 [2] 中(3.28)的推导过程,利用(5)和(22)可以得到
现在分析最后两项。由分部积分,(2)1,(5),(11),(15)与(22),可以得到
综上所得,即有
(25)
然后将(25)的结果代入(18)中,令
足够地小,在
上进行积分后,再关于
取上确界,由(15)就可以推出
(26)
其中
,
并且Q仅依赖于
和
。最后令
,即可证明出引理2。
3.2.
的估计
引理3.3:在命题1的条件下,存在仅依赖于
和
的正常数
,使得
是方程组(1)在
的一组光滑解,并且Q如引理2所表示,则对于
可获得以下估计:
.
证明:首先,分别将(1)2乘以
,(1)4乘以
,然后将这两式在
上积分后相加,再由(13)与(14)可得
(27)
同样地,将(1)3乘以
后在
上积分,可以得到
(28)
其中从(11)可以推出
(29)
进而可以结合 [2] 中的(3.33)式,得到
的能量估计,即
下一步便是分析
与
。从(14),(5),(11),(22),(29)得到
(30)
然后将
的估计代入(28),便能得出
(31)
再进一步结合(27)与(31),可得到
(32)
同时此处
以及
。在
上积分之后由(11)可以得到
(33)
其中需注意
.
再之后,由(1)3与椭圆系统的
标准估计,能够得到
(34)
此处使用了
此外,从(11)和(22)推得
将上式结合(11)和(34)得出
(35)
再从(5)和(11),可验证
(36)
此处
。再令
,使用(34)能在
上验证
接着结合 [2] 中(3.45)的相关结果,分别将(1)2乘以
,(1)3乘以
,(1)4乘以
,然后将这三式在
上积分后相加,并且利用
以及
便可以推出
其中
如同(33)中的处理,此外,
最终在
上积分便可以得到
(37)
最后,令
并结合(33)与(37)两式结果,引理3也可证
毕。
另外,还可以进行进一步通过能量估计缩小
的范围以及得出关于
与
的先验估计。不过在关于降低正则性的相关证明中,这几项估计并没有使用,所以这里我们便不再详细介绍了,有兴趣的读者可以阅读参考文献 [2] [9] [11] [12] [13] 了解类似证明。
4. 结论
定理4.1 对于给定的正常数
,
以及
(不必小),假设方程组(1)的初值
满足:
则存在仅依赖于
和
的正常数Q和
,使得若初始能量满足:
,
则可获得以下估计:
基金项目
国家自然科学基金资助项目(编号12101345),山东省自然科学基金资助项目(编号ZR2021QA017)。