带阻尼项三维新MHD方程弱解的存在性

The Existence of Weak Solutions for the New MHD Equations with Damping in the Three Dimensional Space

摘要: 本文给出了带阻尼项的新MHD方程在三维空间中弱解的存在性。我们通过标准Galerkin近似方法、Hölder不等式、Gromwall不等式、Schwartz不等式等基本不等式以及Parseval等式、先验估计和Fourier变换等得到弱解的存在性。

Abstract: In this paper, we show the existence of weak solutions for the new MHD equations with damping in the three dimensional space. The existence of the weak solutions is proved by standard Galerkin approximation method, Hölder inequality, Gromwall inequality, Schwartz inequality and Parseval equality, prior estimation and Fourier transform.

1. 介绍

本文考虑三维空间中带有阻尼项的新MHD方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}+\left(u\cdot \nabla \right)u+\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u=\nu \Delta u-\frac{1}{{\rho }_0}\nabla P+\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}u\times curlA+f\left(x\right),\left(x,t\right)\in R^3\times \left(0,T\right),\hfill \\ \frac{{\partial }^{2}A}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\Delta A+\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0}u-\nabla \Phi ,\left(x,t\right)\in R^3\times \left(0,T\right),\hfill \\ \nabla \cdot u=0,\nabla \cdot A=0,\left(x,t\right)\in R^3\times \left(0,T\right),\hfill \\ u\left(0,x\right)=\phi \left(x\right),A\left(0,x\right)=\psi \left(x\right),A_t\left(0,x\right)=\eta \left(x\right),x\in R^3,\hfill \\ \left|u\right|\to 0,\left|A\right|\to 0,当\left|x\right|\to \infty \hfill \end{array}$ (1.1)

其中 $T>0$ 是时间， $u\left(x,t\right)=\left(u_1\left(x,t\right),u_2\left(x,t\right),u_3\left(x,t\right)\right)$， $A\left(x,t\right)=\left(A_1\left(x,t\right),A_2\left(x,t\right),A_3\left(x,t\right)\right)$， $p\left(x,t\right)$ 分别表示速度场、磁势和压强函数， $\Phi =\frac{\partial A_0}{\partial t}$ 代表带有标量电磁势 $A_0$ 的时间变化率。常数 $\nu ,{\rho }_0,{\rho }_e,{\epsilon }_0,{\mu }_0$ 分别表示运动粘性系数、质量密度、等效电荷密度、介电常数和自由空间磁导率。在阻尼项中，是 $\alpha ,\beta$ 两个常数且 $\beta \ge 1$， $\alpha >0$。

不可压缩新MHD方程是一个混合模型，结合了Navier-Stokes方程和双曲型方程，Liu和Yang在 [1] 中基于牛顿第二定律和Maxwell电磁场方程的基本物理原理，提出了一种新的三维不可压缩磁流体动力学模型。该模型描述了移动导电流体流动与电磁场之间的相互作用，并利用Galerkin技术和能量估计，得到了有界边界情况下三维MHD模型初值问题的整体弱解。Chandrasekhar [2] 建立了N维( $N\ge 2$ )古典MHD模型，并且关于解的存在性已经有了大量的数学研究。之后Duvaut和Loins [3] 构造了在有界边界情况下三维古典MHD模型初值问题的整体弱解和局部强解。 [4] 中研究了在有界边界情况下二维新MHD模型初值问题的整体强解的存在性和正则性。关于更多Navier-Stokes方程和MHD方程的研究，请读者参考 [5] - [12]。

接下来我们将介绍一些函数空间的符号。当 $1\le p\le \infty$ 时， $L^p\left(R^3\right)$ 表示标量函数和向量值函数的Lebesgue空间，其范数为 ${\Vert \cdot \Vert }_p$。 $C_{0,\sigma }^{\infty }\left(R^3\right)$ 表示 $C^{\infty }$ 实向量值函数 $u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 的集合，在 $R^3$ 中具有紧支集，使得div $u=0$。当 $1<p<\infty$ 时，我们定义函数空间 $L_{\sigma }^p\left(R^3\right)$ 是 $C_{0,\sigma }^{\infty }\left(R^3\right)$ 在 $L^p\left(R^3\right)$ 上的闭包，其范数为 ${\Vert \cdot \Vert }_p$。 $W^{k,p}\left(R^3\right)$ 是Sobolev空间，通常范数是 ${\Vert \cdot \Vert }_{k,p}$，并且 $W_{0,\sigma }^{k,p}\left(\Omega \right)$ 是 $C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\Omega \right)$ 关于 ${\Vert \cdot \Vert }_{k,p}$ 的闭包。当 $p=2$ 时，我们用 $H^k\left(R^3\right)$ 来表示 $W^{k,2}\left(R^3\right)$。当 $1\le p\le \infty$ 时，X是Banach空间，我们用 $L^p\left(0,T;X\right)$ 表示，其范数为 ${\Vert \cdot \Vert }_X$。

我们的主要结论为如下定理：

定理1 假设 $\beta \ge 1$ 并且 $u_0\in L_{\sigma }^2\left(R^3\right)$， $A_{t0}\in L_{\sigma }^2\left(R^3\right)$， $A_0\in W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)$。那么对于任意的 $T>0$，问题(1.1)存在弱解 $\left(u,A\right)$，使得

$\begin{array}{l}u\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left(R^3\right)\right),\\ A\in L^{\infty }\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right),A_t\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\end{array}$ (1.2)

此时

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert A_t\left(t\right)\Vert }^2+2\nu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u\Vert }^2}\text{d}\tau +2\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\left|u\right|}^{\beta -1}u\text{d}\tau }+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A\Vert }^2\\ \le {\Vert u\left(0\right)\Vert }^2+{\Vert A_t\left(0\right)\Vert }^2+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A\left(0\right)\Vert }^2+\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\left(\tau \right)\Vert }^2}\text{d}\tau +{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert A_t\left(\tau \right)\Vert }^2}\text{d}\tau \right)\end{array}$ (1.3)

我们给出带有阻尼项的新MHD方程在R³中弱解的存在性，主要定义及引理如下。

2. 准备知识

本节主要介绍了带有阻尼项新MHD方程弱解的定义以及在证明中用到的重要引理。

定义2.1

1) $\begin{array}{l}u\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left(R^3\right)\right),\\ A\in L^{\infty }\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right),A_t\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\end{array}$

2) 对于任意的 $\varphi \in C_{0,\sigma }^{\infty }\left(\left[0,T\right]\times R^3\right)$，其中 $\varphi \left(\cdot ,T\right)=0$，我们有

$\begin{array}{l}-{\displaystyle {\int }_0^T\left(u,{\varphi }_t\right)\text{d}t}+\nu {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\nabla u:\nabla \varphi \text{d}x\text{d}t}}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(u\cdot \nabla \right)u\varphi \text{d}x\text{d}t}}+\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}{\left|u\right|}^{\beta -1}u\varphi \text{d}x\text{d}t}}\\ -{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\frac{{\rho }_e}{{\rho }_{\text{0}}}u\times curlA\cdot \varphi \text{d}x\text{d}t}}=\left(u_0,{\varphi }_0\right),\end{array}$ (2.1)

$-{\displaystyle {\int }_0^T\left(A_t,{\varphi }_t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(\frac{1}{{\epsilon }_0{\rho }_0}\nabla A\cdot \nabla \varphi -\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\rho }_0}u\cdot \varphi \right)\text{d}x\text{d}t}}=\left(A_{t0},{\varphi }_0\right)$ (2.2)

3) $\text{div}u\left(x,t\right)=0$， $\text{div}A\left(x,t\right)=0$ 对几乎处处的 $\left(x,t\right)\in R^3\times \left[0,T\right)$。

引理2.2 设 $X_0,X$ 是Hilbert空间并且满足 $X_0$ 紧嵌入到X中。设 $0<\gamma \le 1$ 且 ${\left({\upsilon }_j\right)}_{j=1}^{\infty }$ 是一个属于 $L^2\left(R;X_0\right)$ 的序列，满足

$\underset{j}{\text{sup}}\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\Vert {\upsilon }_j\Vert }_{X_0}^2\text{d}t}\right)<\infty ,\underset{j}{\text{sup}}\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|\tau \right|}^{2\gamma }{\Vert {\hat{\upsilon }}_j\Vert }_X^2\text{d}\tau }\right)<\infty ,$

此时 $\hat{\upsilon }\left(\tau \right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\upsilon \left(t\right)}\exp \left(-2\pi i\tau t\right)\text{d}t$ 是 $\upsilon \left(t\right)$ 关于时间变量上的傅里叶变换。那么对于 $\upsilon \in L^2\left(R;X\right)$ 就会存在一个序列 ${\left({\upsilon }_j\right)}_{j=1}^{\infty }$ 在 $L^2\left(R;X\right)$ 上强收敛。

引理2.3 假设 $\beta \ge 1$ 并且 $u_0\in L_{\sigma }^2\left(R^3\right)$， $A_{t0}\in L_{\sigma }^2\left(R^3\right)$， $A_0\in W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)$。那么对于任意的 $T>0$，我们有

$\begin{array}{l}{\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(t\right)\Vert }^2+2\nu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u_m\Vert }^2}\text{d}\tau +2\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_m\right|}^{\beta -1}{u}_m}\text{d}\tau +\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\Vert }^2\\ \le {\Vert u_m\left(0\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(0\right)\Vert }^2+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\left(0\right)\Vert }^2+\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_m(\tau )\Vert }^2}\text{d}\tau +{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {A^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }^2}\text{d}\tau \right)\end{array}$

3. 弱解存在性的证明

在本节中我们将证明定理1。

证明：我们利用Galerkin近似来证明这个定理。因为 $W_{0,\sigma }^{1,2}$ 是可分的， $C_{0,\sigma }^{\infty }$ 在 $W_{0,\sigma }^{1,2}$ 中稠密，因此存在 $C_{0,\sigma }^{\infty }$ 的元素序列 ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_m$。对于每个m我们定义近似解 $u_m,A_m$ 如下：

$u_m={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{g}_{im}}\left(t\right){\omega }_i\left(x\right),A_m={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{h}_{im}}\left(t\right){\omega }_i(\; x\; )$

和

$\begin{array}{l}\left({u^{\prime }}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\nu \left(\nabla u_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)+\left(u_m\left(t\right)\cdot \nabla u_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\left(\alpha {\left|u_m\right|}^{\beta -1}{u}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)\\ -\left(\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}{u}_m\left(t\right)\times curl{A}_m,{\omega }_j\right)=0,\end{array}$ (2.3)

$\left({A^{″}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left(\nabla A_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)-\frac{{\rho }_{\text{e}}}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left(u_m\left(t\right),{\omega }_j\right)=0,$ (2.4)

其中 $t\in \left[0,T\right]$， $j=1,2,\cdots ,m$，并且在 $L_{\sigma }^2$ 中当 $m\to \infty$ 时 $u_{0m}\to u_0$， $A_{\text{t}0m}\to A_{t0}$。

我们对近似解 $u_m,A_m$ 有如下先验估计。

将(2.3)，(2.4)的两端分别乘以 $g_{im}\left(t\right),{h^{\prime }}_{im}\left(t\right)$，对于 $j=1,\cdots ,m$ 求和有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }_{L^2}^2+\nu {\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}^2+\alpha {\Vert u_m\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\le 0,$ (2.5)

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {A^{\prime }}_m\Vert }_{L^2}^2+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}^2\right)\le {\displaystyle {\int }_{R^3}\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{u}_m\cdot {A^{\prime }}_m\text{d}x},$ (2.6)

其中

$\left(\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}{u}_m\left(t\right)\times curl{A}_m\right)\cdot u_m=\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(u_m\times \left(\nabla \times A_m\right)\right)u_m\text{d}x}=0,$

$\begin{array}{c}\left(\left(u_m\left(t\right)\cdot \nabla \right)u_m\left(t\right),u_m\right)={\displaystyle {\int }_{R^3}\left(u_m\left(t\right)\cdot \nabla u_m\left(t\right)\right)u_m\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{R^3}{u}_m\left(t\right)}\cdot \nabla \frac{{\left|u_m\left(t\right)\right|}^2}{2}\text{d}x\\ =-{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(\nabla \cdot u_m\left(t\right)\right)}\frac{{\left|u_m\left(t\right)\right|}^2}{2}\text{d}x=0\end{array}$

将(2.5)和(2.6)相加，得

$\begin{array}{l}{\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(t\right)\Vert }^2+2\nu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u_m\Vert }^2}\text{d}\tau +2\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_m\right|}^{\beta -1}{u}_m}\text{d}\tau +\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\Vert }^2\\ \le \frac{2{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}{u}_m\cdot {A^{\prime }}_m}\text{d}x}\text{d}\tau ，\end{array}$

利用Hölder不等式，我们得到

$\begin{array}{l}{\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(t\right)\Vert }^2+2\nu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u_m\Vert }^2}\text{d}\tau +2\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\left|u_m\right|}^{\beta -1}{u}_m}\text{d}\tau +\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\Vert }^2\\ \le {\Vert u_m\left(0\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(0\right)\Vert }^2+\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}{\Vert \nabla A_m\left(0\right)\Vert }^2+\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_m\left(\tau \right)\Vert }^2}\text{d}\tau +{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {A^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }^2}\text{d}\tau \right)\end{array}$ (2.7)

显然地是

$\Vert u_m\left(0\right)\Vert =\Vert {\phi }_m\Vert \le \Vert \phi \Vert ,\Vert {A^{\prime }}_m\left(0\right)\Vert =\Vert {\eta }_m\Vert \le \Vert \eta \Vert ,\Vert \nabla A_m\left(0\right)\Vert =\Vert \nabla {\psi }_m\Vert \le \Vert \nabla \psi \Vert$

利用Gromwall不等式，我们得到以下估计

$\begin{array}{l}{\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert {A^{\prime }}_m\left(t\right)\Vert }^2\le \left(\Vert \varphi \Vert +\Vert \eta \Vert +\Vert \nabla \psi \Vert \right){\text{e}}^{\left(1+{\rho }_e/{\epsilon }_0{\mu }_0\right)T},\\ {\Vert \nabla A_m\left(t\right)\Vert }^2\le \left(\Vert \varphi \Vert +\Vert \eta \Vert +\Vert \nabla \psi \Vert \right){\text{e}}^{\left(1+{\rho }_e/{\epsilon }_0{\mu }_0\right)T},\\ {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u_m\Vert }^2\text{d}\tau }\le \left(\Vert \varphi \Vert +\Vert \eta \Vert +\Vert \nabla \psi \Vert \right){\text{e}}^{\left(1+{\rho }_e/{\epsilon }_0{\mu }_0\right)T},\\ {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u_m\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\text{d}\tau }\le \left(\Vert \varphi \Vert +\Vert \eta \Vert +\Vert \nabla \psi \Vert \right){\text{e}}^{\left(1+{\rho }_e/{\epsilon }_0{\mu }_0\right)T}\end{array}$

上式为(2.7)左半部分，所以等式成立，则引理2.3证明完毕。

利用标准方法和引理2.4，我们得到了近似解的整体存在性：

$\begin{array}{l}{u}_m\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left(R^3\right)\right),\\ A_m\in L^{\infty }\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right),{A^{\prime }}_m\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\end{array}$

然后，我们将利用引理2.3证明 $u_m$ 在 $L^2\cap L^{\beta }\left(\left[0,T\right]\times \Omega \right)$ 上强收敛且 $\Omega \in R^3$。为此，我们用 ${\tilde{u}}_m$ 和 ${\tilde{A}}_m$ 来表示从R到 $W_{0,\sigma }^{1,2}$ 的函数，等于 $u_m$ 在 $\left[0,T\right]$ 上和在这个区间的补集上为零。相似地，我们定义将 ${\tilde{g}}_{im}\left(t\right)$ 和 ${\tilde{h}}_{im}\left(t\right)$ 分别延拓到R，其中在 $t\in R\backslash \left[0,T\right]$ 上定义 ${\tilde{g}}_{im}\left(t\right)=0$， ${\tilde{h}}_{im}\left(t\right)=0$。 ${\tilde{u}}_m$ 和 ${\tilde{g}}_{im}\left(t\right)$， ${\tilde{A}}_m$ 和 ${\tilde{h}}_{im}\left(t\right)$ 关于时间变量的Fourier变换分别用 ${\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m$ 和 ${\widehat{\stackrel{˜}{g}}}_{im}\left(t\right)$， ${\widehat{\stackrel{˜}{A}}}_m$ 和 ${\widehat{\stackrel{˜}{h}}}_{im}\left(t\right)$ 来表示。

近似解 ${\tilde{u}}_m$ 满足

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\tilde{u}}_m,{\omega }_j\right)=\nu \left(\nabla {\tilde{u}}_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)+\left({\tilde{u}}_m\left(t\right)\cdot \nabla {\tilde{u}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\left(\alpha {\left|{\tilde{u}}_m\right|}^{\beta +1}{\tilde{u}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)\\ +\left(\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}{\tilde{u}}_m\left(t\right)\times curl{\tilde{A}}_m,{\omega }_j\right)+\left(u_{0m},{\omega }_j\right){\delta }_0-\left(u_m\left(T\right),{\omega }_j\right){\delta }_T\\ \equiv \left(\tilde{f},{\omega }_j\right)+\left(\alpha {\left|{\tilde{u}}_m\right|}^{\beta +1}{\tilde{u}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\left(u_{0m},{\omega }_j\right){\delta }_0-\left(u_m\left(T\right),{\omega }_j\right){\delta }_T,j=1,2,\cdots ,m\end{array}$ (2.8)

其中的 ${\delta }_0$ 和 ${\delta }_T$ 分别是0和T处的Dirichlet函数分布，并且

$\left({\tilde{f}}_m,{\omega }_j\right)=\nu \left(\nabla {\tilde{u}}_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)+\left({\tilde{u}}_m\left(t\right)\cdot \nabla {\tilde{u}}_m,{\omega }_j\right)+\left(\frac{{\rho }_e}{{\rho }_0}{\tilde{u}}_m\left(t\right)\times curl{\tilde{A}}_m,{\omega }_j\right),$

对时间变量进行Fourier变换，(2.8)给出

$2\pi i\tau \left({\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m,{\omega }_j\right)=\left({\widehat{\stackrel{˜}{f}}}_m,{\omega }_j\right)+\alpha \left(\left|{\tilde{u}}_m\right|\widehat{{}^{\beta -1}{\stackrel{˜}{u}}_m}\left(t\right),{\omega }_j\right)+\left(u_{0m},{\omega }_j\right)-\left(u_m\left(T\right),{\omega }_j\right)\exp \left(-2\pi iT\tau \right),$ (2.9)

其中 ${\widehat{\stackrel{˜}{f}}}_m$ 表示 ${\tilde{f}}_m$ 的Fourier变换。将(2.9)的两端同乘 ${\widehat{\stackrel{˜}{g}}}_{jm}\left(\tau \right)$，得到

$2\pi i\tau {\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2=\left({\widehat{\stackrel{˜}{f}}}_m\left(\tau \right),{\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\right)+\alpha \left(\left|{\tilde{u}}_m\right|\widehat{{}^{\beta +1}{\stackrel{˜}{u}}_m}\left(\tau \right),{\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\right)+\left(u_{0m},{\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\right)-\left(u_m\left(T\right),{\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\right)\exp \left(-2\pi iT\tau \right),$ (2.10)

对任意的 $v\in L^2\left(0,T;H_0^1\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\right)$，我们有

$\left(f_m\left(t\right),v\right)=\left(\nabla u_m,\nabla v\right)+\left(u_m\cdot \nabla u_m,v\right)+\left(u_m\times curl{A}_m,v\right),$

其中

$\left(\nabla u_m,\nabla v\right)={\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le C{\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{H^1},$

$\begin{array}{c}\left(u_m\cdot \nabla u_m,v\right)=\left(u_m\otimes u_m\right):\nabla v={\Vert u_m\otimes u_m\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le {\Vert u_m\Vert }_{L^4}^2{\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\\ \le C{\Vert u_m\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{H^1}\le C\left({\Vert u_m\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert v\Vert }_{H^1},\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(u_m\times curl{A}_m,v\right)\le {\Vert u_m\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{L^4}\le C{\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{H^1}\\ \le C\left({\Vert \nabla u_m\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert v\Vert }_{H^1}\end{array}$

所以可得

$\left(f_m\left(t\right),v\right)\le C\left({\Vert u_m\Vert }_2^2+{\Vert \nabla u_m\Vert }_2^2+{\Vert \nabla u_m\Vert }_2+{\Vert \nabla A_m\Vert }_2^2\right){\Vert v\Vert }_{H^1}$

因此对于任何给定的 $T>0$，有

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert f_m\left(t\right)\Vert }_{H^{-1}}}\text{d}t\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}C\left({\Vert u_m\Vert }_2^2+{\Vert \nabla u_m\Vert }_2^2+{\Vert \nabla u_m\Vert }_2+{\Vert \nabla A_m\Vert }_2^2\right)\text{d}t}\le C\left(T\right),$

因此

$\underset{\tau \in R}{\sup }{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{f}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^{-1}}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert f_m\left(t\right)\Vert }_{H^{-1}}}\text{d}t\le C(\; T\; )$

此外，从引理2.3可以得出

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert {\left|u_m\right|}^{\beta -1}{u}_m\Vert }_{\frac{\beta +1}{\beta }}}\text{d}t\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert u_m\Vert }_{\beta +1}^{\beta }}\text{d}t\le C\left(T\right),$

这意味着

$\underset{\tau \in R}{\sup }{\Vert \stackrel{^}{{\left|{\tilde{u}}_m\right|}^{\beta -1}\tilde{u}}\left(\tau \right)\Vert }_{\frac{\beta +1}{\beta }}\le C(\; T\; )$

从引理2.2中，我们知道

${\Vert u_m\left(0\right)\Vert }_2\le C,{\Vert u_m\left(T\right)\Vert }_2\le C$ (2.11)

我们从(2.6)~(2.9)可以推导出

$\left|\tau \right|{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\le C\left({\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}+{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}\right)$

对于任意固定的 $\gamma$， $0<\gamma <\frac{1}{4}$，我们可以得到 ${\left|\tau \right|}^{2\gamma }\le C\frac{1+\left|\tau \right|}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}$， $\forall \tau \in R$。因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\tau \right|}^{2\gamma }}{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \le C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1+\left|\tau \right|}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}}{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \\ \le C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau }+C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }+C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }\end{array}$ (2.12)

由于Parseval等式和引理2.3，(2.12)右边的第一个积分一致有界于m。

通过Schwartz不等式、Parseval等式和引理2.3，我们有

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }\le {\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{\text{d}\tau }{{\left(1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert u_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}^2}\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{2}}\le C\left(T\right),$ (2.13)

其中 $0<\gamma <\frac{1}{4}$，类似地，当 $0<\gamma <\frac{1}{2\left(\beta +1\right)}$ 时，我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }\le {\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{\text{d}\tau }{{\left(1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }\right)}^{\frac{\beta +1}{\beta }}}}\right)}^{\frac{\beta }{\beta +1}}{\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\text{d}\tau }\right)}^{\frac{1}{\beta +1}}\\ \le C{\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\Vert {\tilde{u}}_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}^{\frac{\beta +1}{\beta }}\text{d}\tau }\right)}^{\frac{\beta }{\beta +1}}\le C{T}^{\frac{\beta -1}{\beta +1}}{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert u_m\left(\tau \right)\Vert }_{\beta +1}^{\beta +1}\text{d}\tau }\right)}^{\frac{1}{\beta +1}}\end{array}$ (2.14)

从(2.12)中可以得到

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\tau \right|}^{2\gamma }}{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{u}}}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \le C\left(T\right)$ (2.15)

由于引理2.2存在一个函数 $u\left(x,t\right)$，使得

$u\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right)\cap L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left(R^3\right)\right)$ (2.16)

并且存在一个可以由自己表示的序列 ${\left\{u_m\right\}}_{m=1}^{\infty }$，使得在 $L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)$ 上 $u_m$ 弱*收敛于u；在 $L^2\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right)$ 上 $u_m$ 弱收敛于u并且在 $L^{\beta +1}\left(0,T;L^{\beta +1}\left(R^3\right)\right)$ 上 $u_m$ 收敛于u。我们选择有光滑边界的 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset {\Omega }_3\subset \cdots$，且满足 ${\displaystyle {\cup }_{i=1}^{\infty }{\Omega }_i}=R^3$。对于任意固定的 $i=1,2,\cdots$，在引理2.2中我们取 $X_0=W_0^{1,2}\left({\Omega }_i\right)$， $X=L^2\left({\Omega }_i\right)$，然而对于引理2.2，引理2.3以及(2.15)，我们得到存在一个可以由自己表示的序列 ${\left\{u_m\right\}}_{m=1}^{\infty }$，使得在 $L^2\left(0,T;L^2\left({\Omega }_i\right)\right)$ 上 $u_m$ 强收敛于u。通过对角线原则，因此在 $L^p\left(0,T;L_{loc}^p\left(R^3\right)\right)$ 上存在 ${\left\{u_m\right\}}_{m=1}^{\infty }$ 的一个子序列 ${\left\{u_{mj}\right\}}_{j=1}^{\infty }$，使得在 $L^2\left(0,T;L^2\left({\Omega }_i\right)\right)$ 上 $u_{mj}$ 强收敛于u，其中对于任意的 $i=1,2,\cdots$。由于 ${\displaystyle {\int }_0^T{{\displaystyle {\int }_{R^3}\left|u_m\right|}}^{\beta +1}}\text{d}x\text{d}t\le C$，我们得到如果 $\beta >1$ 且 $2\le p<\beta +1$，那么在 $L^p\left(0,T;L_{loc}^p\left(R^3\right)\right)$ 上 $u_{mj}$ 强收敛于u。这些收敛保证了 $u\left(x,t\right)$ 是问题(1.1)1的弱解。

近似解 ${\tilde{A}}_m$ 满足

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({{\tilde{A}}^{\prime }}_m,{\omega }_j\right)=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left(\nabla {\tilde{A}}_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)-\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left({\tilde{u}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)+\left({A^{\prime }}_{0m},{\omega }_j\right){\delta }_0\\ -\left({A^{\prime }}_m\left(T\right),{\omega }_j\right){\delta }_T\equiv \left(\tilde{l},{\omega }_j\right)+\left({A^{\prime }}_{0m},{\omega }_j\right){\delta }_0-\left({A^{\prime }}_m\left(T\right),{\omega }_j\right){\delta }_T,j=1,2,\cdots ,m\end{array}$ (2.17)

其中 $\left({\tilde{l}}_m,{\omega }_j\right)=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left(\nabla {\tilde{A}}_m\left(t\right),\nabla {\omega }_j\right)-\frac{{\rho }_e}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\left({\tilde{u}}_m\left(t\right),{\omega }_j\right)$。

对时间变量进行Fourier变换，(2.17)给出

$2\pi i\tau \left({{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m,{\omega }_j\right)=\left(\widehat{\stackrel{˜}{l}},{\omega }_j\right)+\left({A^{\prime }}_{0m},{\omega }_j\right)-\left({A^{\prime }}_m\left(T\right),{\omega }_j\right)\exp \left(-2\pi iT\tau \right),$ (2.18)

其中 ${\widehat{\stackrel{˜}{l}}}_m$ 表示 ${\tilde{l}}_m$ 的Fourier变换。将(2.18)的两端同乘 ${{\widehat{\stackrel{˜}{h}}}^{\prime }}_{jm}\left(\tau \right)$，得到

$2\pi i\tau {\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2=\left({\widehat{\stackrel{˜}{l}}}_m,{{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\right)+\left({A^{\prime }}_{0m},{{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\right)-\left({A^{\prime }}_m\left(T\right),{{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\right)\exp \left(-2\pi iT\tau \right),$ (2.19)

对任意的 $v\in L^2\left(0,T;H_0^1\right)$，我们有 $\left(l_m\left(t\right),v\right)=\left(\nabla A_m,\nabla v\right)-\left(u_m,v\right),$

其中

$\left(\nabla A_m,\nabla v\right)={\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert \nabla v\Vert }_{L^2}\le C{\Vert \nabla A_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{H^1},$

$\left(u_m,v\right)={\Vert u_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{L^2}\le C{\Vert u_m\Vert }_{L^2}{\Vert v\Vert }_{H^1}$

所以可得 $\left(l_m\left(t\right),v\right)\le C\left({\Vert \nabla A_m\Vert }_2+{\Vert u_m\Vert }_2\right){\Vert v\Vert }_{H^1}$。

因此对于任何给定的 $T>0$，有

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert l_m\left(t\right)\Vert }_{H^{-1}}\text{d}t}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}C\left({\Vert \nabla A_m\Vert }_2+{\Vert u_m\Vert }_2\right)\text{d}t}\le C\left(T\right),$

因此

$\underset{\tau \in R}{\sup }{\Vert {\widehat{\stackrel{˜}{l}}}_m\left(t\right)\Vert }_{H^{-1}}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert l_m\left(t\right)\Vert }_{H^{-1}}\text{d}t}\le C\left(T\right)$ (2.20)

从引理2.3中，我们知道

${\Vert {A^{\prime }}_m\left(0\right)\Vert }_2\le C,{\Vert {A^{\prime }}_m\left(T\right)\Vert }_2\le C$ (2.21)

我们从(2.19)~(2.21)可以推导出 $\left|\tau \right|{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\le C{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}$。

对于任意固定的 $\gamma$， $0<\gamma <\frac{1}{4}$，我们可以得到 ${\left|\tau \right|}^{2\gamma }\le C\frac{1+\left|\tau \right|}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}$， $\forall \tau \in R$。

因此

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\tau \right|}^{2\gamma }}{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \le C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1+\left|\tau \right|}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}}{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \le C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau }+C{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }$ (2.22)

由于Parseval等式和引理2.4，(2.22)右边的第一个积分一致有界于m。

通过Schwartz不等式、Parseval等式和引理2.3，我们有

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}}{1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }}\text{d}\tau }\le {\left({\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{\text{d}\tau }{{\left(1+{\left|\tau \right|}^{1-2\gamma }\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_{H^1}^2}\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{2}}\le C\left(T\right)$ (2.23)

其中 $0<\gamma <\frac{1}{4}$。从(2.22)中可以得到

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\tau \right|}^{2\gamma }}{\Vert {{\widehat{\stackrel{˜}{A}}}^{\prime }}_m\left(\tau \right)\Vert }_2^2\text{d}\tau \le C\left(T\right)$ (2.24)

由于引理2.3存在一个函数 $A_t\left(x,t\right)$，使得

$A\in L^{\infty }\left(0,T;W_{0,\sigma }^{1,2}\left(R^3\right)\right),A_t\in L^{\infty }\left(0,T;L_{\sigma }^2\left(R^3\right)\right)$ (2.25)

由于本文过于基础，所以弱解的收敛性不予证明。

定理1证明完毕。