基于ARIMA和GM模型的日最高温预测

The Prediction of Daily Maximum Temperature Based on ARIMA and GM Models

摘要: 基于差分整合移动平均自回归模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA)、灰色预测模型(Gray Model, GM)、ARIMA和GM组合模型(ARIMA-GM)来预测夏季日最高温度。本文收集了某市2019~2021年6~8月日最高温数据作为实验数据。实验结果表明，GM、ARIMA-GM组合模型具有更好的预测结果。与GM模型相比，ARIMA-GM组合模型的预测结果更加稳定。

Abstract: Based on the Autoregressive Integrated Moving Average model (ARIMA), Gray Model (GM), ARIMA and GM combined models (ARIMA-GM), the daily maximum temperature in summer is predicted. This paper collects the maximum temperature data in a city from June to August in 2019~2021, and used it as experimental data. The experimental results show that the GM model and ARIMA-GM model have better prediction results. Compared with the GM model, the prediction results of the ARIMA-GM model are more stable.

1. 引言

天气与人们的日常生活息息相关，随着社会的进步、科技、经济的发展，其对生活中多个方面都产生了巨大的影响，特别是高温、低温、大风、暴雨、冰雹和暴雪等极端天气对农业、交通、航空、建筑等行业带来严重的经济损失，甚至对人们的生命也会产生威胁，这就对天气预报准确性有更高的要求。此外，天气预报的重要特点之一就是时效性，人们需要提前预知天气情况，并根据不同的天气做出合理的应对措施。因此，预测未来天气是气象领域的关键任务之一。

由于传输气象数据设备的不断完善、升级，其收集的数据越来越多 [1]，这给预测天气技术带来了新的机遇和挑战。原始的预测方法不仅不能满足公众对天气要素预测准确率的需求，而且无法充分利用目前已收集到的气象数据。因此，面对这些挑战，许多研究者提出了新的预测方法、技术，如物理预测法 [2] [3]、基于统计学的方法 [4] [5] [6] [7] [8]、综合预测方法 [9]。其中，基于统计学的方法是采用数据统计分析方法，统计某一预测对象在某个时间内出现的频率，从而推算出未来时间段内，在相似环境条件下该对象出现的概率。

时间序列预测方法也是统计学方法中的一种。时间序列是根据时间排序的一组随机数据，时间序列预测是根据历史数据来对未来预测 [10] [11]。差分整合移动平均自回归模型(Autoregressive Integrated Moving Average model, ARIMA)是一个经典的时间序列预测模型 [12]，该模型较为简单、灵活，在预测股票走势 [13] [14] [15] [16]、人口增长数量、区域经济GDP增量 [17]、交通流量和气象要素等各个方面具有重要的意义。例如、Kwong等人 [5] [6] 利用人工神经网络(ANN)方法对风速进行了预测评估。郭 [18] 等使用自回归模型来预测季节的降雨量。其次，灰色预测模型(GM) [19] 也是常用的预测模型之一，它可对即含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测。其优点就是所需历史数据少，预测越近期的数据越有效，解决了大量的生产、生活和科学研究等方面的预测问题 [20] [21]。此外，为了获得更加准确的预测结果，许多学者利用ARIMA和GM的组合模型来进行预测。Wang等 [22] 利用ARIMA-GM组合模型来预测美国页岩油产量。文献 [23]、 [24] 利用ARIMA-GM组合模型分别对湖北省电力需求、PM2.5浓度做了预测分析。ARIMA-GM组合相对于单一的ARIMA、GM预测模型的最大优势，把两个单一模型组合起来来降低单个模型的敏感度，从而提高预测准确率 [24]。

基于以上的分析和对日常气象服务内容的总结，本文主要利用ARIMA模型、GM模型及ARIMA-GM组合模型来预测夏季日最高温。我们收集了某市2019~2021年6~8月的每日最高温数据来生成时间序列数据集，并分别分析了ARIMA、GM及ARIMA-GM模型在该数据集上的预测效果。实验发现，GM、ARIMA-GM具有较好的预测结果，但ARIMA-GM的预测结果更加稳定。

2. ARIMA模型

2.1. ARIMA模型组成

ARIMA模型主要包含四部分：自回归模型(AR)、移动平均模型(MA)、自回归移动平均模型(ARMA)和差分模型。其中ARMA模型是AR和MA模型的组合。

AR模型表示为：

$y_t={\gamma }_0+{\gamma }_1{y}_{t-1}+{\gamma }_2{y}_{t-2}+\cdots +{\gamma }_p{y}_{t-p}+{\epsilon }_t$ (1)

其中，p是自回归阶数，表示当前值与前p个历史值相关， ${\epsilon }_t$ 为误差， ${\gamma }_i$ 为自相关系数。

MA模型表示为：

$y_t={\theta }_0+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}+{\epsilon }_t$ (2)

其中，q为移动平均阶数。

因此，ARMA模型可表示为：

$y_t=\mu +{\gamma }_1{y}_{t-1}+{\gamma }_2{y}_{t-2}+\cdots +{\gamma }_p{y}_{t-p}+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$ (3)

$\mu$ 是常数项。

2.2. 差分模型

AR模型需要历史时间序列数据具有平稳性，而现实生活中获得的数据分布是复杂且多样的，但预测未来数据需要时间序列数据具有惯性，这就要求数据具有平稳性。平稳的时间序列数据集满足其均值、协方差和方差不随时间变化而发生明显变化。为了让一个非平稳的时间序列数据呈现出平稳性，本文利

用差分模型实现。给定时间序列数据 $Y^0=\left\{Y_t^0,t=1,2,\cdots ,n\right\}$，差分后的时间序列 $F_t$ 满足： $F_t=Y_t^0-Y_{t-1}^0$，且 $Y_0^0=0$，该方法称为差分法。

若做一次差分，数据集仍不具备平稳性，可做多次差分，直至数据平稳。做一次差分称为一阶差分，d次差分称作d阶差分。因此ARIMA模型可表示为ARIMA(p,d,q)，p,d,q分别为AR模型、差分模型、MA模型中的参数。

2.3. ARIMA模型过程

本小节详细描述了ARIMA预测方法的过程，如算法1所示。

算法1：ARIMA方法

Input：Historical dataset Y⁰，forecast days ；

Output：predicted value for n days

1) ini(Y⁰)←preprocessing dataset Y⁰

2) d-difference method for Y⁰

3) p、q←calculateACF、PACF

4) Build ARIMA(p,d,q) model

5) Set_p←ARIMA(p,d,q)

6) return Set_p

首先，剔除时间序列数据集Y⁰中的空值、异常值，然后对Y⁰做差分操作，使其具有平稳性(如1)、2)所示)。然后，通过采用自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)来获得AR、MA模型中参数p、q值(如3)所示)。最后，构建ARIMA(p,d,q)模型，并输出预测值集合Set_p (如4)~6)所示)。

3. GM模型

一阶灰色模型GM(1,1)是一阶的，且包含一个变量的灰色模型。建模步骤如下：

1) 将历史时间序列数据 $Y^0=\left\{Y_t^0,t=1,2,\cdots ,n\right\}$ 做1次累加求和处理，获得 $Y^1=\left\{Y_t^1,t=1,2,\cdots ,n\right\}$，其中

$Y_t^1={\displaystyle {\sum }_{i=1}^t{Y}_i^0}$, $t=1,2,\cdots ,n$ (4)

2) 对获得的 $Y^1$ 建立微分方程：

$\frac{\text{d}{Y}^1}{\text{d}t}+a{Y}^1=u$ (5)

式中a、u为未确定参数。

3) 确定参数a、u，令：

$B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\left[Y_1^1+Y_2^1\right]& 1\\ -\frac{1}{2}\left[Y_2^1+Y_3^1\right]& 1\\ ⋮& ⋮\\ -\frac{1}{2}\left[Y_{t-1}^1+Y_t^1\right]& 1\end{array}\right]$, $X=\left[\begin{array}{c}{Y}_2^0\\ Y_3^0\\ ⋮\\ Y_t^0\end{array}\right]$

利用最小二乘法估计a、u值：

${\left[\begin{array}{cc}a& u\end{array}\right]}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}X$ (6)

根据公式(6)获得参数a、u值，a是控制模型发展态势，称为发展系数；u的数值大小反应数据变化的关系，称作灰色作用量。

4) 通过解微分方程(5)，可得GM(1,1)预测模型为：

$\widehat{Y_t^1}=\left(Y_1^0-\frac{u}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(t-1\right)}+\frac{u}{a}$ (7)

$\widehat{Y_t^0}=\widehat{Y_t^1}-\widehat{Y_{t-1}^1}$ (8)

式(8)中， $t=1,2,\cdots ,n$，且令 $Y_0^1=0$。根据式(8)获得最终的预测值 $\widehat{Y^0}=\left\{\widehat{Y_t^0},t=1,2,\cdots ,n\right\}$。

接下来，给出了GM预测方法的伪代码，如算法2所示。

算法2：GM方法

Input：Historical dataset Y⁰，forecast days n；

Output：predicted value for n days

1) ini(Y⁰)←preprocessing dataset Y⁰

2) Y¹←accumulate(Y⁰)

3) creatDiffEquation(Y¹)

4) a、u←obtain by the ordinary least squares

5) Set_preGM←CalDiffEquation(Y⁰,Y¹)

6) return Set_preGM

首先预处理数据集Y⁰，并对处理后的Y⁰中每个数据对象按照公式(4)做累加处理(1)、2)所示)。其次，创建微分方程并利用最小二乘法估计获得微分方程中的参数值a、u(3)、4)所示)。最后，把a、u值代入微分方程，据公式(7) (8)获得预测值(5)、6)所示)。

4. ARIMA-GM模型

ARIMA和GM组合模型是按照不同权重，对两者进行组合，表示为：

$x_t=w_1{m}_1+w_2{m}_2$

其中， $x_t$ 为预测值， $w_1$ 、 $w_2$ 分别为ARIMA、GM模型权重， $m_1$ 、 $m_2$ 分别为ARIMA、GM的预测值。

本文通过利用差分倒数法来确定权重 $w_1$ 、 $w_2$ 值，即 $w_i=\left(1/s_i\right){\displaystyle {\sum }_{i=1}^k\left(1/s_i\right)}$， $s_i$ 为第i个模型的误差平方

和，k为模型个数。

本文因为关注于预测夏季(6、7、8月)的日最高温度，且每个月份的日最高温数据差异比较大，因此本文在预测过程中，针对每个月份分别求出一组权重值，来确保预测的数据结果更加准确。下面给出ARIMA-GM模型的详细过程：

算法3：ARIMA-GM预测模型

Input：Historical dataset Y⁰，forecast days n；

Output：predicted value for n days

1) ini(Y⁰)←preprocessing dataset Y⁰

2) Set_preA←predictby ARIMA(p,d,q) model

3) Set_preGM←predictby GM(1,1) model

4) w₁、w₂←obtain by thereciprocal variance method

5) $Se{t}_{pre}=w_1\ast Se{t}_{preA}+w_2\ast Se{t}_{preGM}$

6) return Set_pre

首先，预处理数据集Y⁰，并分别利用ARIMA(p,d,q)、GM(1,1)进行预测(如1)~3)所示)。然后，利用差分倒数法获得ARIMA(p,d,q)、GM(1,1)的预测权重，根据所得权重分别对ARIMA、GM预测结果进行加权计算，获得最终的预测结果(4)~6)所示)。

5. 实验评估

本文主要采集了某市2019~2021年6、7、8月的日最高气温作为实验数据集。本文利用每个月份70%的数据作为训练数据，30%的数据作为验证数据来评估所用模型的有效性。

预测有效性评估

本小节主要利用平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)来评估ARIMA模型、GM模型和ARIMA-GM模型的预测有效性。

平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)表示为：

$\text{MAE}=\frac{1}{n}\ast \underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\left|y_i-\widehat{y_i}\right|$ (9)

其中， $y_i$ 是真实值， $\widehat{y_i}$ 为预测值，n为预测天数。MAE值越小，表示预测值与真实值越相近，误差越小。相反，MAE值越大，表示预测值与真实值相差越大，误差越大。

Table 1. The mean of the mean absolute errors of the different forecasting models

表1. 不同预测模型的平均绝对误差均值

图1展示了ARIMA、GM、ARIMA-GM模型预测2019~2021年6、7、8月日最高温的绝对误差值。表1展示了ARIMA、GM、ARIMA-GM模型预测这三年(2019~2021年) 6、7、8月，每月的绝对误差值和的均值。通过图1和表1可知，ARIMA的绝对误差最大，预测效果最不佳，最低平均误差为0.869。而GM、ARIMA-GM误差值相近，但是从表1可知，ARIMA-GM预测2019~2021年6月的平均绝对误差和的均值小于GM预测2019~2021年6月的平均绝对误差和的均值。同样，ARIMA-GM预测2019~2021年7、8月的平均绝对误差和的均值也小于GM预测2019~2021年7、8月的平均绝对误差和的均值。因此，ARIMA-GM的预测效果比GM的预测效果更加稳定。

(a) 2019~2021年06月 (b) 2019~2021年07月 (c) 2019~2021年08月

Figure 1. Mean absolute errors of ARIMA, GM, ARIMA-GM models

图1. ARIMA、GM、ARIMA-GM模型平均绝对误差值

6. 总结

本文利用ARIMA、GM、ARIMA-GM模型对某市2019~2021年6~8月日最高温进行了预测、分析。实验表明，ARIMA模型预测的平均绝对误差比GM、ARIMA-GM模型的大，而GM和ARIMA-GM模型的误差值比较接近，且相对较小，但ARIMA-GM组合模型具有更加稳定的预测效果。因此，在实际生活中，可以采用GM或ARIMA-GM组合模型来对夏季每日的最高温提前预测，从而减少甚至避免因为高温对公众、各部门造成的损失。

基金项目

淄博市气象局气象科研项目(2022zbqx07)。