1. 引言
在过去的几十年中Naor [1] 对客户的平衡和社会最优排队策略进行了深入研究,重试和休假的排队系统也随之发展。重试排队的通用模型、方法、结果、示例和应用可以在Artalejo和Corral以及Tian和Zhang中找到 [2] [3]。Wang,Zhang和Huang研究了在N策略下的重试排队的策略分析和优化 [4]。近年来,Li和Tian首先在文 [5] 中介绍,并研究了带有工作休假和假期中断的M/M/1排队,当系统在工作休假期服务完一个顾客后,若发现系统中仍有顾客,此时,系统中止休假,进入正常的服务状态,否则继续休假。Wang和Zhang考虑了单工作休假的马尔可夫队列中的均衡策略 [6]。此外,一旦系统的某些索引,例如:客户数量,在工作休假期间达到一定的价值。可以假设休假中断是在服务完成瞬间发生的。休假排队模型在计算机系统、通信系统和管理工程等领域都有重要的应用。对于假期中断模型,而后李继红、李文焘和田乃硕研究了带有部分工作休假和休假中断的M/M/c排队 [7]。在M/M/1重试队列中,Do研究了具有工作休假和恒定重试率的均衡客户行为 [8]。在离散时间下,重试空间的休假中断和工作休假的策略分析问题和可以参考Tao Li的文献 [9]。Li,Liu和Wang研究了在GI/M/1重试排队中带有启动期的单重工作休假和休假中断模型和在GI/M/1重试排队中带有伯努利策略的工作休假和休假中断模型 [10]。
2. 模型描述
在本文中,我们考虑具有工作休假和休假中断的M/M/1的重试排队,设:新顾客的到达形成强度为
的泊松过程。当系统不在休假时的服务速率为
的指数分布。如果服务台忙,到达顾客可能会加入到无限大的重试空间,当重试空间不为空时,重试遵循速率为
的Posion过程。服务规则为FCFS。
如果重试空间上没有任何顾客,则单个服务台在客户离开系统时开始工作休假。休假时间服从参数
的指数分布。在休假期间,占用服务台的顾客以速率
接受服务(
),在服务完成的瞬间,服务器将停止休假。
设
为t时刻重试空间中的顾客数,
为t时服务台的状态.在单一服务台的条件下有四种可能的状态如下:
所有的顾客都遵循一个混合的策略“当服务台的状态为
时,顾客选择进入系统的概率为
”。假设到达时间、重试时间、服务时间、休假时间是相互独立的。
假定顾客到达时自己决定是否进入排队.一旦进入排队,中途退出是不允许的,每一个顾客完成服务都会有一个收益R,同时,当顾客进入系统,顾客需要因在系统中逗留(包括在重试空间中逗留和服务区域内逗留)而产生的一个单位时间的等待费用C。
拟生灭过程模型
当遵循混合策略“当服务台的状态为
时,顾客选择进入系统的概率为
”时,
是状态空间
的马尔科夫过程。令
,
。
按字典顺序排列上述状态,则无穷小生成元矩Q阵被写成如下的分块三对角矩阵
由于矩阵Q的分块结构,称
为QBD过程。
3. 稳态性能分析
因为矩阵D可约,在文献 [11] 中的定理7.3.1中给出QBD过程的正常返条件,经过行列变换后,QBD是正常返的当且仅当
其中
,v是
的解。
故QBD是正常返的当且仅当
。
定理1 如果
,则拟生灭过程
的稳态分布可以表示为
证明 使用 [11] 中的矩阵几何解法,有
其中
,
.
,
,
,
,
.
由正规化条件
得到
令
为系统在状态j时的概率,可以得到服务台忙的概率为
服务台空闲的概率是
设L为重试空间上的顾客数,得
设
为系统中的顾客数量,则有
顾客在到达时发现服务台处于状态j的平均逗留时间
可以表示为
因此,当服务台在状态j时到达时,决定加入系统的客户的预期净利润为
4. 完全不可视的情形的均衡策略和社会最优解
假设顾客不知道服务台是否在忙或是否在休假,此时顾客进入系统的混合策略是:客户进入系统的概率为
,在这种情况下,顾客的有效到达率是
。存在一个唯一得混合纳什均衡策略,顾客以
的概率进入队列。
设W为顾客重试空间内的等待时间,因此根据Little’s公式,有
则顾客在到达时决定进入服务器的平均逗留时间为
因此,该顾客决定进入系统的净收益为
社会最优解为
通过社会收益最大化可以得到顾客的最优进队概率
,令x是
的解,则
。
5. 数值分析
在完全不可见的情况下,图1~5为顾客均衡进队概率和最优进队概率。不同参数对顾客的均衡进队概率
和最优进队概率
的影响,在图1和图2中显示服务回报R和休假时的服务速率
越大,进队概率越大。在图3和图4中显示随着休假率
和重试率
的越大,顾客进队概率越大,这是因为,随着休假期时间的减少和重试率的增大,服务员可以更快的进入忙期,因此可以有更多的顾客可以进入系统。
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Figure 1. Probability of entering the system
图1. 进队概率
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x73_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 2. Probability of entering the system
图2. 进队概率
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Figure 3. Probability of entering the system
图3. 进队概率
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x79_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 4. Probability of entering the system
图4. 进队概率
在完全不可见的情况下,研究了不同参数对顾客的均衡收益和最优收益的影响。在完全不可见排队中,顾客的均衡策略为
,顾客遵循均衡策略时,收益用
表示。顾客遵循最优策略
时,收益用
表示。在完全不可见排队中,顾客均衡收益和最优收益的数值分析具体算例如图5~8所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x86_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 5. Social equilibrium benefit and optimal benefit
图5. 社会均衡收益与最优收益
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x89_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 6. Social equilibrium benefit and optimal benefit
图6. 社会均衡收益与最优收益
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x92_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 7. Social Equilibrium Benefit and Optimal Benefit
图7. 社会均衡收益与最优收益
![](//html.hanspub.org/file/30-2622105x95_hanspub.png?20220323085348636)
Figure 8. Social Equilibrium Benefit and Optimal Benefit
图8. 社会均衡收益与最优收益
6. 定价策略
在完全不可视排队中,服务员对于进入系统的顾客费用为
,则顾客的均衡策略满足
。服务员的收益
。顾客满足均衡收益时
令上式和
对比发现
。因此,我们可以通过让系统收取一定的费用促使顾客以最优策略
进入系统,同时也使服务员的收益最大化。同时,最优策略
也是顾客得均衡策略,最优定价为
,服务员收益最大化为
。
7. 结论
本文研究了具有工作休假和休假中断的M/M/1重试排队。顾客使用系统提供的信息来决定是进入系统还是止步。在不可见排队中过数值实例比较了均衡策略和社会最优策略,均衡策略下的社会收益和社会最优收益。均衡策略基本上大于社会最优策略,在不可见排队中均衡策略基本上大于社会最优策略,当服务员收取一定的费用时,可以促使顾客以社会最优策略进入系统。