1. 引言
桥式起重机操作方便、搬运范围广、结构简单,被广泛应用与工业装配、港口物流、农业装备等。当小车承载重物在主梁上行驶时,车桥接触点的位置在时刻变化,其形函数矩阵在不断改变,因此这个车桥耦合系统是一个时变系统。在以往桥式起重机的结构设计中,大部分研究员都注重起重机主梁的静态特性研究,从材料力学角度出发对主梁结构进行强度校核以及结构设计,并用有限元静力学分析结果作为辅助验证手段,部分工程师对主梁的模态分析也做了深入的研究。赵俊杰等人 [1] 在不同工况下起升和制动过程建立了动力学微分方程,并采用Matlab进行求解;赵文涛等人 [2] 利用有限元软件分析了小车位于主梁跨中和悬臂端时的模态特性;李心爽等人 [3] 研究了移动质量与主梁耦合系统对固有频率的影响。但很少有学者研究小车承载重物在主梁上移动时的动态特性。
本文采用有限元分析方法,把主梁化为欧拉梁模型,将小车、钢丝绳及重物作为在梁上移动的弹簧质量系统,考虑不同的质量、小车移速、钢丝绳刚度的影响,计算分析桥梁的振动特性。
2. 移动质量弹簧系统基本理论
移动质量弹簧系统如图1所示,将主梁当作两端简支的欧拉梁模型,其动力平衡方程为:
(1)
式中,
和
分别为梁的弯曲刚度和单位长度质量,
表示梁在距离
处
时刻的挠度,
为质量弹簧系统在梁上的移动速度,
为Dirac函数,
为梁所受到的作用力,假设
为小车的竖向位移,
为重物的竖向位移,
可表示为:
(2)
式中,
和
为小车和重物的质量,
和
为钢丝绳的刚度和阻尼。
由于小车和主梁始终接触不分离,因此有耦合条件:
(3)
根据振型分解法,简支梁振动时的动位移
可表示为:
(4)
将(4)式代入(1)式,乘以形函数
,并沿主梁长度L积分,可得第n阶模态的振动方程为:
(5)
(6)
其中
为简支梁第n阶固有角频率,
为第n阶模态阻尼比,再将(3)式和(4)式代入(2)式得:
(7)
将(6)式代入(5)式得:
(8)
重物
的动力平衡方程为:
(9)
取前N阶,联立(7)式和(8)式并写成矩阵的形式:
(10)
运用四阶龙格库塔求解(10)式微分方程就可得到小车在主梁上运动的时程曲线。
3. 有限元模型
3.1. 主梁网格划分
某单梁桥式起重机箱型主梁结构网格划分如图2所示,钢质主梁横截面为箱型结构,跨度l为15 m,额定起重量为5 t,主梁结构的横截面数据如表1所示。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. Cross section parameters of main beam
表1. 主梁横截面参数
(a) 主梁横截面网格 (b) 主梁网格
Figure 2. Grid division of box girder structure
图2. 箱型主梁结构网格划分
根据横截面参数,可计算出主梁截面惯性矩 [4]:
通过式(6)可计算出简支梁的前三阶理论固有频率为5.049 Hz、20.197 Hz、45.443 Hz。
3.2. 主梁模态分析
本文采用有限元软件先对主梁进行模态分析。主梁采用beam188单元主梁采用beam188单元 [5],弹性模量为2E11Pa,密度为7850 kg/m3,边界为两端简支,当小车满载位于主梁不同位置时,计算了前四阶固有频率和振型,前四阶固有频率如表2所示,前六阶振型如图所示。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 2. Modal natural frequency of main beam of single beam bridge crane
表2. 单梁桥式起重机主梁模态固有频率
![](//html.hanspub.org/file/16-2570452x40_hanspub.png?20220126171945440)
Figure 3. Modal shape of main beam ((a) the trolley is located at the extreme position of the left end; (b) the trolley is located at 1/6 of the left end; (c) the trolley is located at 1/3 of the left end; (d) trolley in mid-span position; (e) no trolley)
图3. 主梁模态振型((a) 小车位于左端极限位置;(b) 小车位于左端1/6位置;(c) 小车位于左端1/3位置;(d) 小车位于跨中位置;(e) 无小车)
由图3可知,单梁桥式起重机在简支边界条件下,前四阶固有频率及振型有所变化,中间弯曲振型始终为第一阶模态,一阶固有频率随小车靠中小幅上升了0.53 Hz (20%)。右侧弯曲振型所对应的模态随小车往中移动变化较大,固有频率增加了12.24 Hz (96%),而左侧弯曲模态相对右侧弯曲模态其固有频率变化较小,只增加了1.56 Hz (5.16%)。当小车移动到跨中位置时,左侧弯曲和右侧弯曲模态消失,合并成为S形弯曲模态,二阶固有频率明显上升。小车位于任何位置,轴向拉伸所对应的模态固有频率始终不变。若只考虑主梁自身模态,其各界固有频率比有小车时略有升高,与理论固有频率非常接近,因此,当小车承载重物越靠近边界时,其前四阶固有频率越小,与文献 [6] 中的结果趋势相近,在设计主梁结构以及额定承载时,需考虑小车在边界时的承载能力。
3.3. 移动质量弹簧系统有限元分析
由于小车在主梁上运动时,小车始终与主梁不分离,因此本文采用位移耦合法来分析主梁在移动质量弹簧系统下的振动 [7]。主梁仍然采用beam188,具体参数如表2所示。小车和重物都采用Mass21单元,用Combin14模拟钢丝绳,本文采用循环求解的方式,根据小车的移动速度施加水平节点位移,并将小车质量单元与梁单元在竖直方向做节点耦合,使小车经过主梁上的每个节点,从而实现小车的移动。将小车在左端时的静力学解作为初始条件(零初始速度、有初始位移),运用NewMark方法对该动力学模型进行求解。
图4为钢丝绳刚度为3 × 106 N/m,阻尼1 × 104 kg/s,小车在满载状态下以3 m/s运动时主梁跨中响应曲线理论与有限元的对比图,从图中可以看出,有限元解与理论解十分相近,验证了有限元模型的正确性。
![](//html.hanspub.org/file/16-2570452x41_hanspub.png?20220126171945440)
Figure 4. Theoretical solution and finite element solution
图4. 理论解与有限元解
![](//html.hanspub.org/file/16-2570452x42_hanspub.png?20220126171945440)
Figure 5. Midspan displacement and acceleration of main girder under different conditions ((a) different load mass; (b) different moving speed of trolley; (c) different stiffness of wire rope)
图5. 不同条件下主梁跨中位移和加速度((a) 不同承载质量;(b) 小车不同移动速度;(c) 钢丝绳不同刚度)
图5展示了小车承载不同重量,小车不同移速以及钢丝绳不同刚度对主梁跨中位移的影响。结果表明,小车承载质量对主梁结构响应影响较大,在前半段位移中,质量越大,跨中位移以及加速度幅值都越大,后半段由于受到阻尼影响,质量越大振幅的衰减速度也较大。小车在主梁上的移动速度对结构位移响应很小,但是对加速度响应影响很大,速度增大会使跨中加速度响应幅值显著增大。钢丝吊绳的刚度对结构位移响应和加速度响应影响十分微小,因此可以忽略刚度对起重机的影响。
4. 结论
本文以单臂桥式起重机为研究对象,分别运用理论与有限元计算了主梁的模态以及振动响应,得出以下结论:
1) 在两端简支的边界条件下,小车靠近边界时,系统的模态固有频率越高,随着小车向中移动,系统两边弯曲的振型会消失。
2) 小车承载重物在主梁上移动的过程中,承载质量和速度对结构响应影响大,钢丝吊绳刚度的影响极小,因此在简化模型时可以忽略弹簧刚度对系统带来的影响。