1. 引言
分数微积分是数学理论中的一个重要概念,由于其良好的性质,在工程领域中得到了广泛的应用,所以研究分数阶微分方程边值问题解的性质是十分必要的。许多学者主要采用单调迭代法 [1] [2]、不动点定理 [3] [4] [5]、拓扑度理论等非线性工具,研究分数阶微分方程边值问题解的性质。研究人员利用上述工具研究了各种分数阶微分方程边值问题,其中带有积分边界条件的分数阶微分方程边值问题 [6] 是一个重要方向。
在文献 [7] 中,Lv通过使用Schauder不动点定理,研究了下述非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
其中
,
,
,
,
,
,
,
,
为标准的Riemann-Liouville分数阶导数,
。
在上述工作的启发下,本文研究了以下带有积分边值条件的非线性Caputo型分数阶微分方程边值问题
(1)
其中
,
,
,
,
,
,
为标准的Caputo分数阶导数,
为标准的Riemann-Liouville分数阶积分。
2. 主要结果
引理2.1 若
,则边值问题
(2)
有唯一解
其中
分别为
证明:由方程(2)可得
(3)
所以
考虑到方程(3)和边值条件
,可得
进一步,可得
由边值条件
,可得
因此边值问题(2)有唯一解
证明结束。
定义算子
为
边值问题(1)有解当且仅当算子
有不动点。
定理2.1 [8] 令
是Banach空间。若
全连续算子,并且
是有界的,则算子
在空间
中有不动点。
定理2.2 若下面两个条件成立:
1) 对于任意的
,存在函数
使得
(2)
则边值问题(1)至少有一个解。
证明:显然,算子
是连续的。接下来证明算子
是紧算子。令
,对于任意的
,存在正数
使得
,可得
因此,
是一致有界的。
对于任意的
,
存在
若
,则
因此,由Arzela-Ascoli定理,算子T是全连续的。
接下来,考虑集合
,下证集合
是有界的。
因此,集合
是有界的。由定理2.1可知算子T至少有一个不动点,也就是边值问题(1)至少有一个解。
定理2.3 假设
,对于任意的
,
,存在正数
使得
其中
则边值问题(1)存在唯一解。
证明:对于任意
,
,可得
因此,由Banach压缩映射原理,可知算子T有唯一不动点,也就相当于边值问题(1)存在唯一解。